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数学竞赛模拟题C_1（第十二届北京市大学生数学竞赛2000年10月）一、填空题1. 若，则_-4_。=22. 若，且当时，；当，则_。3. _。4. 设幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛区间为_。5. _。6. 设都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方程为_7.设数列满足：，则_。STOLZ(施托尔茨定理)：推论：8. 设在点可导，且，则_。9. 设满足且有一阶导数，则当时，_。10. 设C是从球面上任一点到球面上任一点的任一条光滑曲线，则_，其中。二、设是上递减的连续函数，且，证明数列收敛，其中。欧拉常数，其近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数有许多应用，如求某些数列的极限。三、设S为椭球面的上半部（），点，为S在P点的切平面，为原点到平面的距离，求。 四、设一元函数当时有连续的二阶导数，且，又满足方程，试求的表达式。注 ，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围。本题是讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题。补充题1设补充题2五、设，是可微函数，若，证明仅为r的函数，其中。六、设函数在上有定义，在的某个邻域内有一阶连续导数，且，证明收敛，而发散。七、一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停地下，一台扫雪机，从上午8点开始在公路上扫雪，到9点前进了2公里，到10点前进了3公里，假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？设x(t)：表示扫雪机从开始下雪起到时刻走过的距离，T:开始下雪到机器开动的时间间隔，则有则由扫雪体积为常数，有：由下雪速度恒定，八、设在闭区间有连续的二阶导数，且，当时
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