2018_2019学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算学案.docx

31.2空间向量的数乘运算1.掌握空间向量的数乘运算2.理解共线向量定理及推论3.理解共面向量定理及推论学生用书P501向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义0a与向量a方向相同a的长度是a的长度的|倍0a与向量a方向相反0a0，其方向是任意的运算律分配律(ab)ab结合律(a)()a(1)非零向量a与a(0)的方向要么相同，要么相反(2)由于向量a，b可平移到同一个平面内，故ab，a，b，(ab)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律 2平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式ta，其中向量a为直线l的方向向量或在直线l上取向量a，则t空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy或对空间任意一点O，有xy 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(3)若ab，则存在惟一的实数，使ab.()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量()答案：(1)(2)(3)(4) 已知R，则下列命题正确的是()A|a|a| B|a|aC|a|a| D.|a|0答案：C 若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是()Aae1e2，be1e2Bae1e2，b2e13e2Cae1e2，b2e13e2Dae1e2，be1e2答案：C 空间的任意三个向量a，b，3a2b，它们一定是()A共线向量 B共面向量C不共面向量 D.既不共线也不共面向量答案：B 3a2b(a4b)_答案：a4b探究点1空间向量的数乘运算学生用书P51如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).【解】(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为N是BC的中点，所以abababc.(3)因为M是AA1的中点，所以a(acb)abc.又ca，所以abc. 1.变条件若将本例中“P为C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何用a，b，c表示？解：因为，所以.所以，即abc.2变条件本例中若O是B1D1的中点，其他条件不变，如何用a，b，c表示？解：因为O为B1D1的中点所以()()abc. 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用中点坐标公式 在空间四边形ABCD中，G为BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式(1)；(2)()解：(1)因为G是BCD的重心，所以|，所以.又因为，所以由向量的加法法则，可知，.从而.(2)如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有，而，所以().探究点2空间向量的共线问题学生用书P52如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE2EA1，F在CC1上且CFFC1，判断与是否共线【解】由已知可得，.所以，故与共线变条件在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明与共线证明：连接AC，则NAC且N为AC的中点，所以，由已知得，所以.所以与共线(1)判断向量共线的方法判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab(b0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出ab(b0)，从而得出ab.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线存在实数，使成立；对空间任一点O，有t(tR)；对空间任一点O，有xy(xy1) 1.已知非零向量e1、e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k的值是_解析：若ke1e2与e1ke2共线，则ke1e2(e1ke2)，所以所以k1.答案：12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.因为2，所以，.所以b，()()abc.所以abc(abc)又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线探究点3空间向量的共面问题学生用书P53如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：向量，共面【证明】因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面 已知非零向量e1，e2不共线，如果e1e2，2e18e2，3e13e2，求证：A，B，C，D四点共面证明：令xy，则e1e2x(2e18e2)y(3e13e2)(2x3y)e1(8x3y)e2.因为e1和e2不共线，所以解得所以，所以A，B，C，D四点共面1已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设ae1e2(，R，且220)，则()Aae1Bae2Ca与e1、e2共面D以上三种情况均有可能解析：选C.假设a与e1共线，则ake1，所以ae1e2可变为(k)e1e2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，则A不正确，同理B不正确，则D也错误2在平行六面体ABCDEFGH中，若x2y3z，则xyz等于()A. B.C. D.解析：选C.由于，对照已知式子可得x1，2y1，3z1，故x1，y，z，从而xyz.3有下列命题：若，则A，B，C，D四点共线；若，则A，B，C三点共线；若e1，e2为不共线的非零向量，a4e1e2，be1e2，则ab；其中真命题是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，知若，则ABCD或A，B，C，D四点共线，故是假命题；若且，有公共点A，则A，B，C三点共线，所以是真命题；由于a4e1e244b，所以ab，故是真命题答案：4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的向量(1)；(2).解：(1).(2)()().向量，如图所示 学生用书P54知识结构深化拓展两个定理的再认识(1)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反(2)证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数，使(或)即可；也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三点共线(3)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示出来(4)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.学生用书P129(单独成册)A基础达标1已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()等于()A. B.C. D.解析：选A.()(2).2设a，b是不共线的两个向量，R，且ab0，则()A0 Bab0C0，b0 D.0，a0解析：选A.因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为ab0，所以0.3已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA、B、D BA、B、CCB、C、D D.A、C、D解析：选A.因为a2b.2a4b2(a2b)2，所以，由于与有一个公共点B，所以A、B、D三点共线4在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A.32B.0C.0D.解析：选C.因为0，所以，所以M与A，B，C必共面5给出下列命题：若A，B，C，D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若，共线，则ABCD；对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面其中不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析：选C.显然正确；若a，b共线，则|a|b|ab|或|ab|a|b|，故错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故错误；只有当xyz1时，P，A，B，C四点才共面，故错误故选C.6化简：(a2b3c)5(abc)3(a2bc)_解析：原式(53)a(2532)b(353)cabc.答案：abc7在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_解析：如图，延长DE交边BC于点F，则，故0.答案：08已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_解析：因为A，B，C三点共线，所以存在惟一实数k使k，即k()，所以(k1)k0.又mn0，令k1，m1，nk，则mn0.答案：09.如图，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若xy，求x，y的值解：因为()()()，所以x，y.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面证明：令a，b，c.因为M，N，P，Q均为棱的中点，所以ba，ac，abc.令，则abc()abc，所以解得所以2，所以向量，共面，所以M，N，P，Q四点共面B能力提升11对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()AO，A，B，C四点共面BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面DO，P，A，B，C五点共面解析：选B.由623，得2()3()，即23，故，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面12已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_解析：根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得xyz成立，其中xyz1，于是1，所以.答案：13已知A，B，C三点不共线，另外一点M满足.(1)判断，三个向量是