空间直角坐标.doc

第一章 空间直角坐标，平面和直线1在给定坐标系中画出下列各点：。2自点M和N分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。解：点M在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：在X，Y，Z轴上的垂足分别为：点N在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：在X，Y，Z轴上的垂足分别为：3. 给定点M和N，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。解：关于XOY对称关于XOZ对称关于YOZ对称关于原点对称M（1，-2，3）（1，-2，-3）（1，2，3）（-1，-2，3）（-1，2，-3）N（a, b, c）（a, b, -c）（a, -b, c）（-a, b, c）（-a, -b, -c）关于X轴对称关于Y轴对称关于Z轴对称M（1，-2，3）（1，2，-3）（-1，-2，-3）（-1，2，3）N（a, b, c）（a, -b, -c）（-a, b, -c）（-a, -b, c）4求点M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。解：点M到原点的距离：点M在XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为A（4，-3，0），B（4，0，5），C（O，-3，5），则距离为：，点M在X，Y，Z轴上的垂足分别为，B（0，-3，0），C（0，0，5）则距离为：，5求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。解：所求距离为：6求下列方向余弦：（1，2，-2），（2，0，0），（0，2，-2），（-1，-2，-5）。解：（1，2，-2）的方向余弦为：，即：（）（2，0，0）的方向余弦为：，即：（）（0，2，-2）的方向余弦为：，即：（-1，-2，-5）的方向余弦为：，即：（7求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。解：从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2，-2，1）；方向余弦为（。8求下列方向的方向角：（0,0,-1）,(。解：（0，0，-1）的方向余弦为：0，0，-1，则方向角为：（的方向余弦为：，则方向角为：（-2，-1，-4）的方向余弦为：，则方向角为：9求下列各对方向之间的夹角：1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2，3，4）。解：1）方向余弦为（）和（0，0，1），则：而 故2）方向余弦为（）和（），则：3）方向余弦为（）和（），则：10. 证明：顶点是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。求出各边的长和各内角的大小。 证明：即： 又： 故各边长为：各内角为：11在给定的坐标系中画出下列平面：1） 2) 3) 4) 5)12.求下列平面的方程：1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）；解：1）设所求方程为：，又点（0，-1，4）在平面上 2）过点（-1，-5，4），平行于平面解：2）设平面方程为：，则： 3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）；解：设平面方程为：，则由题可得：4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面解：设平面方程为：，则由题可得：5）过点（0，-1，3）和Y轴；解：设平面方程为：，则：6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于Z轴。解：设平面方程为：，则由题可得：13将11题中的平面方程化为法式方程：解：1）法式方程为：2）法式方程为：3）法式方程为： 4）法式方程为：5）法式方程为：14在给定的直角坐标系中画出下列直线：1）； 2）；3）； 4）15求下列直线的方程：1）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）；解：直线方程为：2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）；解：直线的方向数为：（-1，-1，6），则直线方程为：3）过点（-1，2，9），垂直于平面3x+2y-z+5=0;解：由题可知直线的方向数为：（3，2，-1），则直线方程为：4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。解：由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：直线方程为：16给定直线，求1）过l平行于Z轴的平面；解：由题可设平面方程为：，则：2）l在XY平面上的投影。解：由 得直线l在XY平面上的投影为：17求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图：1） 解：由 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在XOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为： 2）；解：由 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在XOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：3）解：由 得直线的点向方程为： 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为： 4）解：直线的点向方程为： 得直线在XOY平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：由 得直线在YOZ平面上的投影为：18将下列直线的方程化为点向式：（1）解：由（2）解：由（3）解：由（4）解：由19求下列各对直线之间的夹角：1）；解：设直线间的夹角为，由于两直线的方向数为（1,-1,0）,(-1,0,2),则方向余弦为（），（） 2）；解：设直线间的夹角为，两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：（-1）（-2）+14+2（-3）=0.3）；解：设直线间的夹角为，由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（），则方向余弦为（），（），20求直线与平面的交点：1）；解：2）；解：3）；解： 而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上即：直线与平面有无数个交点。4）.解： 但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上即：直线与平面没有交点。21求直线： 与Z轴相交的条件。解：令X=0，y=0，则： 即：直线l与z轴相交的条件是：，即：22证明：直线落在平面上必须且只须同时，写出p平行于但不在上的条件。证明：直线p与平面的方向数分别为：（l, m, n）,（A, B, C）Al+Bm+Cn=0 直线p平行于平面。又：点（x0, y0, z0）在直线p上，且Ax0+By0+Cz0+D=0,即点（x0, y0, z0）也在平面上 直线p在平面上。23求经过直线 和点（1, 2, 1）的平面方程。解：设平面方程为：，又：点（1, 2, 1）在平面上 A=-B令B=-1，则A=1 故：所求平面方程为：24设平面1与2不平行，它们的方程分别为， 。证明：过1和2的交线的所有平面的方程都可以表示成，其中和为不全为零的实数。证明： 且设其中，由知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设，则：把点代入中有：即：左边=右边 L在上。由的任意性可知：所有过L的平面上方程都可以成：第二章 向量代数1已知平行四边形ABCD的对角。解：故：2已知平行四边形ABCD的边BC和CD的中点分别为K和L，且，求。解：设，则： 3。证明：对任意一点O，。证明：方法一：方法二：由已知可得A、M、B三点共线，且M为线段AB的中点。延长OM至N，使，连OA、OB、AN、BN，易证四边形OANB为平行四边形。 而 4设M是三角形ABC的重心。证明：对任意一点O，。证明：方法一：而： 即：方法二：设三角形ABC三点坐标分别为A（x1,y1,z1）, B（x2, y2, z2）,(x3, y3, z3) 由重心坐标公式得：5设M是平行四边形ABCD的对角线的交点。证明：对任意一点O，证明：，而：即：6设A，B，C，D是一个四面体的顶点，M，N分别是边AB，CD的中点。证明：。证明：取AC的中点O，则OM，ON分别为中位线，故有：， 即：7设AD，BE，CF是三角形ABC的中线。1）用，表示，；解： 2）求。解：8设是以O为中心的圆周上的n等分点，证明：。证明：是n等份点 相邻边的夹角相等。（其中） 又： 即： 而9设O是点A和B的联线以外的一点。证明：三点A，B，C共线必须且只须，其中。证明：A，B，C三点共线，其中。“”：三点共线 即： 令，则： （其中）“”： 即： 三点共线10设O是不共线的三点A，B，C所在平面以外的一点，证明：四点A，B，C，D共面必须且只须，其中“”：四点共面 即： 令，则： 其中“”： 即： A，B，C，D四点共面11已知是以原点O为顶点的平行六面体的三条边，求此平行六面体过点O的对角线与平面ABC的交点的定位向量。解：设体对角线为OD，OD与平面ABC的交点为E，则：定位向量：12设AL和BM是三角形ABC的中线，它们的交点是O，证明。ABOMDLC证明：过L作LD=BM。同理可得：13证明：三角形ABC的三条中线相交于一点。证明：方法一：设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，则：ABOFEDC又： 而：OC，OF共点O 三点共线故：三角线ABC的三条中线相交于一点。方法二：设则：由12题结论可知： 而： 故：C，O，F三点共线三角形ABC的三条中线相交于一点。14设a=(5, 7, 2), b=（3, 0, 4）, c=（-6，1，-1）求1）3a-2b+c；解：2）5a+6b+c.解：15给定点A（1，2，4）和B（0，-1，7），求的坐标。解：16给定点A（2，0，-1）和向量（1，4，5），求B的坐标。解：B（3，4，4）17判断下列各组的三个向量a，b，c是否共面？能否将c表成a，b的线性组合？若能表示则写出表示式。1）a=(5,2,1), b=(-1,4,2), c=(-1,-1,5);解：不共面，不能表示成的线性组合。2）a=(6,4,2), b=(-9,6,3), c=(-3,6,3);解：共面，设=， 则： 3) a=(1,2,-3), b=(-2,-4,6), c=(1,0,5);解： 共面设=，则不能表示成，的线性组合。18设点C分线段AB为5：2，A的坐标为（3，7，4），C的坐标为（8，2，3，），求B的坐标。解：19已知三角形的三顶点为A（2，5，0），B（11，3，8）和C（5，11，12），求各边和各中线之长。解：，AB边上的中线，BC边上的中线，AC边上的中线则：，AB边上的中线长：，BC边上的中线长：，AC边上的中线长：20求ab，已知：1）；解：2）a=（3，5，6），b=（1，-2，3）。解：21已知a=（3，5，7），b=（0，4，3）c=（-1，2，-4），求:1) x=3a+4b-c, y=2b+c;解：2）x=4a+3b+2c, y=a+2b-c;解：22已知求，3a+2b与2a-5b的内积和夹角。解： 故：两向量间的夹角为23证明下列各对向量互相垂直：1）（3, 2, 1）与（2, -3, 0）；证明：向量（3，2，1）与（2，-3，0）互相垂直。2）a(bc)-b(ac)与c。证明：互相垂直。24设OABC是一个四面体，L是AB的中点，M是和。解：又：故25CD，CT和CH分别是三角形ABC的中线、分角线和高线，求D，T和H分AB的分比。解：CD为三角形的ABC的中线 ， 即：D分AB的比为1CT由三角形ABC的角平分线，由内角平分线定理得： 而：26证明：三角形三条中线的长度的平方和等于三边的长度的平方和的。证明：=ABFEDC= 即证。27证明：三角形的三条高线相交于一点。证明：已知则：0ABC又：故：三角形的三条高线相交于一点。28证明：证明：=29求ab和以a，b为边的平行四边形的面积：1）a=(2, 3, 1), b=(5, 6, 4);解：2）a=(5, -2, 1), b=(4, 0, 6 );解：3）a=(-2, 6, 4), b=(3, -9, 6, );解：30.给定a=(1, 0, -1), b=(1, -2, 0) ,c=(-1, 2, 1)，求1）；解：2）；解：3）；解：4）。解：31证明下列等式：1）；证明：=故：2）。证明：32一个四面体的顶点为A（1，2，0），B（-1，3，4），C（-1，-2，-3）和D（0，-1，3），求它的面积。解：四面体的体积为：33证明：如果，那末a, b, c共面。证明： 即： 共面34下列等式是否正确？1）；解：等式错误。等式左边为向量，右边为实数，但向量与实数是无比较性的。2）；解：等式正确。3）；解：等式错误。等式左边表示向量倍，而右边表示的倍。4）； 解：等式错误。5）；解：等式错误。等式左边表示向量倍，右边表示的倍。6）。解：等式错误。等式左边表示与都垂直的向量，而左边表示与，垂直的向量。35下列推断是否正确？1）如果，那么a=b；解：推断错误。若，但，则，但2）如果，那么a=b；解：推断错误。由，则只能推得，并不能得出。36讨论x和y的关系，已知：1）x与xy共线；解：当中有一个为时，结论显然成立。当都不为时，由共线可得：。即： 共线故：共线或中至少有一个为。2）x，y，xy共面。当中至少有一个为时，结论显然成立。当都不为时，由题可知： 故：共线或中至少有一个为。37设a和b都是非零向量，且为任意的数，并知bx=a，求：x.解： 而：38设并知求：x。解： 而：39证明：a, b, c不共面必须且只须不共面。证明：不共面：“”：=即：不共面。“”：不共面。 而： 不共面。即证。40设，求：x。解：设，则：=故：411）已知e，r和表出r1；解：由题可得：2）给定三点用。解：过点P作一平面，垂直于OA，交OA直线于O*，由于O，P，A不共线，则P与O*不重合。利用1）式有由于，则：=故：42将e1绕a=（1，1，1）右旋45得到，求。解：由第41题2）知：=即：43将a=(1,1,1)绕e1右旋45得到，求。解：由第41题2）知：=（1，0，）即：44求下列平面的方程：1）过点（-1,0,3），垂直于向量（1，2，-5）；解：设平面上任意一点，则：2）过点（2,4,-3），平行于向量（0，2，4）和（-1，-2，1）；解：由题可得平面的法向量为：（0，2，4）（-1，-2，1）=（10，-4，2）设平面上任意一点，则：3）过点（1,0,3），（2，-12），（4，-3，7）；解：设平面方程为：Ax+By+Cz+2=0，则故：所求平面方程为：4）过直线，平行于直线；解：直线与直线的方向数为：（2，1，-1），（2，1，-2），则：=（2，1，-1）（2，1，-2）=（-1，2，0）平面过直线 点（1，0，0）在平面上平面 平面方程为：（x-1）（-1）+2y=0 即：x-2y-1=05）过直线在Y轴Z轴上有相同的非零截距。解：经过已知直线的方向为（），且过点（，而平面经过另一直线且该直线方向为（0，-1，1），则：设平面方程：将点代入得：故：所求平面方程为：21x+6y+6z-17=045求下列直线的方程：1）过点（1，0，-2），平行于向量（4，2，-3）；解：依题意可设直线方程为：将点（1，0，-2）代入得：所求直线方程为：2）过点（0，2，3），垂直于平面2x+3y=0；解：直线方向为：（2，3，0），则可设直线方程为：将点（0，2，3）代入解得：所求直线方程为：3）过点（2，-1，3），与直线相交且垂直；解：设所求直线为：，则： 两直线相交 联立D得：令故：所求直线为：4）过点（1，0，-2），与平面3x-y+2z+1=0平行，与直线相交；解：设所直线的方向数为：，则： 相交 联立得：故：所求直线方程为：5）过点（11，9，0），与直线相交；解：设所求直线方向为：，则 联立得故：所求直线方程为：6）直线的公垂线。解：所求直线方程为：46给定点A（1，0，3）与B（0，2，5）和直线，设A，B在l上垂足。求1）解： 2）的坐标。解：设 由得： 由得：47给定点A（，0，3），与B（0，2，5）和直线，设的垂足，求1）解：，A，B点到平面的距离分别为： 2）通过的直线的方程。解：设，则：而：故：所求直线方程为：48求点到平面的距离： 1）（0，2，1）到2x-3y+5z-1=0;解：2）（-1，2，4）到x-y+1=0解：49求平面Ax + By + Cz + D=0与平面Ax + By + Cz + D1=0之间的距离。解：两平在平行，则其间距为一面上任一点到另一平面的距离。故：两平行平面间的距离为：50求下列点到直线的距离：1）（-1，-3，5）到；解：2）（0，2，4）到。解：51求下列各对直线之间的距离：1）；解：2）。解：52判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或不共面）：1）。解： 两直线不共面。2）解： 两直线不共面。3）。解： 两直线共面且相交4）解： 两直线平行。53设平面与联结两点和不在上的线段相交于M，且，证明：.证明：由题可知：设点M1，M2在平面上的垂足为 ，则：而： 故：54将坐标系统X轴右旋，再沿X轴平移至五个单位距离，求坐标变换公式。解：设点P原来的坐标为（x, y, z），旋转平移后的坐标为（x1, y1, z1）旋转平移后的坐标分别为：即： 再沿x轴平移5个单位：故：坐标变换公式为：55将坐标系统方向（1,1,1）右旋，原点不动。求坐标变换公式。解：绕（1,1,1）旋转后为：又： =而：坐标原点不动坐标变换公式为：第三章 二次曲面1求下列球面的中心和半径：1）；解：原方程化为：，则球面中心（6,-2,3），半径R=72）；解：原方程化为：，则球面中心（1,-2,3），半径R=63）。解：原方程化为：，则球面中心（-4,0,0），半径R=42求下列圆的中心和半径：1）解：球面方程为：，则球面心0（6,-2,3），半径R=5球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距离 平面a与球不相交 故只能形成虚圆。2）解：球心O（0，0，0），半径为R，则：球心O到平面的距离要能形成圆，则球面必须与平面相交，即：设球O到平面上的垂足为为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即平面，又设：，则：，即：设圆的半径为r，则：r=圆的中心，半径r=3求下列球面的方程：1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点；解：设球面方程为：，则：所求球面方程为：2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切；解：设球面方程为：，则：所求球面方程为：3）过点（2，-4，3），且包含圆：。解：由题可知球心在z轴，设球心坐标为（0，0，C），则：球的半径为：R2=C2+5设球的方程为：，则：4+16+（3-c）2=c2+5 c=4所求球的方程为：4求半径为、对称轴为的圆柱面的方程。解：法一：设点（x, y, z）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为：d=2 即：所球圆柱面的方程为：法二：对称轴方程为 对称轴过原点（0，0，0）设为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点使得对称轴，由题意有：对称轴在对称轴上消去参数得圆柱面方程为：5设圆柱面的对称轴为直线：，且知点M（1，-2，1）在这个圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：法一：圆柱面的对称轴：点M到对称轴的距离为： 设点（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则：即：所球圆柱面的方程为：法二：设圆柱面的对称轴为即M（1，-2，1）到l的距离：，l过点A（0，1，-3）设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则：为对称轴上一点，使得：PM0在同一纬圆上，且M0为该纬圆的圆心，依题意有： 在l上消去数得圆柱方程为：6求顶点为（1，2，3），轴与平面2x+2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为的圆柱面的方程。解：设顶点A（1，2，3），在圆锥面上任取一点M（x, y, z），则过点A，M的直线l的方向数为（x-1, y-2, z-3）因轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，则轴的方向数为（2，2，-1），即轴的方向余弦为（），直线l的方向余弦为因直线l与轴的夹角为，则： 整理即得圆锥面方程为：7求顶点为（1，2，4），轴与平面垂直且经过点（3，2，1）的圆锥面的方程。解：设M（1，2，4），P0（3，2，1），=（2，0，-3）轴的方向数为：（2,2,1)的夹角为：设点P（x, y, z）是圆锥面上的任意一点，则：以： 即：所求圆锥面的方程为：8给定球面，求1）过点（1，5，2）的切平面的方程；解：球面方程为：平面的法向量为：（2，3，4）所求平面方程为：2）以（2，6，10）为顶点的切锥面的方程。解：球心0（-1，2，-2），半径R=，切锥面顶点P（2，6，10）轴的方向数为： 轴与母线夹角的余弦为：设点M（x, y, z）为切锥面上的点，则：故：所求方程为：9已知圆柱面的三条母线为求这圆柱面的方程。解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为（1，1，1）， 设点A（x1, y1, z1）在轴线上，则： 令x1=1，则：A（1，0，2） 轴线方程为：x-1=y=z-2母线与轴线间的距离为：，设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则： 即故：所求圆柱面的方程为：法二：因三条母线，分别过定点A1（0，0，0），A2（1，-1，0），A3（1，-1，0），设过A1，A2，A3后平面则有：则：A=B=C，D=0即平面，则圆柱面的准线为平面相交所形成的圆，设圆的方程为：A1（0，0，0），A2（-1，0，1），A3（1，-1，0）在圆上，则有C是任意的 取C=0，则：A=2，B=4，C=0，D=0故准线方程为：设M0（x0, y0, z0）是准线上的任意一点，M（x, y, z）为相应母线上一点，则有：消去参数，得圆柱面方程：10求柱面的方程：1）准线为： 母线平行于X轴；解：母线的方向数为（1，0，0）设P（x, y, z）是柱面上的点，M（x, y, z）是准线上的点且使MP为一条母线，则：过M的母线方程为： *再设，则：x1=x-t, y1=y, z1=z代入*得：y2=2z所求柱面的方程为：y2=2z2）准线为： 母线平行于向量（1，-1，1）。解：设P（x, y, z）是柱面上的点，M（x1, y1, z1）是准线上的点且使MP为一条母线，则：过M的母线方程为： *再设，则：x1=x-t, y1=y+t, z1=z-t代入*得：故：所求柱面方程为：11求顶点（4，0，-3）准线为 的锥面的方程。解：设点M（x1, y1, z1）是准线上的一点，P（4，0，-3）是顶点，则：PM为一条母线： *令，则：代入*得：故：所求锥面方程为：12求旋转面的方程：1）绕旋转；解：轴过点A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为直线上一点，M（x, y, z）为旋转面上任意一点，使M0，M在同一纬圆上，则： 轴在直线 消去参数，得旋转面方程：2）绕旋转；解：轴过点A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为上一点，P（x, y, z）为旋转面上任意一点，且M0，P在同一纬圆上，则： 点M0在上，旋转轴由上可得旋转面方程为：3）绕z轴旋转；解：因z轴为旋转轴，则旋转轴过A（0，0，1），设M0为直线上一点，M（x, y, z）为旋转面上一点，且M，M0在同一纬圆上，有： M0为直线上一点 z=z0由上可得，旋转面方程为：10z2+6z+9=9（x2+y2）4）绕旋转；解：旋转轴过A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为上一点，M（x, y, z）为旋转面上一点，且M0，M在同一纬圆上，则有： M0在 上 由以上得旋转面方程：5）圆 绕Z轴；解：设M0（x0, y0, z0）为圆上一点，M（x, y, z）是旋转面上任意一点，且M0与M共纬圆，则由圆绕z轴旋转有：由上可得旋转面方程：6）空间曲线绕Z轴。解：因z轴为旋转轴，记A（0，0，1）为z轴上一点，设M0（x0, y0, z0）是曲线上一点，M（x, y, z）为旋转面上的一点，且M，M0在同一纬圆上，则有： 由上得，旋转面方程：13画出下列曲面的简图：1） 2）；3） 4）；5）； 6）7） 8）9） 10）14适当选取坐标系，求下列轨迹的方程，并画图：1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，0，0），B（-a，0，0），则P（x, y, z）为空间内一点，则设即：当k=1时，轨迹为平面x=0当k1时，轨迹为以点（）为球心，为半径的球面。2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，0，0），B（-a，0，0），则P（x, y, z）为空间内一点， 即：轨迹方程为：3）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，0，0），B（-a，0，0），设P（x, y, z）为任意一点， 即：当k=0时，轨迹方程为：x=0当k1时，轨迹方程为： 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹；解：以定点O为坐标原点，建立空间直线坐标条，设定平面为Ax+By+Cz+D=0，设P（x, y, z）为任意一点，由已知可得：，即：轨迹方程为：5）求与二给定直线等距离的点轨迹的方程，已知二直线之间的距离为a，夹角为a（取公垂线为z轴，中点为原点，X轴与二直线成等角）。解：以两直线的公垂线为z轴，公垂线中点为原点，x轴与二直线成等角建立坐标条设两直线分别为l1, l2,l1与z轴交点A（0，0，），l2与z轴交点B（0，0，-），l1, l2,与x轴夹角都为，l1, l2与z轴夹角都为，由方向余弦公式，可知：，则：，因l1与l2异面，则l1与l2的方向余弦不相等，即：l1的方向余弦为（），l2的方向余弦为（）或l1的方向余弦为（），l2的方向余弦为（）则：l1的方程为：，l2的方程为：，设p（x, y, z）为满足条件的一点，则有：当l1的方向余弦为（），则同理有：综上：轨迹方程为：15已知椭球面