第四章 刚体力学.doc

第四章 刚体的转动4-1 刚体的定轴转动 1 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。（不变质点组）。2 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。所有点的运动相同。（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。3 角量和线量的关系：，规定：方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是的方向与转轴平等 O由于：，所以角加速度的方向也在转轴上。若以为正方向，为正表示加速，为负表示减速。以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。4 力矩：dO力作用于刚体，应综合考虑力的三要素：大小、方向、作用点。力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。定义： 大小：分量值：在转动平面内。若不在转动平面内，将分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合：（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。力矩的矢量合合力的力矩。）例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。Ordr解：取4-2 转动动能转动惯量 转动定律 1 转动动能： 2 转动惯量J：（单位：Kg.m2） 对于质量为离散型分布的刚体： ；对于质量为连续型分布的刚体：（1）J由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。rcrddOCd（2）平行轴定理： 垂直轴定理：对平行轴定理的证明： XYxyOr 对垂直轴定理的证明： （如图：Z轴为垂直轴）由于：，所以：例1求质量为长为均匀细棒对过O点与棒垂直的轴的转动惯量。（设转轴O到质心C的距离为）。解：建立坐标：在X处取dX ， Ordr例2求匀质转盘(m,R)对过质心O的垂直轴的转动惯量JC。解：如图建立坐标：在r处取宽为dr的园环， YXyO x例3求薄板（m，a，b）的转动惯量。IX，IY，IZ 解：在（x,y）处取dS=dxdy其上： , , 例4求钟摆的转动惯量IO。如图：已知摆杆（m,L=3R），摆锤(3m,R)解：3 转动定律： 推导：把刚体分割为许多质点，设第质点的质量为，所受内力为，外力为，fjfii mjO r mi对：据牛二律：在切线方向上： 有： 得： 求和得： 由于刚体内各质点之间的内力总是成对出现的，据牛三律：任意一对内力大小相等、方向相反、在同一直线上。所以内力对刚体作定轴转动的力矩正好抵消。4-4 动能定理1 力矩的功：作功： 于是：力矩功率：，与同向，反之2 动能定理 3 重力势能：转动定律的应用I,RTm1质点滑轮系 牵连方程为： , 如图：设摩擦力矩为Mf，求系统的加速度a。对：据牛二律： （1）对J：据转动定律： （2）牵连方程： （3）例2如图所示，求系统的加速度a。设两边绳子的张力为T1和T2，中间绳子的张力为T3。I2,R2I1,R1aT1T3T2m2m1解：对： 对： 对转盘I1： 对转盘I2： 据功能原理：ra2a1T2T1m2m1RJ例3如图所示，求系统的角加速度。设两边绳子的张力分别为T1和T2。解：对： （1）对： （2）对转盘I： （3）2自由杆的摆动m,LO例1 如图：求杆在处的角加速度、角速度。解：（1）据转动定律： （2）据功能原理：例2 电机的输出功率为P，转动惯量为J的转盘的摩擦力矩为：，求转动的最大角速度，用多少时间可以达到解：据转动定律：据功能原理：例3 在的作用下，测得转盘的角加速度为，撤去外力矩后，转盘的角加速度变为，求该转盘的转动惯量J。解： ， 得：PFrOm4-3 角动量 角动量守恒定律1 引入：对动量定理：以O为参考点有：由于：于是： 2 角动量：对于质点：以O为参考点：作园周运动时： 对于作定轴转动的刚体：3 角动量定理：（1） 表述：一段时间内，物体所受的力矩对时间的积累，等于它角动量的改变量。（2） 公式：（3） 守恒：若，则：或4 角动量守恒定律的应用（1）质点在有心力作用下的运动。例1 线拉小球。质点m在细绳的拉力下，以速度V0在半径为R0的圆周轨道上运动，现将绳子长度慢慢缩短，求质点在在半径为R的圆周轨道上运动时的速度，并求此过程中拉力所做的功。解：据角动量守恒定律： 据功能原理：（2）在转动过程中，由于在内力（矩）作用，刚体的形变（破裂）、转盘间的啮合由于发生了形变，内力作了功，动能不守恒。在运动中，转轴对刚体的力（提供质心作园周运动的向心力）不为零，动量不守恒。（零守恒）由于内力矩为零，转轴对刚体的力矩为零，所以只有角动量守恒。例2 人在转台上走质量为，半径为的转台可绕中心轴转动，不计阻力。质量为的人站在台的边缘，人和台原来静止。如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？解： 设：，据动量矩守恒定律：（1）据几何关系： （2）对（1）式两边积分有： （3）由（2）（3）解得：，例3 同轴转盘间的啮合问题如图，转盘I1以角速度转动0，I2静止，J1与J2通过摩擦啮合在一起，求J1J2（1）两转盘啮合后共同的角速度。（2）在啮合过程中损失的机械能。解：（1）在啮合过程中，角动量守恒，有ffm2,R2m1,R1 （2）损失的机械能为：例4不同轴转盘间的啮合问题 解：系统及每个对象的动能显然不守恒。对I1、I2各自的动量是零守恒。对I1、I2各自的角动量不守恒，由于R1与R2不相等，内力矩不为零。对I1： 对I2：OM,Lm,V0得： 啮合后，两轮的线速度相同，有：（3） 球碰杆或杆碰球（分析如前，在碰撞中，多半只有角动量守恒）例1 球碰杆（不完全弹性碰撞）质量为m的子弹以速度V0射入细杆（M，L）的中部，若子弹穿出的速度为，求细杆获得的角速度。解：据角动量守恒定律： 得：例2 杆碰球（完全非弹性碰撞）细杆（M，L）可绕端点转动，从水平位置由静止开始下摆。在竖直位置与质量为的粘性小球发生完全非弹性碰撞，碰后自由上摆。求上摆中能达到的最大高度。解：下摆过程，据机械能守恒：碰撞过程，据角动量守恒定律：上摆过程，据机械能守恒：例3 球碰杆（完全弹性碰撞）质量为m的弹性小球以速度V0与细杆（J，L）在细杆底端发生完全弹性碰撞，求碰撞以后小球的速度V和杆的角速度。解：设碰撞以后小球仍向前运动。碰撞过程，据角动量守恒定律：（1）据动能守恒：（2）由（1）式得：（3） 由（2）（3）整理得：（4）（3）（4）得：由此可求，将结果代入（3）可求V4-5 刚体的平面平行运动NNfmg O F1平衡问题：刚体平动的平衡方程：刚体定轴转动的平衡方程：例1滚动摩擦设刚体在作用在轴上的水平拉力F的作用下，匀速向前滚动。力的平衡方程：， 力矩的平衡方程：等效摩擦力：其中：等效摩擦系数：mgf2f1N2 N1摩擦力形成的原因是：由于刚体与水平面之间相互挤压而产生形变，使重力和正压力不在同一直线上而形成的。摩擦力的大小决定于转动半径R、刚体与接触面之间的形变量。例2刹车问题分析汽车在水平面上行驶时，急刹车时前、后轮所受到的正压力。解：设前后轮之间的距离为2L，质心离地面高度为h。车轮与地面之间的摩擦系数为，则：在竖直方向上，力的平衡方程：力矩的平衡方程：由以上两式解得：，前轮所受到的正压力较大。为避免翻车，应尽量降低重心高度，增加前后轮的间距。2动力学问题平动方程：，转动方程：， 动能：例1无滑滚动问题。小球（m，I，R）沿倾角为的斜面作无滑滚动，求小球在运动中平动的加速度，运动中所受到的摩擦力。fN mgO解：无滑条件：，平动方程：转动方程：解得：，与在光滑的斜面上运动是不相同的。是静摩擦力，与在斜面上滑动时所受滑动摩擦力不相同。例2打击中心m,LhF如图：问水平方向冲击力F，对匀质细杆（m，L）作用于何处（作用点到转轴的距离h为多少），转轴O点不会对该冲击产生水平方向的瞬时反作用力。解：对质心C点：对细杆：联立以上两式，解得：3刚体的进动（对转轴作定点转动的简单分析）（1）分析：（来源于动量矩定理的矢量性）LLF O如图，据动量矩定理，若力矩的方向始终垂直于转轴，则该力矩作用的效果是：只使动量矩的方向发生变化，而不改变动量矩的大小。类比于质点在向心力的作用下，速度的方向改变而大小不变。如上图所示：力矩方向垂直纸面向内，以O为参考点，分析转轴的运动。据动量矩定理：，转轴绕O点进动的角速度： 如上图，向前推动，力对O点的力矩向上，可使轴直