第五章定积分.doc

第五章 定积分一、 定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 ：定积分定义的四要素：分割；作积；求和；取极限2. 可积的两个充分条件 设在区间上连续，则在上可积 设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积3. 几何意义 4定积分的性质反号性：与积分变量无关性：线性性质： 对区间可加性：区间长：保号性：如果在区间上，则 单调性：如果在区间上，则 推论： 在区间上，估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则 定积分中值定理：如果函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使 成立注意是区间上必定存在的某点，个数可能为一个，也可能为两个或更多推广：若函数在区间连续，函数在区间上可积且不变号，则在上至少存在一点，使成立奇偶对称性：若在上连续，则典型例题之一：例1 利用定积分定义计算.（答案：1/2）例2 利用定积分定义计算.（答案：cosa-cosb）例3 计算极限（答案：1）例4、 计算极限（答案：2）例5 设，求例6 设在上连续，且，证明：竞赛大连例7 证明：若函数在上连续非负，且使，则例8. 证明：例9. 证明：例10 填空：利用定积分的几何意义计算二积分上限函数及其导数：1.定义：设在上连续，任意取，在区间上的定积分是定义在区上的函数，记为，称为定义在上的积分上限函数或变上限函数。2.导数与微分：（1）如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且因此积分上限的函数就是在上的一个原函数。3.积分上限函数的求导公式：。当在连续且为偶函数时，为奇函数； 当在连续且为奇函数时，为偶函数，且的所有原函数均为偶函数。注：积分表示自变量为的函数，因此微分学中所遇到的关于函数性质的研究完全可用到该积分中来，如研究有关积分上限函数的导数，单调性，极值，最值，极限，连续，凹凸性，拐点，方程等等。典型例题之二例1 求， 其中是已知的连续函数。例2 设为连续函数，求。例3 （1）求极限（2）求极限易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，若不是，不能应用洛必达法则。如。例4 设可导，且， 求例5 设，求在内的表达式例6 设，试求 (1) 的极值，(2) 曲线的拐点的横坐标，(3) 之值例7 设是周期为2的连续函数，证明也是周期为2的周期函数 注：设是以为周期的连续函数，有.例8. 设函数，在闭区间上连续，,证明：至少存在一点，使得 成立三定积分的计算1定积分的牛顿 - 莱布尼兹公式：若函数为连续函数在区间上的一个原函数，则 该公式也称为微积分基本公式2.定积分的计算方法：求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数，然后利用公式计算。（1）定积分的换元积分法设在上连续，函数满足条件：，；在（或）上具有连续导数，且其值域，则有 该公式称为定积分换元公式该公式可以双向应用，第一类换元积分法（也称凑微分法）： 第二类换元积分法（也称变量置换法）： （2）定积分的分部积分法. 或 .典型例题之三：例1 计算下列定积分（1） （2） （3）（4） （5）设，求例2（1）计算. （2）例3. （1）求定积分. （2） 求定积分 （3）例4（1）若在上连续，证明：.（2）若在上连续，证明：.（3）.注意 ，（4） 求定积分例5计算定积分：例6.设函数在区间内满足，且，求例7. 求例8. 设函数是可微函数的反函数，且证明： 四反常积分1.无穷限的反常积分 ：（简称无穷积分）（1）定义 函数在无穷区间上的反常积分.函数在上的反常积分为：设函数在区间上连续，若和都收敛，则称反常积分收敛，且否则称反常积分发散。注意：的收敛性与无关，故常取，即若和都收敛，称反常积分收敛，且，否则发散。（2）计算方法：（广义的牛顿-莱布尼兹公式）设函数为连续函数在上的一个原函数，记若存在，则无穷积分 ；若不存在，则无穷积分发散。若在上，则当存在时，；当不存在时，无穷积分发散。 若在内，则当与都存在时，；当与有一个不存在时，无穷积分发散。（3）.无穷积分与级数海涅定理：对任意数列，有。定理1：无穷积分收敛对任意数列，且，级数都收敛于同一个数，且(4). 性质：定理2：（柯西收敛准则）无穷积分收敛对，使得时，有；推论1：若无穷积分收敛，则；推论2：若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；推论3：无穷积分收敛对，无穷积分收敛。定理3：若无穷积分收敛，则无穷积分收敛，其中为常数。且 ；定理4：若无穷积分都收敛，则无穷积分也收敛，且；定理5：若函数在区间上连续且存在连续导数，极限存在，且无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，有即 ，这是无穷积分的分部积分公式。定理6：若函数在区间上连续，无穷积分收敛，且函数在对应的区间严格单调，存在连续的导数，而，则有 这是无穷积分的换元公式。(5). 审敛法：定理7：（比较审敛法）若函数在区间上连续，对，则有（）若无穷积分收敛，无穷积分也收敛（）若无穷积分发散，无穷积分也发散推论1：若函数在区间上连续，对，为正常数，则有（）若无穷积分收敛，无穷积分也收敛（）若无穷积分发散，无穷积分也发散推论2：若，函数在区间上连续，对，,（）如果存在常数，使得，则无穷积分收敛（）如果存在常数，使得，则无穷积分发散。定理8：（比较审敛法的极限形式）若函数在区间上连续，对，则有（）若时，无穷积分与无穷积分同时收敛，同时发散；（）若时，若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛（）若时，无穷积分发散，无穷积分也发散定理9：（极限审敛法）若函数在区间上连续，对，,（）如果存在常数，使得，则无穷积分收敛（）如果，则无穷积分发散。（6）绝对收敛与条件收敛若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛；若无穷积分发散，而无穷积分收敛，则称无穷积分条件收敛有结论：若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛。典型例题之四：例1. 判别无穷积分的敛散性（解答看书，此结论要牢记）例2 求下列无穷积分：（1）； （2）； （3） （4）；例3 分别讨论（1）（2）的敛散性例4 当为何值时，无穷积分收敛？当为何值时，这无穷积分发散？又当为何值时，这反常积分取得最小值？例5. 判别下列无穷积分的敛散性（1） （2）（3） （4）2. 无界函数的反常积分（也叫瑕积分）(1) 定义： 设函数在区间上连续，点为的瑕点，函数在上的反常积分为 函数在区间上连续，点为的瑕点时的瑕积分为:设函数在区间上除点外连续，点为的瑕点，则有这时也称反常积分收敛否则称该反常积分发散（2）计算方法：设为的瑕点，在上，如果存在，记，则有对于在上连续，为瑕点的反常积分，也有类似的计算公式（3）审敛法：定理10：（比较审敛法）若函数在区间上连续，为瑕点，对，为正常数，则有（）若瑕积分收敛，瑕积分也收敛，从而瑕积分收敛（）若瑕积分发散，瑕积分也发散定理11：（极限审敛法）若函数在区间上连续，为瑕点，对，,（）如果，则瑕积分收敛（）如果，则瑕积分发散。定理12：（极限审敛法）若函数在区间上连续，为瑕点，对，,（）如果，则瑕积分收敛（）如果，则瑕积分发散。（4）绝对收敛与条件收敛若瑕积分收敛，称瑕积分绝对收敛；若瑕积分发散，而瑕积分收敛，则称瑕积分条件收敛。有结论：若瑕积分收敛，则瑕积分也收敛；典型例题之五：例1 讨论反常积分的敛散性，如果收敛，计算其值例2