2009年高考全国卷I数学(理科)试题及参考答案.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷考生注意：1答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件 互斥，那么 球的表面积公式如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径球的体积公式如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=A B，则集合 中的元素共有（A）（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个解： ， 故选A。也可用摩根律： （2）已知 =2+i,则复数z=（B ）（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i解： 故选B。(3) 不等式 1的解集为（ D ）（A）x (B) （C） (D) 解：验x=-1即可。(4)设双曲线 （a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A） （B）2 （C） （D） 解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得: .(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法(2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有345种选法.选D（6）设 、 、 是单位向量，且 0，则 的最小值为 ( D )（A） （B） （C） (D) 解: 是单位向量 故选D.（7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D（8）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（A） （B） （C） (D) 解: 函数 的图像关于点 中心对称由此易得 .故选A(9) 已知直线y=x+1与曲线 相切，则的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2解:设切点 ，则 ,又 .故答案选B（10）已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为 ，Q到的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）(A) (B)2 (C) (D)4解:如图分别作 ，连 ， 又 当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。（11）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则( D )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数解: 与 都是奇函数， ，函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期函数. ， ，即 是奇函数。故选D12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( A )(A). (B). 2 (C). (D). 3解:过点B作 于M,并设右准线 与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A第II卷二、填空题： 13. 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。解: 14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = 。解: 是等差数列,由 ,得 .15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 16. 若 ，则函数 的最大值为 。解:令 ,三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) ,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 .解法二:由余弦定理得: .又 , 。所以 又 ，即 由正弦定理得 ，故 由，解得 。评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。18（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60（I）证明：M在侧棱 的中点（II）求二面角 的大小。解法一：（I）作 交 于点E，则 ， 平面SAD连接AE，则四边形ABME为直角梯形作 ，垂足为F，则AFME为矩形设 ，则 ， 由 解得 即 ，从而 所以 为侧棱 的中点（） ，又 ,所以 为等边三角形，又由（）知M为SC中点，故 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角连接 ，在 中，所以 二面角 的大小为 解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz设 ，则 （）设 ,则又 故 即 解得 ，即 所以M为侧棱SC的中点（II）由 ，得AM的中点 又 所以 因此 等于二面角 的平面角所以二面角 的大小为总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。19（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。解：记 表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5表示事件：第j局乙获胜，j=3,4（）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而由于各局比赛结果相互独立，故= =0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648（II） 的可能取值为2，3由于各局比赛结果相互独立，所以= = =0.60.6+0.40.4=0.52=1.0.52=0.48的分布列为2 3P 0.52 0.48=20.52+30.48=2.4820（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）在数列 中， （I）设 ，求数列 的通项公式（II）求数列 的前 项和 解：（I）由已知得 ，且 即 从而 于是 = 又 故所求的通项公式 （II）由（I）知 ,= 而 ,又 是一个典型的错位相减法模型，易得 = 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。（I）求 得取值范围；（II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线 与圆 的方程联立，消去 ，整理得（）抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.由此得 解得 又 所以 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。设 与 的四个交点的坐标分别为：、 、 、 。则直线 的方程分别为解得点P的坐标为 设 ，由 及（I）知 由于四边形 为等腰梯形，因而其面积则 将 代入上式，并令 ，得求导数 令 ，解得 （舍去）当 时， ； 时， ； 时， 故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 的面积最大，故所求的点P的坐标为22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数 在两个极值点 ，且 （I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域；(II