Strongart数学笔记：浅谈量子群的基本代数结构.pdf

浅谈量子群的基本代数结构浅谈量子群的基本代数结构 2014 02 02 14 28 23 量子群 Quantum groups 是一类特殊的 Hopf 代数 可 以视为 q 量子化的李代数 其表示理论于 Yang Baxter 方程 有关 还可以用来表示扭结的不变量 这里我们主要介绍量 子群中出现的基本代数结构 先从 Hopf 代数开始 假设读者已经掌握基本的 Hopf 代 数结构 H S 参见 2 这里只讨论两 个常见的例子 一是群代数 k G 上的 Hopf 代数结构 从元 素 x G 出发 可以得到满足关系 x x x 的元素 称 为类群元素 grouplike element 在一般 Hopf 代数中 所有 的类群元素确实构成一个群 第二个是李代数 g 的万有包络 代数 U g 从元素 x g 出发 可以得到满足关系 x 1 x x 1 的元素 称为本原元素 primitive element 接下来我们开始做 q 量子化 主要思想就是做乘法的非 交换性 从交换运算推广到非交换运算 首先是加法的非交 换性 由此得到交换子 a b ab ba 把它公理化就得到了李 代数 现在我们还有更进一步 考虑乘法的非交换性 设定 一个常数 q 1 使得 ab qba 这一点从基本的组合数开始构 造 用 n q 1 q q n 1 q n 1 q 1 代替自然数 q 由此定义 q 组合数 q 指数等等 以后为了避免枝节 一般 假设 q 不是单位根 一般情形的量子矩阵群是比较麻烦的 参见 3 这里 我们只看二阶的特例 先看 q 量子矩阵群 M q 2 它实际 上是二维 q 向量空间上的算子 这里的二维 q 向量空间是指 它的两个坐标 x y 满足 yx qxy 设矩阵 A a b c d 与其转置都作用在这个二维 q 向量空间上 那么就得到六个 基本关系 ba qab db qbd ca qac dc qcd bc cb ad da q 1 q bc M q 2 就是 k a b c d 对于这六个基本关系式的商 它实际上 是基为 a ib jc kd l i j k l 0 的无零因子的 Noether 环 我 们还可以定义 A a b c d 的 q 行列式为 det q ad q 1 bc 它位于 M q 2 的中心 M q 2 上的代数结构由通常的矩阵乘法给出 其上代 数结构可以给定为 A A A 按照矩阵乘法给出张量积 A I 单位矩阵 我 们 还 可 以 定 义q 量 子 一 般 矩 阵 群 GL q 2 M Q 2 t tdet q 1 与 q 量 子 特 殊 矩 阵 群 SL q 2 GL q 2 t 1 在 GL q 2 与 SL Q 2 上 我们就可以 定义对极映射 S 使其成为 Hopf 代数 S a b c d det q 1 d qb q 1 c a 还有一个重要的例子就是李代数 sl 2 的量子包络代数 U q U q sl 2 它由四个变量 E F K K 1 生成 满足 基本关系 KK 1 K 1 K 1 KEK 1 q 2E KFK 1 q 2 F E F K K 1 q q 1 它实际上是以 E iF jK l i j 0 l Z 为基的无零因子的 Noether 环 当 q 1 时 它可以被还原成李代数 sl 2 的包 络代数 U U sl 2 在 U q 上 我们可以定义这样的双代数结构 E 1 E E K F K 1 F F 1 K K K K 1 K 1 K 1 E F 0 K K 1 1 进而定义其 Hopf 代数结构为 S E EK 1 S F KF S K K 1 S K 1 K Hopf 代数 U U sl 2 与 SL 2 之间存在着对偶关系 我 们也可以类似得到 SL q 2 与 U q 之间的对偶关系 接下来我们考虑双代数上的辫结构 设 H 是双代数 它是拟上交换的 若存在 H H 内的可 逆元素 R 使得对任何 x H 有 op x R x R 1 这里的元素 R 称为万有 R 矩阵 拟上交换的双代数 H R 称为辫的 braided 若其万有 R 矩阵满足条件 id R R 13R 23 id R R 13R 12 可以证明 对于辫双代数 H R 其万 有矩阵满足所谓的 Yang Baxter 方程 R 12R 13R 23 R 23R 13R 12 以及关系 id R 1 id R 假若把双代数升级为 Hopf 代数 我们可以对应得到辫 Hopf 代数 H S R 满足关系 S id R R 1 id S R 与 S S R R 辫 Hopf 代数 D 称为带状代数 ribbon algebra 若存在 D 的中心元素 满足关系 R 21R 1 与 1 下面我们要考虑的一个概念是张量范畴 它还有一个名 称叫做幺半范畴 monoidal category 参见 4 在同调代 数理论中 Hom 函子与张量积函子的地位相仿 但是在范畴 理论中却只有 Hom 函子得到了公理化升级 直到后来研究 扭结 量子群等理论 才算是让张量函子重新有了点地位 但这似乎并不是必需的 从逻辑上完全可以类比 Hom 函子 在范畴中引入张量积的概念 得到所谓的张量范畴 在范畴 C 内引入张量积 就是构造一个张量函子 C C C 1 给定 C 的对象 V 与 W 引入新的张量对象 V W 2 给定态射 f 与 g 引入新的张量态射 f g 满足条件 2 1 s f g s f s g b f g b f b g 这里 s 与 b 分别表示态射的源 source 与靶 target 2 2 若 f 与 g 也是 C 的态射 满足 s f b f s g b g 则 f g f g f f g g 2 3 id V W id V id W 一般意义上的张量范畴要考虑一个结合律算子与左右 约束算子的问题 这将使得我们的运算变得非常繁琐 这里 我们默认结合律总是成立的 并且自然等同 V I V 与 V I V 其中 I 是张量范畴内的单位 这就得到所谓的严格张 量范畴 可以证明 任何张量范畴都等价于某个严格张量范 畴 见 1 XI 5 约定 如无特殊声明 下文中所提到的张量范畴均为严 格张量范畴 在严格张量范畴上 我们也可以定义辫结构 对于张量 范畴 C 内的任何对象 U 与 V 定义自然映射 c U V U V V U 若它还满足条件 c U V W id V c U W c U V id W c U V W c U W id V id U c V W 那么这样就得到辫张量范畴 C c 这样的辫结构还 满足所谓是十二边形关系 c V W id U id V c U W c U V id W id W c U V c U W id V id U c V W 这样定义的辫张量范畴与前面的辫双代数有什么关系 呢 对于双代数 H 其模范畴 H Mod 是辫的 iff H 的辫双代数 严格张量范畴可以由基本的缠结图 tangle diagram 生 成 这使得我们可以用缠结图的几何方式来演示证明上述繁 琐的关系 详见 1 事实上 这样的做法在辫群理论就已经 出现了 用几何辫图可以直观看出运算结果 这样的缠结图 则是在上述基础上的推广 在带单位的张量范畴上 我们还可以定义对偶星结构 设 C I 是带单位的张量范畴 其 左 对偶是指对 C 的各对象 V 在 C 内存在对象 V 与态射 b V I V V 与 d V V V I 满足条件 id V d V b V id V id V d V id V id V b V id V 由这样的对偶 我们可以定义态射 f U V 的转置为 f V U 如下 f d V id U id V f id U id V b U 这样定义出来的对偶星结构 具有下面的基本性质 1 对任何 f V W 与 g U V 有 f g g f id U id U 2 对任何 U V 与 W 有 Hom U V W Hom U W V Hom U V W Hom V U W 3 对任何 U 与 V 有 U V V U 通过对偶 我们还可以表达辫关系 对任何 U 与 V c U V d U id V U id U c U V 1 id U id U V b U 在带对偶的张量范畴 C 上 我们可以定义扭子 twist 为以 C 的对象 V 为的指标一族自然同构 V V V 满足 关系 V W V Wc W Vc V W V V 它还满足下列关系 V W c W Vc V W V W c W V W Vc V W I id I 带左对偶与扭子与辫张量范畴称为带状范畴 ribbon category 它与上文中的带状代数有着密切的联系 对任意 带状代数 D 有限维 D 模的张量范畴 D Mod f 是扭子由 1 的乘法给出的带状范畴 反之 给定有限维辫 Hopf 代 数 D 若带对偶的辫范畴 D Mod f 是带状范畴 则 D 是带 状代数 这样我们再次达到了代数结构与范畴结构的统一 同时 带状结构提供了充分丰富的平台 使得我们可以研究很多几 何拓扑特别扭结理论中的问题 详见 5 对于带上单位与上乘法的 k 代数 A 我们还 有拟双代数 quasi bialgebra 的概念 它是指配备有限维向 量空间范畴 Vect k 的 A Mod 范畴是 不必严格的 张量 范畴 在此基础上可以得到拟 Hopf 代数的概念 其上依然 可以引入辫结构等等 对此本文就不再充分介绍了 扩展阅读 1 Kassel C Ollman Park Quantum groups M New York Springer 1995 本文主要参考书 量子群理论的入门书 2 Abe E Hopf algebras M Cambridge University Press 2004 预备知识 Hopf 代数的入门读物 3 Klimyk A U Schm dgen K Quantum groups and their representations M Berlin Springer 1997 量子群进阶读物 对量子矩阵群及其表示有较详细的阐述 4 MacLaneS Categoriesfortheworking mathematician M Springer verlag 1998 范畴论的经典入门 书 包括了最简单的张量范畴 5 TuraevVG QuantumInvariantsofknotsand three manifolds M de Gruyter 1994 量子群在几何拓扑中 的应用 开头有个从张量范畴带状范畴的简明小结 6 Majid S A quantum groups primer M Cambridge University Press 2002 量子群的书一般都特别厚 这却是 一本难得的小册子 本文作者 Strongart 是一位自学数学的牛人 现在