平面 典型例题.doc

平面典型例题 【例1】在下列各种面中，不能认为是平面一部分的应该为（ ） A黑板面 B乒乓球桌面 C篮球的表面 D盆中的水面 思路点拨 平面有两个特征：一是“平”；二是“无限延展”，而作为平面的一部分，只需“平”即可，由此我们已经可以作出正确选择了 解：根据上述分析，我们可以发现：黑板面、乒乓球桌面、盆中的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分，故应选择C 误点剖析 易误选D，而事实上，盆中的水应该是平静的，因此，盆中的水平可作为平面的一部分 评注：上述所说黑板面、乒乓球桌面及平静的水面只是平面的一部分，并不是真正的平面 试解相关题 11 在下列各种面中，是平面一部分的为（ ） A课桌面 B被台风猛刮下的湖面C常见的山坡 D圆柱形茶杯的侧面参考答案：A 【例2】下列命题中，正确的命题有（ ） A墙面是平面 B3个平面重叠起来，比2个平面重叠起来厚 C一个平面的长是200 cm，宽是100 cm D平面是平滑的，无厚度的，可以无限延展的，只描述不定义的数学概念 思路点拨 应和例1一样，利用平面的二个特征进行判定 解：平面是无限延展的，无厚薄之分的，而D符合描述平面的两个特征，是正确的，故应选择D 误点剖析 由于在现实生活中接触到的“平面”（如桌面、平整的球场等），其实均为平面的一个局部因此，易误认为A或C是正确的，故这里要作出正确的选择，就需真正理解平面概念中的“既无大小又无厚薄，且可以无限延展”的本质 评注：和直线的概念一样，平面的概念只有描述没有定义，是一个原始概念 试解相关题 21 给出以下结论： 长为a，宽为b的矩形是面积为ab的平面 圆锥形漏斗的侧面是平面的一部分 因为平展在桌面上的纸面是平面的一部分，且由于300页的书比100页的书厚，所以300个平面重叠起来，比100个平面重叠起来厚 其中正确的结论共有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个 参考答案：D 【例3】如图2112，已知长方体ABCDA1B1C1Dl，试将长方体的六个面（表面）所在平面一一表示出来 思路点拨 可以利用平行四边形对角线顶点的字母来表示 解：平面AB1，平面BCl，平面CDl，平面AD1，平面AC，平面AlCl 误点剖析 不能将一条棱上的二个端点表示平面例如，平面AB是不确定的，因为，棱AB既在平面AC内，又在平面ABl内，故表示矩形所在平面时，应利用相对的两端点表示 评注：也可以用每一个面的另一对对角顶点的字母表示；还可以表示成：平面ABCD，平面ABB1A1，平面BCC1Bl，平面CDDlCl，平面ADDlAl，平面A1B1C1D1 试解相关题 31 如图2113所示的几何体共有五个面，试将它们一一表示出来参考答案：平面ABC、平面AB1、平面BC1、平面CA1、平面A1B1C1 【例4】如图书馆2115，已知a，b，且abA，Ba，Cb，且B、C是异于A的两点，求证：直线BC 思路点拨 要证直线BC，根据公理1只要证B、C 证明：aa，BaBa 同理C B、C是平面内的两点， 根据公理1可知：直线BC上的所有点都在平面内，即直线BCa 误点剖析 这里只要说清楚直线BC上的两点B、C在平面内，则利用公理1获得直线BC就不会遇到困难 评注：根据本例的结论可知：一个三角形，若它有两边在平面内，则它的另一边也必在平面内 试解相关题 41 在下列各结论中，错误的是（ ） A三角形是平面图形 B圆是平面图形 C若抛物线C1上两点在平面内，则抛物线C1上的所有点都在平面内D若椭圆C2上有三点在平面内，则椭圆C2上的所有点都在平面内参考答案：C 【例5】在正方体ABCDA1B1ClDl中，画出平面ABC1D1与平面AlBlCD的交线 思路点拨 根据公理2，要确定两平面的交线，只需找到两平面的两个公共点即可 解：如图2117，连接ADl和A1D交于M，连接BCl和B1C交于N， M直线ADl，AD平面ABC1DlM平面ABC1D1，又 M直线A1D，AlD平面A1BlCD， M平面A1B1CD，从而M平面ABC1Dl平面A1B1CD，同理N点也是平面ABClDl与平面A1BlCD的公共点，连接MN，根据公理2，直线MN就是两平面的交线 误点剖析 找不到平面ABC1Dl与平面A1BlCD的两个公共点，就作不出这两个平面的交线 评注：不要把两个平面的公共点说成是两个平面的交点 要确定两平面的交线，关键在于确定两个平面的两个公共点，其实公理2的主要用途是用来证明多点共线的问题 试解相关题 51 在如图2118所示的几何体中，E、F、G分别是所在棱AB、AC、AD上的中点试作出平面DEF与平面BCG的交线参考答案：略 【例6】如图2119，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，求证：若EH与FG所在的两直线相交于点P，则点P必在BD所在的直线上 思路点拨 要证明点P在BD上，只须证明点P既在平面ABD内，又在平面BDC内，则可得点P在平面ABD与平面BDC的交线上，即点P在直线BD上 证明：点P是EH与FG的交点，点P既在直线EH上，也在直线FG上，而直线EH、FG分别在平面ABD和平面BCD内，点P既在平面BCD内，又在平面ABD内，故点P必在两平面的交线上，而平面ABD交平面BCD于BD，点PBD 误点剖析 在本例进行证明时，若想不到论证点P是平面ABD与平面CBD的公共点，也就无法获得使本例得证的突破口 评注：证明点在线上时，通常先证明这个点既在某一平面上，又在另一个平面上，而此直线就是这两个平面的交线 公理2是确定两个平面是否相交的依据，它说明两个平面相交，交线是一条直线要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有公共点，则必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线 试解相关题 6l 如图21110，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD所在边上的点，且满足，若，得出下列结论： 直线EF、直线GH及直线AC三线共点； 直线EF、直线GH及直线AC两两平行； 直线EH、直线FG及直线BD三线共点； 直线EH、直线FG及直线BD两两平行； 其中正确的结论有_（写出序号即可） 参考答案： 【例7】在空间中有四点，若其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面有（ ） A三个 B一个或三个 C四个 D一个或四个 思路点拨 要考虑到这四个点有两种情况：这四点共面；这四点异面于是就可作出选择了 解：当这四点共面时，只有一个平面； 当这四点异面时，不妨用A、B、C、D来表示这四点，这时，过点A、B、C有一个平面，过点A、B、D有一个平面，过点A、C、D有一个平面，过点B、C、D有一个平面，共四个平面，而且在这四个平面中任何两个均不重合（如果重合则四点共面，与假设不合） 综上所述，对照选择支的情况，应选D 误点剖析 若忽视四点共面的情况，就会误选C因此，我们还应结合各选项提供的信息，例如选项D一个或四个，四个可能，一个可能吗?仔细考虑后再作出选择 评注：两个平面当且仅当有3个（或3个以上）不共线的公共点时，才重合 试解相关题 71 经过三点的平面有（ ） A1个 B无数多个C1个或无数多个 D一个都没有参考答案：C 72 在下列各命题中，正确的命题个数是（ ） 梯形是平面图形； 四边相等的四边形是平面图形； 椭圆、双曲线及抛物线的内接四边形是平面图形； 圆的内接n边形是平面图形A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：C 【例8】如图21112，经过直线a外一点A，引三条直线分别与a相交于B、C、D 求证：a、AB、AC、AD四线共面 思路点拨 可先考虑点A和直线a确定面，然后再证明直线AB、AC、AD均在此平面内从而证得四线共面 证明：点A是直线a外的一点， 由推论1可知：经过直线a和点A的平面有且只有一个，设为平面 B、C、Da，a，B、C、D又A， 直线AB、AC、AD均在平面内 a、AB、AC、AD四线共面 误点剖析 在论证的开头就根据推论1获得平面是本例获证的关键，否则我们就不易展开证明 评注：我们也可以根据公理3，确定平面ABC，然后再证点D平面ABC从而知：A、B、C、D四点共面，进而又可得：四线共面 要证明若干个点与线共面，先选择其中的部分点或线确定平面，然后再证余下的点或线也在这个平面内，我们将这种证法称为“落入法” 试解相关题 81 试证明：过直线a外一点A引n条直线分别交a于A1、A2、An则AA1、AA2、AAn与a共面 参考答案：证明：根据推论1可知：直线a和点A确定平面，设为，Aia（i1，2，n）Ai又A，AAi（i1，2，n）AA1、AA2、AAn共面 【例9】两两相交且不过同一点的三条直线共面 已知：如图21114，直线a、b、c两两相交，且abA，bcB，caC 求证：a、b、c共面 思路点拨 根据条件先确定一个平面再证其它直线也在这个平面内 证明：abA 根据推论2，直线a和b确定一个平面 Bb，Ca，a，b B，C，又B、Cc，于是由公理l知：c 直线a、b、c都在平面内，即它们共面， 误点剖析 在选择证法时，若不能选用“落入法”进行论证，则易导致思路误入岐途 评注：平面的基本性质（公理及其推论）是证明线共面的主要依据，这里也可以由点A和直线c确定平面，再证明直线a、b在平面内，从而证得a、b、c共面 试解相关题 9l 三条两两相交的直线，可确定（ ） A一个平面 B三个平面C一个或三个平面 D四个平面参考答案：C 【例10】求证：与同一直线相交的所有平行线都在同一平面内 思路点拨 （1）此题应先写出已知、求证，然后证明； （2）要证明无数多条直线共面，可以考虑用一条具有任意性的直线来代表无数条直线证明 已知：如图21116，直线a直线bA，且a，b在平面内，P为b上的任意一点，直线PQ直线a 求证：PQa 证明：aPQ， 直线a和直线PQ确定平面 直线a与点P既在平面内，又在平面内， 由推论1：“过直线和直线外的一点有且只有一个平面”知平面与平面重合 PQa又P是b上任意一点， 与直线b相交且与a平行的直线都在同一平面内 误点剖析 这里若不能采用“任一”代表“所有”进行证明的思想方法，就无法完成论证 评注：要证明若干点或直线共面，可先由部分点和线确定若干平面，再证明这些平面重合，从而完成共面的证明，这种证法称为“重合法”证明若干点线共面一般均采用例8中所述的“落入法”与这里所述的“重合法” 试解相关题 101 已知直线a、b、c、d，并给出下列命题： 已知：ab且acA，bcB，则a、b、c三线共面； 已知：abc，且adA，bdB，cdC，则a、b、c、d四线共面； 已知：ab，cd，且adA，bdB，dcC，则a、b、c、d四线共面； 已知：ab，且acA，bdB，则a、b、c、d四线共面；其中正确的命题为_（写出序号即可）参考答案：， 【例11】已知：a、b、c、d是两两平行的四条直线 试求：由a、b、c、d四直线确定平面的个数 思路点拨 应分三种情况进行讨论：四线共面；四线不共面，但四线中存在三线共面；四线中无三线共面的情况然后再利用推论3进行求解 解：当这四条两两平行的直线共面时，仅确定一个平面； 当这条两两平行的直线中存在着三条共面，而四条不共面时，不妨设a、b、c共面，而d分别与a、b、c各确定一个平面，再加上a、b、c确定的平面，共确定四个平面； 当这四条两两平行的直线无三线共面时，a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d为六对平行直线，确定六个面 误点剖析 在求解本例的过程中，易忽视情况，即遗漏四线不共面，但四线中有三线共面的情形，造成解题过程不完整，产生漏解情况 评注：四条两两平行的直线确定平面的情况有三种：一个、四个或六个，最少一个、最多六个 试解相关题111 三条两两平行的直线确定平面的个数为_参考答案：1或3112 六条两两平行的直线确定平面的个数最多为_参考答案：15 113 n条两两平行的直线确定平面的个数最多为_ 参考答案： 【例12】正方体的八个顶点可确定多少个平面? 思路点拨 正方体的八个顶点中的任意三点均确定一个平面，但是由于正方体结构的特殊性，有些平面是重合的很显然，正方体任一表面上的四点只能确定一个平面因此，要获得本例的解，我们应从四点共面的情形入手 解：正方体有6个表面，另