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最经济的水管铺设方案一、 问题的提出七年级时，我们曾学习过轴对称这一章。在学习过程中，常常会碰到这样一类作图题：如图1，在河岸l同侧有两个村庄A，B，A到河岸的距离为4km,B到河岸的距离为2km,A,B两村距离为3km,在l上找一点M建抽水站向A，B运水，使水管的铺设长度最短。当时，标准答案是：如图1，做A关于l的对称点A,连接AB交l于M，连接AM,则AM，BM即为所求。ABl图1图图BAAM但是，我在做题过程中却渐渐萌发了一种新想法。如图2，直接连接AB，作BMl，垂足为M，这样水管长度是否会更短呢？由于当时的知识有限，如图3，我只能推出当ABM=90时，我的解法比标准解法长度短（ABAM,BMn。图3l图图DACMMBA我的解法（以下称方案一）长度：AB+BM，即a+n。标准解法（以下称方案二）长度：AM+BM。因为A为A的对称点，所以AM=AM,AC=AC。所以AM+BM=AM+BM=AB。作BDAC,则四边形BMCD为矩形，BM=DC。所以AD=AC-DC=m-n,BD=AB2-AD2=a-(m-n)。因为AD=DC+CA=n+m,所以AB=AD2+BD2=(m+n)2+a-(m-n)2=a+4mn。三、 模型的求解与分析接下来看方案一和方案二哪个更短：因为（a+n）-（a+4mn）=2ma+n-4mn=n2+2m(a-2n)，又因为n0,m0,所以n20,2m0。(1)当a-2n0,即a2n时，（a+n）-（a+4mn）0,又因为（a+n）-（a+4mn）=（a+n+a+4mn）(a+n-a+4mn),a+n+a+4mn0。所以a+n-a+4mn0,即方案一比方案二长。(2)当a-2n=0,即a=2n时, （a+n）-（a+4mn）=0, 同理可得a+n-a+4mn=0，即方案一和方案二长度一样。(3)当a-2n0，即a2n时，（a+n）-（a+4mn）0, 同理可得a+n-a+4mn0,即方案一比方案二短。四、 模型的应用以文章开头的问题为例，当m=4km,n=2km,a=3km时，a2n,所以a+n-a+4mn0，应该按方案一修水管。五、 结论 这样，整个模型的建立和分析就完成了。在此类工程的施工过程中，人们只需丈量出具体数值，代入模型，便可以轻松得出最经济方案。这样，不但可以减少管材的用量，还可以节省人力，可谓是一举两得。当然，这只
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