任意角和弧度制及任意角的三角函数0225.doc

任意角和弧度制及任意角的三角函数1、考纲点击（1）了解任意角的概念；（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；（3）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（4）理解同角三角函数的基本关系式：2、热点提示（1）三角函数定义的理解和运用，如已知角的终边上一点求相关问题或三角函数值的符号的选取等。（2）同角三角函数间的关系，可单独考查，也可能与其他知识结合起来考查。（3）考查题型多为选择题或填空题。【考纲知识梳理】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角（1）角概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角。（2）终边相同的角终边与角相同的角可写成+k360o(kZ)。（3）象限角及其集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角的集合|2k2k+,kZ第二象限角的集合|2k+2k+,kZ第三象限角的集合|2k+2k+,kZ第四象限角的集合|2k+2k+2,kZ注：终边在x轴上的角的集合为|=k, kZ ;终边在y轴上的角的集合为|=k+, kZ ;终边在坐标轴上的角的集合为|=, kZ 2、弧度制（1）1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。（2）角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为,那么角的弧度数的绝对值是|=/r.（3）角度与弧度的换算10=/180rad;1rad=（180/）0.（4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为，圆心角大小为(rad)，半径为r。又=r,则扇形的面积为S=r=r23、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做的正弦，记作sinx叫做的余弦，记作cosy/x叫做的正切，记作tan各象限符号+-+-+-口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三角函数值(kZ)（公式一）sin(+k2)=sincos(+k2)=costan(+k2)=tan三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos2=1;（2）商数关系：【热点难点精析】1、三角函数的定义相关链接（1）已知角终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的值。注：若角的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。例1、已知角的终边落在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值。思路解析：本题求的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角的终边上任意一点P（4t,-3t）(t0)，求出r，由定义得出结论。（t的符号要注意分类讨论）练习1、已知角的终边过点，求的四个三角函数值。2、已知角的终边上一点，且，求的值。2、象限角、三角函数值符号的判断相关链接（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。例2、（1）如果点P（sincos,2cos）位于第三象限，试判断角所在的象限；（2）若是第二象限角，则的符号是什么？例3、若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：A、B是锐角三角形的两个内角，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，故选B。思路解析：（1）由点P所在的象限，知道sincos，2cos的符号，从而可求sin与cos的符号；（2）由是第二象限角，可求cos，sin2的范围，进而把cos，sin2看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定。练习1、若sincos0，则在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限 3、已知所在象限，求所在象限相关链接（1）由所在象限，确定所在象限的方法由的范围，求出的范围；通过分类讨论把角写成+k3600的形式，然后判断所在象限。确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。（3）由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，：确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。例4、若是第二象限角，试分别确定2、的终边所在位思路分析：写出的范围求出2、的范围分类讨论求出2、终边所在位置。解答：是第二象限角，900+k36001800+k3600(kZ),(1)1800+2k360023600+2k3600(kZ),故2是第三或第四象限角，或2的终边在y轴的非正半轴上。（2）450+k1800900+k1800(kZ),当k=2n(nZ)时，450+n3600900+n3600(kZ),当k=2n+1(nZ)时, 2250+n36000），当是多少弧度时，该扇形有最大面积？思路分析：（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。注：合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。 三角函数的诱导公式一、考纲点击能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式。二、热点提示（1）利用诱导公式求角的三角函数值或求三角函数式的值是高考考查的重点；（2）在三角函数式的化简或证明中，间接考查诱导公式；（3）多以选择题、填空的形式考查。三、知识点1、下列各角的终边与角的终边的关系角2k+(kZ)+-图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角-+图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称2诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，其中诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； sinsinsinsinsinsincoscoscoscoscoscoscossin（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)；（4）；。四、热点详解1、三角函数式的化简（1），的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等。注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。例1、化简：思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。练习1、（2009辽宁文，8）已知，则（ ） A. B. C. D.2、化简：（1）；（2）。2、三角函数的求值相关链接（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。例2、已知，求的值。思路解析：化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解3、诱导公式在三角形中的应用例3、在ABC中，若sin(2-A)=sin(-)，cosA=cos(-)求ABC的三内角。思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=进行计算。注：在ABC中常用的变形结论有：A+B+C=，2A+2B+2C=2，sin(A+B)=sin(-C)=sinC;cos(A+B)=cos(-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。例4、是否存在（，），（0，），使等式sin(3-)=cos(-), cos(-)= cos(+)同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由。思路分析：要想求出，的值，必须知道，的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去或的同名三角函数值。解答：假设存在，使得等式成立，即有后略。注：已知角的三角函数值求角的一般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角所丰的象限；（2）据角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。5、同角三角函数的基本关系式例5、已知，试确定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或所以，角的集合为：或。例6、（1）证明：；（2）求证：。解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证AD=BC,从而将分式化为整式证法一：右边=证法二：要证等式，即为只要证 2（）（）=即证：，即1=，显然成立，故原式得证。点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系（2）证法一：由题义知，所以。左边=右边。原式成立。证法二：由题义知，所以。又，。证法三：由题义知，所以。，。点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边；（2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立三角函数同步练习 已知是钝角，那么 是 （ ） A第一象限角 B第二象限角 C第一与第二象限角 D不小于直角的正角 2 角的终边过点P（4k，3k）(k0，则cos的值是 （ ） A B C D 3已知点P(sincos，tan)在第一象限，则在0，2内，的取值范围是