(高年级 老师用)第十讲：追及问题.doc

品淘奥数（高年段 老师用）第十讲：追及问题专题简析：本讲学习的追及问题与相遇问题同属于行程问题中的一类，它是同向运动问题。追及问题的基本特点是：两个物体同向运动，慢走在前，快走在后面，它们之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。追及问题属于较复杂的行程问题。追及问题中的各数量关系是：路程差=速度差追及时间；速度差=路程差追及时间；追及时间=路程差速度差。解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较法等思考方法解题。在解决同向问题时，要注意以下几点：（1） 要弄清题意，紧扣速度差、追及时间和路程差这三个量之间的基本关系；（2） 对复杂的同向运动问题，可以借助直观图来帮助理解题意，分析数量关系；（3） 要注意运动物体的出发点、出发时间、行走方向、善于扑捉速度、时间、路程对应关系。（4） 要善于联想、转化、使隐藏的数量关系明朗化，找准理解题目的突破口。小试牛刀1、甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？分析与解答：这道问题是典型的追及问题，求追及时间。根据追及问题的公式：追及时间=路程差速度差，即：150（75-60）=10（分钟）。2、骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？ 分析与解答：这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差。根据公式：速度差=路程差追及时间。速度差：4503=150（千米），自行车的速度： 150+60=210（千米）。3、甲以每小时4千米的速度步行去学校，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几个小时可追上甲？分析与解答：44(12-4)=2(小时)。4、两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？分析与解答：根据题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，可画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即542=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用追及时间=路程差速度差。即：（1）两车路程差为：542=108（千米） （2）第二辆车追上所用时间：108 （63-54）=12（小时）5、一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?分析与解答：当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。即：甲乙的速度差：300-250=50（米）， 甲追上乙所用的时间：40050=8（分钟）。挑战自我1、小张从家到公园，原打算每分钟走50米，为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米。小张家到公园有多少米？分析与解答：追上时间是:5010(75-50)=20(分钟)。因此，小张走的距离是:7520=1500(米)。2、两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时黑马在前白马在后，如果黑马每秒跑10米，白马每秒跑12米，几秒后两马相距70米？分析与解答：根据问题和题意，可以知道是白马在黑马后面50米追，追上黑马后还要超过黑马70米，也就是追及路程是5070120米。120（1210）60（秒）。3、甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人同时从A地到B地，结果甲比乙早到5分钟，求两地的路程有多少米？分析与解答：甲比乙早到5分钟，说明甲到终点的时候，乙距离终点还有605300（米），把线段图倒过来看，可以看作乙先行5分钟，然后甲开始追，最后在A点追上。因此，这300米可以看作两人的追及路程，300（8060）15（分），这15分是甲从A地到达B地 时间，那么甲乙之间的距离是80151200（米）。4、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 分析与解答：若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为105=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于24=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度。综合列式计算如下：乙的速度为：10542=4（米/秒），甲的速度为：105+4=6（米/秒）。智慧一加一1、小青每分钟走100米，小松每分钟走120米，两人同时同地向相反的方向走了5分钟，然后小松转向去追小青，小松要多少分钟才能追上小青？分析与解答：这道题并不难理解，关键在于找到追及路程，这里的追及路程需要用相遇路程的原理先求出开始5分钟后两人会产生的距离是：（100120）51100（米），这就是需要追及的路程。1100（120100）55分钟2、某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走，这时有一列长520米的火车从背后开来，此人在行进中测出整列火车通过的时间为42秒，而在这段时间内，他行走了68米，则这列火车的速度是多少？分析与解答：整列火车通过的时间是42秒，这句话的意思是：从火车的车头追上行人时开始计时，直到车尾超过行人为止共用42秒，因此，如果我们把火车的运动看作是车尾的运动的话，则本题实际上就是一个车尾与人的追及问题，开始时刻，它们的路程差就等于这列火车的车长，追及时间就等于42秒，因此可以求出它们的速度差，从而求出火车的车速。即：52042+6842=（520+68）42 =58842 =14（米/秒）。3、在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？分析与解答：同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少了。即：3分20秒=200秒甲、乙的速度和：40040=10（米/秒）；甲、乙的速度差：400200=2（米/秒）。甲的速度为：（10+2）2=6（米/秒）；乙的速度为：（10-2）2=4（米/秒）4、在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？分析与解答：此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，4002=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时