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數學教材教法 TKU95B洪麗雯、賴佳伶數學本質概念 時間（含時刻速度）前言時間和速率有相同的特性，都是不在實物上存有的量，但是在學童的生活經驗中卻處處存在。所以這一類教材的設計顯然不能同於長度、重量、容量、面積、體積、角度等教材，只能從工具的使用入門，在概念發展、文化適應上的處理要遠勝於對物理現象的掌握。一、數學結構(一)時間和時刻1. 時間是工具量而非感官量時間是一種隨事件發生而流逝的量，它雖然存在，但看不到、摸不到，它不同於長度、重量、容量這一類在實物上存在可以找到的量。世人已形成文化共識，利用鐘面上的刻度來報讀時刻或測量時間。2. 鐘面上的二維關係報讀時刻是藉由長針和短針在鐘面上所指數字或刻度而決定的。短針（時針）和長針（分針）的移動是相關連的，在教學時刻的報讀時，要以二維的觀點同時指導幾時幾分；從整點時刻（例如9點鐘）開始，確認時針、分針所指位置，以分針轉動所指小刻度報讀幾時幾分，尤其在15分、30分、45分時，要特別觀察時針的位置，直到下一個整點（例如10點鐘）再觀察時針、分針所指位置。鐘面上的數字1、2、3、12，對時針而言，代表1時、2時、12時；對分針而言，代表5分、10分、60分；是二個不同階的運作，若涉及1時等於60分就是兩階單位間的換算。如果鐘面上有時針、分針、和秒針，對鐘面上數字1、2、3、12而言，是三個不同階的運作，此時就會產生三維關係。3. 鐘面上的刻度量鐘面上的數字就是報讀時刻時，用來比對刻度的刻度量。例如第一冊以長針指向數字12，短針所指數字，就報讀點鐘；第二冊以長針指向數字6，短針指向數字和下一個數字之間（例如3和4之間），就報讀時30分（例如3時30分或3點半），本單元報讀時刻尚需有小刻度的幫忙，所以配合分針指的位置，在小刻度上做記號，先從1開始記到60，再轉成由0記到59；意指分針從鐘面上大數字12開始轉動，若視為起點則為0分刻度，若視為終點則為60分刻度。此時在鐘面上大數字12，兒童所標示小刻度數字，可以只有0、只有60、或者0和60並存；讓兒童先由經驗中察覺鐘面數字12、1、2、11、12和小刻度數字0、5、1055、60的關係；及分針指向0分刻度、1分刻度、2分刻度、60分刻度的位置；進而當分針指向1分刻度時會報讀時1分，分針指向59分刻度時會報讀時59分，最後希望能拿掉小刻度上的數字記號，兒童仍能以分針指向的小刻度，知道是幾分刻度，並會報讀幾時幾分。4. 時間不是十進結構因為時間的表示法，不是十進結構與兒童在數結構上十進的經驗不同，如何讓兒童由經驗中建構出1天是24小時，1小時是60分，1分是60秒，是非常困難的；而且鐘面的結構就是長度的怪尺，更需俱備數線的基礎才能瞭解。時鐘是人類做出來的，它是歷史上物理科學的產物，現在我們要來引導學生認識時間，產生文化上的認同，是何等困難之事；所以兒童無法瞭解時間會跟著長（分）針短（時）針走，即使到了二、三年級教學幾點幾分時，兒童將鐘面上的10:55讀成11:55也是常事。5. 時間與時刻時刻在數學用語上是指某一事件發生的時候，例如：8點升旗、8點40分上課、上午開會、明天出差；而時間在數學用語上是指某一事件經過了多久，例如：升旗20分分鐘，上一節課40分分鐘，開會3時小時，出差2日天；二個時刻之間所形成的時區就是時間，例如：9時半到10點30分經過1時小時，今天9時到明天9時經過24時小時或1日天。生活用語上的時間，泛指數學用語上的時間和時刻，例如現在是什麼時間？指的就是時刻；花了多少時間？指的就是時間。在低年級及三年級教學時，為了避免混淆，我們通常用現在是什麼時候？現在是幾點幾分？代表時刻；用經過了多久？代表時間；藉時刻的改變並配合事件的發生，來體驗時間的流逝。在四年級上學期，教師的問話偶會提及幾時點幾分這個時刻；在四年級下學期，教師的問話會正式出現現在是什麼時刻？的用語。6. 月曆上的二維關係在日曆上查閱星期幾很清楚，但需一張張翻開，而在月曆上找幾月幾日星期幾，必需同時會看二個位置（一是月日，一是星期）。大多數的月曆是用二維方式出現：而且月曆上每星期的開始可能是星期日或星期一，事實上“一星期”不一定是從星期日或星期一開始，只是月曆表上表示不同而已，也有的月曆是把這二把尺排成一長條出現：這種月曆較不易讓兒童察覺一星期和星期幾之間的關係。如果是年曆，學生先找到月，再由該月中找出日是星期，就會產生三維關係。7. 時間的單位量：年、月、日、時、分、秒通常我們說1年時，會想成一個時間量，很少有其他想法，但是說1998年時，則會想成時刻，甚少有人會想到也是1998個1年的時間量；所以說1月、1日時，則可能想成一月或一日是一個時刻，也可能表示時間量；至於說時分秒時，是指時刻還是時間量呢？數學上表示時間的單位量是年、月、日、時、分、秒，其低階單位到高階單位的進位系統有六十進位、二十四進位、三十進位、十二進位等，是一個複雜的高低階關係。通常在單位量前加上單位數，例如：5元、5公分、5公升等等，表示某單位量有多少？是一個量；但是碰到時間教材，要配合情境去瞭解是指示時刻還是表示時間量。生活上，我們有時會說年月日、時分來代表時刻或時間，也會用個月、小時、分鐘、秒鐘來代表時間時間量。8. 日、時、分、秒的兩階間等量關係兒童在四年級上學期，藉已有的1分鐘量感和鐘面現象的連結，進行累計特定時區有多少分或多少小格的計讀活動；再擴展到討論同一事件從時到1時名稱時或時分到1時分週期時有多少時間？知道1小時和60分鐘的關聯；並藉節拍器1分鐘打60下和鐘面上秒針和分針的轉動作連結，認識1秒鐘，並產生1分鐘和60秒的關聯；兒童先在工具量層次二發展日、時、分、秒的量感，透過教學活動已察覺到高低階單位間的關連，但尚未進入層次三等量感階段。在四年級下學期，則是藉有系統的教學活動，協助兒童分別建立1時60分60分1時、1分60秒60秒1分、1日24時24時1日的等量關係，並體驗名稱時和週期時、名稱日和週期日。9. 年、月、日的兩階間等量關係1年有12個月、1個月有30日，那麼1年不是就應該有360日？在兒童尚未學習平均數及概數的概念時，教師不宜要求兒童發展一般性推理；宜從月曆的現象入手，來適應文化上的約定。就指定的年、月均可查出其有關日數，並可察覺其規律；僅對未指定的年、月，告知我們通常說1年有365日、1個月有30日。在四年級下學期曾藉6年的年、月、日現象，讓學生察覺其規律。在小學階段並不作進一步的教學活動，發展1年12月、1月30日的等量關係。（二）速度1. 速率和速度（speed）速率只講物體宜移動得快慢而不管其移動的方向，速度則須同時提及移動的方向；在物理學，速度代表一個向量，而速率只是向量的長度（絕對值）。例如：有兩輛汽車，在同一時間內進行相等距離的移動，但是一輛向東行，一輛向北行，因為物體移動的方向不同，只能說其速率相等，而不能說其速度相等。所以，速率和速度代表的意義是不同的。學童此時尚無法區分速率和速度，所以教學時不必說明，以免混淆兒童們的概念。(所以在教學中所說的速度是採生活用語，不是物理學上所說的速度。)2. 速率的直接比較二物體在同一時刻，同一地點開始移動，就其終點行為觀之，是誰先達到終點線（相同距離中比較時間）或是誰移動的距離比較長（相同時間中比較距離），這種直觀的比較不需要透過數字記錄來做判斷。3. 速率的間接比較當二物體不能在同一時刻或同一起點開始移動，須藉數字記錄來判斷時，即是間接比較。此時，學童要先透過教學活動瞭解：.物體一動不受是否為同一起點、同一時刻的影響，只要移動的距離一樣長，就可以在相同距離時，比較所花費的時間。.物體移動不受是否為同一起點、同一時刻的影響，只要物體移動的時間一樣長，也可以在相同時間下，比較所移動的距離。4. 時間、距離與速率（平均速率）速率一般可用快、慢來描述。固定距離時，物體移動所花費時間較少，表示速率較快，花費時間較多表示速率較慢。固定時間時，物體移動距離較長，表示速率較快。距離較短表示速率較慢。時間和距離是掌握速率的兩個要件，只知道距離不知道時間獲知到時間不知道距離是不能比較快慢。距離和時間的平均值就是平均速率。通常需想成物體移動的每一段距離所花的時間一樣多，或想成每一段時間物體移動的距離一樣長。社會上習慣採用以時間為單位求算距離和時間的比，即採用平均秒跑4公尺的說法，當學生有測量運思的能力時，則可用每秒跑4公尺的說法。每單位時間移動多少距離是平均速率的說法，平均速率可以簡稱為速率，即距離時間速率。但課程的教學主張是交概念為先，所以不需出現公式。有關由已知的速率和時間求出距離，或由已知的速率和距離求出時間的問題，是利用教學活動配合問題情境讓兒童經驗，並不出現速率時間距離、速率距離時間的公式來解題。5. 秒速、分速和時速秒速係指以秒為單位，平均每秒所移動的距離叫做秒速；分速則指以分為單位，平均每分所移動的距離叫做分速；而時速是以時為單位，平均每時所移動的距離叫做時速。引導兒童用平均的想法來列出除法算式，除數是以秒、或分、或時做單位的，讓兒童察覺被除數代表的都是距離，除數代表的都是時間，商代表的都是速率。有關秒速、分速和時速之間的換算和比較問題，要引導學童找到共同測量單位，以秒、分、或時為單位來進行解題。二、認知結構(一)時間和時刻1. 不以鐘面上數字及小刻度所形成的數線結構來教學兒童對時間單位：秒、分、時、日、月、年的意義及瞭解非常難掌握，更遑論其為非十進結構了。因為時間是工具量，除了可以利用刻度報讀時刻外，亦可利用刻度間的關係來測量時間；但是利用兩個刻度間的關係認識1分鐘、1小時等，這類看不到、摸不到的量，對兒童而言是十分困難的，如果再涉及任意兩個小刻度之間或每一小格都是1分鐘、分針只要走1圈就是60小格，是60分也是1小時等數線結構性問題，不是此階段兒童能瞭解的。所以教學時應避免說長（分）針轉1圈是1小時，長針轉1小格是1分，1小時是60分（分鐘），或短（時）針轉1大格（例如數字3到4）是1小時，長針走1圈短針走1大格等。2. 不以累進性合成的觀點而以比對刻度的觀點報讀時刻由於時間結構的複雜及量感（1分、1時）的難以掌握，所以學童只要單純的利用比對刻度的觀點報讀時刻即可，不可利用累進性合成的觀點，例如從9時開始，分針走1小格是1分，是9時1分，分針在走1小格，共走2小格是2分，是9時2分；或者現在是9時15分，分針再走2小格是多2分，是9時17分，等方式來教學報時。教師應避免造成學童對時刻（刻度）和時間（區間）的混淆，例如5分刻度是指一個位置，即分針所指向的小刻度5的位置；而5分是5小格所累積成的量，每1小格是1分，5小格就是5分，它可以是0分刻度到5分刻度，也可以是13分刻度到18分刻度等等。3. 配合生活經驗強調現在一年級下學期是以現在（當月、當日、當時）是什麼時候為主要討論活動，以配合學童生活經驗，而非生硬地去了解及記憶教學內容。例如：以當時看到的時刻記錄鐘面，觀察鍾面由以前的記錄到現在記錄的改變，配合發生事件的描述，經驗時間的流逝；以當日的日期及相關事件，體驗今天、昨天、明天的關係，經驗日期的流逝。經驗生活中大刻度時間（例如天）的流逝，也是培養時間量感上重要的經驗。學童也許知道今天、明天、昨天的用語，但不一定知到其真實意義，需要有實際例子的體驗，所以安排配合事件（例如值日生）記錄日期的活動，很自然的引出今天、明天、昨天的用語，及日期（日、月、星期）的變化，經由多少每日連續討論，學童可有充分的經驗。但若假設某一日為今天，其前一天就是昨天，是幾月幾日星期幾；其後一天就是明天，是幾月幾日星期幾，則學童不易了解，而且十分不生活化，不宜如此教學。4. 時間、時刻的生活用語和數學用語並用我們講一星期從數學上看一定是7天，但從生活上看一星期可不一定是7天，如果說上課一星期，大概指的是6天或5又1/2天；如果有一數學問題，小明的爸爸每天賺1000元，一星期賺多少元？學童算成1000元7天、6天或5又1/2天等答案是否錯誤？我們通常說上課1天，但上課1天實際只有7、8小時，它離一天的感覺相去很遠。因為時間的單位量是年、月、日、時、分、秒，所以在時刻上的數學用語是：1998年5月、5月14日、18時20分等等，在時間量上的正適用語是：10年2月（10個年2個月）、5月14日（5個月14天）、18時20分（18小時20分鐘）等等，有數學用語也有生活用語。數學本來就要和生活連結，不必因為學了數學用語後就刻意迴避生活用語；所以，幾時幾分和幾點幾分、1時和1小時、1分和1分鐘、1秒和1秒鐘、1日和1天、上午和早上、中午和晚上的說法都可以。教學時宜讓學童藉情境判定月日、時分是代表時刻還是時間，不移宜用數學用語代表時刻、用生活用語代表時間。5. 化聚活動宜先聚在再化從低階單位（例如：分）累成高階單位叫做聚，由高階單位（例如：日）分成低階單位叫做化；兒童先有很多的累進的經驗，之後才有分的概念。教學活動的布題配合兒童的認知發展先做聚成部分，再做化成部分；各部分題目的層次採由簡到繁有結構的安排。（二）速度1. 採用生活用語的速率度來代表速率速率和速度是有區別的，但在兒童的生活中描述物體移動的快慢，都是以速度來稱之。配合兒童認知發展的課程在與成人溝通時，是以速率稱之，與兒童溝通時則以速度稱之2. 涉及比例運思的速率問題求算單位時間移動多少距離的速度問題。力：平均1秒公尺。就是涉及比例運思的問題之一，這類問題要先假想成物體宜動得快慢保持一樣，才能求算平均，並算出單位時間移動的平均距離。求算平均速率是為對物體移動作全程狀況的描述，目的不在比較快慢。三、迷思與教學策略1.低年級部份(1)有關鐘面時刻的報讀分針指在9以後，時針都靠向隔壁的數字，容易錯誤，如五點五十六分看成六點五十六分。以上容易產生的迷思，我覺得其實在一開始的教學上，老師就應先帶領學生實際操作。利用小時鐘讓學生實際操作學習，就可以讓學生實際體會時針、分針的轉動與關係(分針往12轉動時，其實時針也正在往下一個數字移動)。當學生了解這個概念後，老師可以先帶領學生做題目，讓學生更加深刻記住時針和分針的關係，以後遇到該問題不會出錯。 (2)有關月曆日期的報讀昨天、今天、明天在時間上日期的變換，例如：假設某日為今天，問昨天、明天；中下程度之兒童通不易理解。學童也許知道今天、明天、昨天的用語，但不一定知到道其真實意義，可以讓學生紀錄自己的生日，這樣就可以很自然的引出今天、明天、昨天的用語，及日期（日、月、星期）的變化，這樣學生可有充分的經驗。但若假設某一日為今天，其前一天就是昨天，是幾月幾日星期幾；其後一天就是明天，是幾月幾日星期幾，則學童不易了解。月曆的構成及每月最後一日是30或31止的判斷很困難。在教學時，家長可以先拿出一份年曆，讓孩子記錄下每個月份的天數，並且請他們觀察幾月以前的奇數月都是大月(31天)？（答案是八月）、幾月以後的偶數月都是大月？（答案是七月）這樣的問題是讓孩子從觀察中了解年曆的大小月有一定規則，只要掌握這樣的規則性，再將特殊的二月28天、每四年一次29天單獨記下，哪些是大月、哪些是小月就不會讓孩子在作答時傷透腦筋了。每月底星期幾到下月初星期幾的連接，兒童較難理解。由於有些孩子會認為每月的1日應該都是星期一才對，因此為了讓孩子能夠更清楚地了解月曆的星期安排，所以剛開始先引導學生去觀察月曆，看看每個月的1日是幾號，讓學生有機會去思考判斷。如果時間上允許的話再讓孩子有親自動手做月曆的機會，這樣的練習會讓學生更能夠清楚的認識月曆上星期的安排到底是如何。民國年月日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930(3)時間計算:兒童對幾時幾分幾秒到幾時幾分幾秒，共多少時間？缺乏概念，學習困難，而這個狀況也表現在應用題上。而對於這個迷思一開始在教學的時候級可以使用數線式的教學。7點15分 7點33分小丸子上午7點15分從家裡出發，到學校是7點33分；那麼小丸子從家裡到學校花了多少時間呢？ 15 分+ 33 分 48 分 33 分- 15 分 18 分誰說得對呢？媽媽 小丸子理由是： 因為時間的表示法，和兒童之前在數結構上十進位的經驗不同，如何讓兒童由經驗中建構出1天是24小時，1小時是60分，1分是60秒，是非常困難的 。解決這個迷思的方法，也是以實作的方式讓學生觀察鐘面時針時針轉一小格是一小時，知道24小時是一日，一日是24小時。另外觀察鐘面時針、分針的轉動，認識1時60分、60分是1時。另外當學生發生錯誤時，則反覆拿出教具鐘時做給學生看。阿可北搭乘5：50分的自強號，7：06分到達新竹，問台北到新竹共要？時？分。小黑： 107時06分 答：1時56分 -5時50分 1時56分大頭： 6 時66分 7時06分 -5時50分 1 時16分小朋友，你覺得誰的做法才是正確的呢？小黑大頭我的理由是：四、綱要結構時間的教學是要先以不涉及量感的教學活動，從工具鐘錶、月曆，來認識時間，再配合生活事件從時刻變化中建立時間量感，進而才能做時間的化聚。而速率教材在小學階段只教速率的認識和直接比較為主。年級階段能力指標分年細目說明一年級N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。1-n-08能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。分辦事件發生的先後和長短，經驗時間和時刻。認識時鐘並報讀幾點鐘的時刻（含數字鐘型態的時刻記錄）。透過時刻的記錄，讓學生察覺長針、短針會因時間的流逝及時刻的改變而旋轉。報讀、撥出並記錄幾點半的時刻。查日曆和月曆，知道幾月幾日是星期幾。配合查月曆活動，知道不同月份間、同月份不同日間的先後順序。透過記錄每天的日期，讓學生經驗日子的流逝，並會使用昨日（天）、今日（天）、明日（天）的用語。二年級N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。2-n-11能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。透過幾點鐘、幾時30分的報讀，進而介紹時針和分針；然後利用鐘面上小刻度位置所對應的幾分時刻，進行幾點幾分的報讀；再由五個一數，知道鐘面上的數字所對應的幾分時刻，進行鐘面時刻的有效報讀。教學上應讓學童與長度測量之刻度尺相連結。在報讀鐘面時刻的活動中，配合連續撥鐘活動進行7點55分的時針接近8，但還不到8點、8點5分是時針接近8，但超過8點的練習，協助學童掌握時針所在位置代表的正確數值。根據小刻度上標有的數字的鐘面所展示的時刻，報讀幾時幾分。察覺鐘面上數字112和小刻度上面數字關係，並能根據鐘面說、讀、聽、寫、做幾時幾分（含數字鐘型態的時刻記錄）。N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。2-n-12能認識年、月、星期、日，並知道某月有幾日、一星期有七天。透過查月曆，認識今年、明年以及都有12個月其總日數。透過一天生活事件的記錄，認識一天。以日作為計讀的單位，點數某一時段的日數，及認識一星期。三年級N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。3-n-11能認識時間單位日、時、分、秒及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。認識時、分、秒間的關係，知道1日24時、1時60分、1分60秒。以小時為單位，觀察鐘面時針時針轉一小格是一小時，知道24小時是一日，一日是24小時。以分鐘為單位，觀察鐘面時針、分針的轉動，認識1時60分、60分是1時。藉秒針轉一圈是60秒，分針轉一小格是1分，知道60秒是1分，1分是60秒。由於時間的計算，牽涉到時間單位的複雜進位（24進位、60進位）與數的10進位記數系統混合的問題，必須完全仰賴單位的換算，比其他量要困難。因此在三年級時，只宜進行時或分同單位時間量之加減計算。例：媽媽說我再過1小時會回來。，現在時鐘是3時40分，請問媽媽什麼時候會回來？四年級N-2-15 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。4-n-12能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。本細目之加減計算含日、時、