33-2013美国国家队选拔考试.pdf

2 0 1 4年第 8期 3 3 2 0 1 3美 国 国 家 队 选 拔 考 试 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编 号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 8 0 0 3 3 0 5 1 一个联谊俱乐部有 2 1 名成员 每名成 员均精通相同的 k 种语言 任意两名成员只能用 一 种语言进行交谈 若不存在三名成员 他们两两 之间用的是同一种语言进行交谈 设 A是由三名 成员构成的子集的个数 且每个子集中的三名成 员两两之间用的是互不相同的语言进行交谈 求 A的是大值 2 第 5 3 届 I M O预选题数论部分第 2 题 3 已知不等边 A B C满足 B C A 9 0 C D 上 A B D为垂足 是线段 C D上一点 K是线段 上一点 使得 B K B C 类似地 设 是线段 B X 上一点 使得 A L A C D K L的外接圆与线段 A B 的第二个交点为 异于点 D 证明 AC T BC 4 第 5 3届 I MO预选题代数部分第 6题 5 若不全等的 A B C和 X Y Z称为一对 伙伴 应满足条件 1 这两个三角形的面积相等 2 设 B C Y Z的 中点分别 为 集 合 A B A M A C 和 X Y X W X Z 是相 同的三元集 合 其元素为两两互素的整数 问 是否存在无穷多对伙伴三角形 6 在锐角 A B C中 以A C为直径的圆 与 边 B C交于点 F 异于点 C 以B C为直径的圆 与边 A C交于点 E 异于点 C 射线 A F与圆 交于两点 且A K A M 射线B E与圆 厂 交于 两点 且 B L B N 证明 直线 A B M L N K三 线交于一点 7 已知 凡是固定的正整数 在 1 7 2 n的矩形 方格表中 每个方格内写 0或 1 且每行有 11 个 0 n 个 1 对于 1 n和 1 n 定义 0 使得第 k 行的第 i 个0在第 口 列 对于每个整数 i 1 i n 设满足 0 口 口 的矩形方格表的 集合为 由 C 定义 n 2 n的矩形方格表 c 如下 对于 c 的第 k 行 在第 0 一 k 1 a k 2 口I 一 列的方格 内写 1 其 他方格内写 0 证明 1 C 巧 2 对于任意 c 有 C C 8 是否存在三元整系数多项式 P y 满 足下述性质 一个正整数 n不为完全平方数当且 仅当有一个三元正整数数组 Y z 使得 P Y n 参 考 答 案 1 A的最大值为 二 生 将联谊俱乐部看成是有 2 1 个点的完全 图 每种语言对应着一种颜色 并将用这种语言进 行交谈的两名成员对应的点之间所连的边染为其 对应的颜色 设顶点 的集合 为 语言或颜 色的集合 为 L Z z z d 表示由顶点 引出的颜色 为 l 的边的数 目 则 对 于 每 个点 均 有 d i 2 k 若一个三角形有两条边同色 则称该三角形 是 等腰的 接下来 通过计算共用一个顶点的两条同色 边构成的边对的数 目来得到共用顶点 的等腰三 角形的数 目为 c t c c 由柯西不等式得 c c 2 c 一 告 d i 一扣 中 等 数 学 吉 七 对所有顶点求和 可得等腰三角形的数 目至 少为 c 如 k k 2 k 1 因为不存在同色三角形 所以 每个三角形要 么为等腰三角形 要么为三边颜色互不相同的三 角形 记这样的三角形的数 目为 A 于是 A c k 2 k 1 下 面 给 出 一 个 A 三 的 例 子 考虑到上述不等式等号成立的条件是对于所 有的 i 均有 d 2 因此 只需证明 对任意有 2 十1 个顶点的完 全图均能分成 k 个两两不交的哈密顿圈 这样只需给每个哈密顿圈分别染一种不同的 颜色 事实上 由顶点 u 开始交替连接两个 点列 t l t 2 和 2 t 2 1 k l 得到一个 圈 C 0 u o 1 移 2 t 2 t 2 一 l 1 u 0 将圈 C 中的每个顶点 不含 u 的下标加上 i 得到圈 C 1 一 1 其中 对于任意整数 v j v 2 k 经验证 这样的 k 个哈密顿圈两两不交 2 见本刊 2 0 1 3年第 l 2 期 3 如图 1 设 为 A B上一点 使得 ACT BC T 因为 C T 为 B C A的平分线 所以 存在以 为圆心 与线段 A C和 B C均相切的o 切点分 为 M M C M G D 图 l 先证明一个引理 引理若 D S四点共圆 且点 S在 o 上 则 B R A S C D三线交于一点 证明 设过点 R 5分别与o 相切的直线交 于一点 P 因为 T R P T S P 9 0 所以 P 尺 s 四点共圆 又R D S四点共圆 则 P R D T S五点 共圆 于是 D P 9 0 因此 点 P在直线 C D上 若直线 MN与 兄 S 交于点 Q 由于过点 J7v 分 别与o 相切的直线交于点 C 则点 Q关于o 的极线 为 P C 于是 MS与 R N的交点 G在直线 P C上 由正弦定理得 s i n C AS s i n 兄 s i n S AB s i n 胎 C MS s i n AMG RDs i n B DR As RB S Ds i n A D S R Ns i n B NG As RB Ms RD s i n A MG s i n BDR 一 S D RN s i n MDS s i n RND s i n S MD s i n R DN s i n CMG s i n ADR s i n CNG s i n BDs s i n R ND s i n C MG s i n s MD s i n C NG s i n MDs s i n A DR s i n RDN s i n BDS 注意到 s i n RND s i n C MG s i n s MD s i n C N G G Ds i n C DN CGs i n MC D GN G M G M GN s i n CDN s i n MC D s i n NCD s i n CDM C N DM DN CM 2 0 1 4年第 8期 3 5 C Ds i n A CD DM s i n DMC DN C Ds i n BC D s i n DNC s i n A C D s i n BC D s i n DNC s i n DMC 因为 T N C T MC T D C 9 0 所 以 C D 五点共圆 故 D N C 1 8 0 一 D MC C MNC NMC NDC 又因为 R T S 所 以 兄D A T S RT 故 MD S MDC 9 0 一 S D B DC 9 0 一 尺 R D 因此 s i n MD S s i n A DR 8 1 n R D N s i n B D S 1 将式 代入式 得 s i n s i n RB A s i n BC D s i n S A B s i n RBC s i n Ac D 1 由角元塞瓦定理的逆定理 知 B R A S C D三 线交于一点 回到原题 设直线 B X与 离点 较远的交点为 R X R D T 与o 的第二个交点为 s 由引理知 A S B R C D交于一点 因此 A S K三点共线 设圆 是以 A为圆心 A C为半径的圆 圆 是以 为圆心 B C为半径的圆 直线 A K与圆 的第二个交点为 Is 直线 脱 与圆 的第二 个交点为 R 则 B是o7 和圆 的一个位似中心 于是 旦 R 一 墨 一 旦 一 BR 一BC B A a 6 其中 B C 口 C A 6 A B c 且B c 注意到 砚 船 a 砚 船 Bc D 口 D 口 十 D BT D b 南b b n 口 则 B L B R B T B D 故 尺 D 四点共圆 类似地 S D 7 四点共圆 因为 L R D s D s R D 7 分别四 点共圆 所以 s R K D 六点共圆 由R D S四点共圆 知点 与 重合 4 见本刊 2 0 1 3 年第 9期 5 答案是肯定的 先证明两个引理 引理 1 下列命题及其逆命题均为真 若 q r s 是三个不同的正实数 且 q r 2 s 是 某三角形的三边长 则存在唯一的 P 使得 P Q q P R r P S s 其中 s 为边 Q R的中点 引理 1的证明 若 9 r 2 s 是某三角形的三 边长 构造唯一的 P 尺 Q 使得 P R r 尺 Ql q P Q1 2 s 设 5为 尸 Q 的中点 延长 R S至点 Q 使得四 边形 P Q Q R为平行四边形 则 F q l 满足 P Q q P R r P S s 其中 s 为 的中点 对于逆命题的证明 只需说明上述的过程是 可逆的 引理 2 设 Js 是 P Q R的边 Q 尺的中点 且 P Q q P R r P S s 贝 0 1 鲫R 4 2 g 2 r 2 s 8 s q 2 q 4 r 4 1 6 s 引理 2的证明 因为四边形 P Q Q R为平行 四边形 所 以 S R S 口 注意至 0 P R r 尺 Q q P Q 2 s 由海伦公式知结论成立 回到原题 由引理 1 若 A B C和 x X Y Z是一对伙伴 不失一般性 假设 A B A C A M n s t X Y X Z n t s 由引理 2知 2 n s 8 s t 8 t n 一n 4一s 一1 6 t 2 n 2 t 8 t s 8 s n 一n 一t 一1 6 s 3 6 中 等 数 学 6 n 2 t 一6 n 2 s 1 5 t 一1 5 因为 A B C和 X Y Z不全等 所以 s t 于是 2 n 5 t s 设 n 5 k k 1 l O k l O k 5 k Z 由恒等式 口 b c a c 6 d a d 一 6 c 知t 十 s 1 0 k k 1 1 3 k k 1 k 1 4 j 3 2 k 一1 k k 1 6 k 4 k一 1 2 JI 8 k 3 对于正整数 k 设 It s t 1 O k 1 O k 5 6 k 4 k 一1 2 k 8 k 3 对于足够大的 k 每一个 n 2 s 和 It s 2 t 均为某三角形的三边长构成的集合 由欧几里得辗转相除法 知当 k 3 ro o d 5 时 It t 两两互素 因此 边长分别为 l 2 s t 和 n s 2 t 的两 个三角形是一对伙伴 且这样的伙伴有无穷多对 6 如图2 设 C D l A B于点 D 日为 A B C的 垂心 则圆 均与 A B交于点 D J璺 I 2 由圆幂定理知 L H HN C H HD Kt t HM 因此 K J7 四点共圆 注意到 A C B C分别是四边形 K L M N对角线 L N K M的中垂线 则四边形 K L M N的外接圆的圆心为 因为 A N C A L C 9 0 所 以 A N A L与 四边形 K L M N的外接圆oC分别切于点 厶 于是 点 日在 A关于oC的极线上 同理 点 在 关于OC的极线上 由布洛卡定理 知 M L与 N K的交点在 日关 于 OC的极线 A B上 7 首先给出方格表 c 与一个固定的边 长为 n的正六边形 日的分割之间的一个双射 其 中 正六边形 日被分割为由两个单位正三角形粘 成的平行四边形 且称这样的分割是 好的 对于一个正六边形 日的好的分割 正六边形 日的一条边平行于 Y轴 且正六边形 日在这条边 的右边 并将这条边 n等分 考虑这条边最上面的一条单位长的线段 作 为一个单位平行四边形的一条边 设这条边的中 点为 眠 在上述单位平行四边形 中 这条边 的对 边的中点为 联结 若 的斜率为正 则在 n 2 n的矩形方 格表 C的格 1 1 内写 1 否则写 0 类似地 设 是下一个 中点 若 的斜 率为正或负 则在格 1 2 内写 1 或0 重复2 n次 则方格表c的第一行被填满0和1 对于正六边形 日左侧的那条边 考虑第二条 单位长的线段 则方格表 c的第二行被填满 最后 n 2 n的方格表的所有方格内均被填入 0 或 1 图 3是 一个对应 的例子 1 1 0 0 1 0 1 川 1 0 1 0 0 1 j I l 0 0 0 1 l I 图 3 因为正六边形 H左侧的边上第 k 条单位长 的线段的高度与其右侧的边上第 k 条单位长的线 段的高度相同 则方格表 C的第 k行中0和 1的 个数相同 即均有 r t 个 若对于某个 i 有 10 2 若 Q x y Z O 则 不为完全平方数 3 对于每一个非完全平方数 若 为正整 数 则存在 y z Z 使得 Q x y 0 先证明多项式 p x Y x Q x Y 满 足条件 事实上 若 Q x y z 1 对于正整数 有 P Y GO 若 Q x y z 0 则 不为完全平方数 且若 P Y 为正整数 则该正整数不为完全平方 数 反之 对于每个正整数 若 不为完全平方 数