《EXCEL于VBA金融建模》投资组合业绩评价.docx

投资组合业绩评价 投资组合业绩评价的主要目的是估计和比较不同投资策略的业绩（历史收益）。对于由风险资产构成的投资组合，本章的内容是选择被动的还是主动的投资策略。另外，还将介绍在确定风险投资组合的条件下，如何选择无风险资产的投资水平。对于一个完全被动的投资策略，投资者持有的组合完全复制市场指数（即成份股及其权重与市场指数完全相同）。被动的投资者并不需要过多信息，并且一般不交易其投资组合所包含的股票，除非市场指数的结构（成份股或者权重）发生变化促使投资者改变持有的投资组合。被动的投资者承受了市场风险并且获得相应回报，其收益等于市场收益减去必需的交易成本。与之相反，主动投资者所持有的投资组合与市场指数构成不同，主要表现在投资组合的部分或是所有股票的权重与市场指数不同。主动投资者需要得到充分的信息并且比被动的投资者承担更多的交易成本。实际上，因为主动的投资者承受了特殊的风险并且承担较多的交易成本，所以从长期来看只有少数的主动投资者所获的收益超过了被动的投资者。随着主动的投资策略变得越来越复杂，所以急需发展更为适用的组合业绩评价方法和评价标准。本章回顾了最早在二十世纪六十年代兴起的有关投资组合业绩评价的有关想法和九十年代提出的最新的投资组合业绩评价理论。所有的研究方法都用到了资产的收益（这样做的好处是股票和投资资金的相关数据都是可以得到的）。传统的投资组合业绩评价理论是与前面章节介绍的资产定价理论同时发展起来的。因此，夏普比率采用无风险资产的收益作为收益基准，而其他三种方法以CAPM（单因素模型）为基准。七十年代出现了另一种方法特雷纳-布莱克模型（特雷纳和布莱克，1973），这种方法把那些定价不合理的股票和一个被动的市场指数投资组合混和起来，构筑了一个最优风险投资组合。这种方法是基于第六章中讨论的常见组合问题提出的。投资组合业绩评估和特雷纳-布莱克模型在Bodie et al（1996）著作的第二十四章有详细介绍。但是，Bodie et al的书中并没有介绍评估投资组合贡献的最新方法风格分析（Style Analysis）。风格分析采用了多因素模型作为收益基准，它是夏普于1992年提出的。四种传统的投资组合业绩评价方法包括用投资组合相对于某个收益基准的收益除以相应风险指标（如波动性、值或特有风险）所得到的比率。表EQUITY3.xls详细解释了这些评价方法。针对这些方法，也给出了相应的用户定义函数。类似的，用电子表格来实现特雷纳-布莱克“主动被动”模型的过程中使用了一些函数，这些用户定义函数在我们解决常见组合问题时已经介绍过了。类似于求出有约束有效边界时的处理方法，风格分析也用到了Excel的规划求解来解决二次规划问题。风格分析还有两个扩展应用：求风格权重的置信区间（同样用规划求解来实现）和暴露分析（exposure analysis，即一个滚动时期的风格分析，它表示了随着时间的改变投资基金风格的变化情况）。因为进行暴露分析时反复用到了风格分析，所以我们将用Excel的宏来实现暴露分析。8.1传统业绩评价方法 传统的投资组合业绩评价方法主要通过比较不同投资策略的历史收益和风险对其进行评价的。因为这些方法仅以单因素模型作为基准，所以现在看来都有点过时了，并且它们都缺乏统计上的准确性和说服力。在此我们只把它们作为历史方法进行介绍。表4Measures展示了二十世纪六十年代后期在CAPM基础上发展的投资组合业绩评价方法。它们的定义由如下公式给出：Performance Measurement: 业绩评价方法Excess Returns：超额收益Four Performance Measurement: 四种业绩评价方法图8.1 工作表4Measures中的业绩评价指标图8.1中C和D列给出的收益均值，等都是通过单只股票和市场指数的月度超额收益得到。（注意：我们同样可以选择一个投资组合的收益来代替上面提到的单只股票的收益）单元格C11中显示股票的值（即单元格H12中的詹森指标）为正，这说明该股票的收益比用CAPM模型预测的结果要高。同样，单元格H14显示的Appraisal比率也是正的。特雷纳指标等于一个常数加上p/p，这个常数就是市场组合的超额收益。但是，在我们的例子中，值不足以补偿该股票比市场组合大的多的总风险，因此，如果用夏普指标来评价的话，该股票的表现比市场要差。上面几种评价指标分母上的风险指标是不同的，这在很大程度上决定了这几种方法的适用范围。例如，夏普指标只适用于评价整个投资组合的表现（因为它忽略了与市场的相关性）。特雷纳指标和詹森指标只适用于评价整个投资组合中的一部分投资业绩。Appraisal比率只适用于评价在一个核心的被动投资组合的基础上，进行的几个不同的主动投资策略的业绩。使用这些单因素的业绩评价指标时必须要小心。一般来说，这些方法比我们在本章后面部分介绍的多因素业绩评价方法（例如风格分析）要差。8.2 主动被动管理 实践中，许多投资经理假设大部分股票的价值是合理的，但是也有一部分股票被高估，另一部分被低估。根据CAPM模型，在一定程度上，可以用股票的值来评价其价值被高估或低估的程度。基于股票市场不是完全有效的假设，特雷纳和布莱克给出了一个如何评估由定价不合理股票构成的投资组合的模型。首先，他们给出了如何混和最优主动投资组合和被动市场组合来得到最优风险投资组合。其次，他们描述了如何在无风险资产和最优风险投资组合之间分配投资来构造最优投资组合。上面的两个步骤与前面我们解决常见组合问题时首先考虑两种风险资产、然后考虑一种风险资产和一种无风险资产的做法是一致的（即分别在6.8和6.7节中介绍的问题二和问题一）。特雷纳-布莱克方法采用了Appraisal比率，它是投资管理中常用的“core-satellite”方法的基础。Active-Passive Exercise:主动被动练习A:Find Optimal Active Portfolio：A：发现最优主动投资组合Optimal Active Portfolio: 最优主动投资组合图8.2的例子中，给出了投资经理认为定价不合理四只股票的一些具体指标。例如，股票1在下一年的预期超额收益为1%（超出用CAPM模型得到的预测值）。给定四种定价不合理股票的预期收益、值和特殊风险后，可以首先得到最优主动投资组合。特雷纳-布莱克方法认为应当使主动投资组合的Appraisal比率最大化。并证明了上面这种方法的结果等价于持有这几种股票：各股票的权重等于其预期收益除以各自的特有风险。这些比率列在单元格G12:G15中，它们之和列在单元格G17中，最优主动投资组合中这四种股票的权重列在单元格I12:I15中。例如，最优主动投资组合中股票1的权重为98.2%（G12/G17）。结合这四种股票的权重以及其他信息，可以得到最优主动投资组合的预期超额收益为3.7%，值为1.27，特有风险为24.8%（假设四种股票的特定风险是相互独立的）。接下来的任务是在最优主动投资组合和被动市场组合之间分配投资（对于后者，其超额收益等于单元格中的股权风险溢价，总风险等于单元格中的股票市场风险）。这里可以利用6.8节中关于问题二的结论。6.8节主要解决了存在两种风险资产的情况，这同样适用于存在两种投资组合的情况。因此图8.3的单元格I23给出了主动投资组合的权重，其计算公式为： 21(24,24,4,29,29,31,7)ProbOptimalRiskyWeightBEBBEBB= B:Find Optimal Risky Portfolio:B：发现最优风险组合Active：主动；Passive：被动； Solve Prob2：Optimal Risky weights解决问题二：最优风险权重Optimal Risky Portfolio：最优风险组合这个公式的输入项主要有：这两个投资组合的收益和风险（B24，E24，B29和E29）、它们的相关系数（B31），无风险利率（B4），风险厌恶系数（B7）。结果显示有32.8%的资金是投资于主动投资组合的。注意到最优风险投资组合的夏普比率比被动投资组合的要大，这说明最优风险投资组合为风险提供了更多回报。最后的任务是解决如何在最优风险投资组合和无风险资产之间分配投资。同样，这个问题的解决方法已经在6.7节中介绍过了，是第一个常见组合问题。图8.4的单元格B41给出了最优风险投资组合的权重，其公式为： 1(28,4ProbOptimalRiskyWeightIBIB= 其中，此公式的输入项为：最优风险投资组合的收益和风险（I28，I32），无风险利率（B4），投资者的风险厌恶系数（B7）。计算结果显示，投资于风险资产的比例少于2/3（61.2%）。C:Find Optimal Portfolio:C：发现最优投资组合Solve Prob1：split between risk-free and risky 解决问题1：在风险资产与无风险资产之间分配投资Optimal Portfolio：最优组合图8.5中的风险-收益图解释了主动和被动投资组合。根据资金在主动和被动投资组合之间分配的不同，可以得到二者之间的边界（边界上的每个点反映了两者的一种组合）。当过图上代表无风险资产（收益为7%）的直线与该边界相切时，就得到了最优风险投资组合。风险厌恶系数不同将会改变最后的最优投资组合在直线上的位置。本例中无风险资产的投资比例为38.8%。Active-Passive Exercise：主动被动练习Portfolio return：投资组合收益Portfolio risk：投资组合风险Risk-free：无风险Passive:被动Active:主动8.3风格分析（Style Analysis） 风格分析（style analysis）是最近发展起来的，基于收益的，投资基金评价方法。夏普（1992）在九十年代初期率先建立了一个“资产类因素模型”，并根据风格（Style）和选择（Selection）来评价不同基金的业绩。风格分析可以看作得到组合的逆过程。投资基金可以分配到许多不同的国内市场（例如股票、债券和票据）和国外市场（例如货币、外国股票和商品）。其中的每个市场还可以包括许多不同种类的资产。对于局外投资者而言，通常不能得到一个特定基金所投资资产的详细信息。因为不同市场资产的业绩是不同的，所以，一方面很难分辨出每个市场对整个投资组合的收益所作贡献的大小，另一方面也很难分辨出每个市场中不同资产的贡献大小。但是，可以得到该基金的收益数据，从而可以进行风格分析。风格分析是用一些已知的指数（其收益是可以得到）构建基准投资组合，然后将投资基金的主动投资组合的业绩与该基准组合进行比较。理论上，这些指数应该能反映不同资产类别的活动性，这些指数应该是唯一和完全的，并且所包含资产报价是公开的，这样一来，我们就可以“被动地”追踪这些指数。（例如，夏普选择了12个能包括美国投资基金投资选择的指数，并保证这些指数之间的重叠部分尽量少。） 用f1、f2fn表示n种被动指数的收益，则用这n种指数对第i种投资基金进行风格分析所用的公式为：L21）就是单元格B21中的基金收益和风格收益之差。同样我们可以应用上面的公式计算出其他月份的风格和误差，这时单元格M6中的误差方差可以用样本方差函数计算出来： (21:80)VARMM= 因为误差方差值一般很小（这里是0.0006），为了提高优化的精确性，在此基础之上加上了规模误差方差值（乘以10000）（如单元格M5所示）。第15和17行给出了权重的最小、最大值等约束条件，在此约束基础上我们可以用规划求解来最小化单元格M5中的规模误差方差。图8.6的最上面对规划求解和得到的风格权重进行了一些详细说明。上述最优化过程可以通过菜单操作和编程来实现。菜单操作就是使用工具中的规划求解；编程则要通过子程序直接调用规划求解中大量不同种类的函数。第8.8节将简要介绍了相应的、在ModuleM中名称为Style1的相应宏。同时按下组合键Ctrl+Shift+S可以调用该宏。宏Style1还可以生成一个表，其中包括对于选定的指数使基金收益的误差方差最小的风格权重。从表中可以看出，在所研究的期间内，该基金的业绩相当于这样一个投资组合：index3的权重为57.8%，index5的权重为14.2%，index4的权重为7.6%。此例中选择的风格可以解释基金收益95.6%的波动性。总之，根据一个特定基金的风格权重可以构造一个基准投资组合，在所研究的期间内该组合收益等于基金收益，根据该基准组合就可以比较不同的主动基金经理的投资管理水平了。8.5 滚动时段风格分析 前面一节中定义的风格实际上是整个研究期间内的风格平均值，要注意到风格是随时间不断变化的。另一种分析方法是对于一系列连续的时期进行一系列的风格分析，这样我们可以看出随着时间的变化，风格是否一致。这种滚动时段的风格分析有时被称为暴露（Exposure）分析。如图8.7所示，我们分别对前24个月、第7-30月等时间段的收益进行了风格分析，得到了7个风格分析的时序数据（每次分析与前面的分析都有18个观测是相同的）。跟上一节相比，使用电子表格计算时需要格外注意的是：计算每次风格分析的误差方差时要正确选择相应的误差项（如计算前24个月的误差方差时要选择相应的1-24月的误差值，而不要选择2-25月等）。为了做到这一点，可以用Excel中建议的格式使用INDEX命令，从而为方差计算公式选择正确的开始和结束单元格。单元格M23给出了每次风格分析中计算误差方差的公式，其中开始月份列在J6，结束月份列在J7中：图8.7 工作表Style2中的暴露模型分析最好使用宏来自动实现重复的风格分析。在ModuleM表的Style2宏里，首先确定合适的目标单元格、可变单元格和约束条件来建立规划求解。在重复执行规划求解的过程中，正确选择误差方差的起止范围（第几月开始到第几月结束），用规划求解来最小化误差方差，并且把求出的权重复制到输出区域。图8.8给出了风格分析权重的时序数据图。同时按下Ctrl+Shift+E这个组合键可以调用该宏。Exposure Analysis：暴露分析【参照书中第147页的图8.8】我们可以用暴露权重（从过去的24个月的数据估计得到）构造一个基准投资组合，并比较该组合和主动基金在当月的业绩。月末就可以比较主动基金和它的暴露基准组合的收益情况，两者业绩的差异被称为当月的选择收益（Selection Return）。这个选择收益度量了在该风格部门里选择的股票的影响和当月对基金所作的动态调整引起不同部门相应权重变化的影响。例如，一个基金中某部门业绩较好的股票的比重较大时将为其带来正面影响，而增加业绩不好部门的头寸将为其带来负面影响。对一些月份的数据进行上述分析，就可以得到该主动基金的累积选择收益。夏普给出了如何用t-检验来检验平均选择收益的显著性。8.6风格权重的置信区间 到现在为止，已经估计了风格权重（分别在简单和滚动的基础上），但是仍然不知道这些权重的估计值是否显著不为0。为了使用统计方法来检验这一点，需要计算风格权重估计值的标准差。理论状态下，风格分析中使用的指数应该是相互独立的，因此任意指数的收益与其他指数的收益不相关。实际上，指数一般包括多种可用资产，因此有时候与其他指数相关性较高，不满足理论假设。现在需要做的是从风格分析中去掉那些与其他指数过于相似的指数（替代），这样余下指数的相关性就大大降低了。例如，开始分析的时候可能有8种指数，而经过逐步筛选将剔除4种相关性较强的指数，最后可能利用互补性最强的4种指数进行风格分析。判断指数之间替代性或互补性的一种方法是计算不同指数收益的相关系数矩阵。那些容易被其他指数复制的指数与其他指数的相关性很强。如图8.9所示，指数3，6和8与其他四种指数的相关系数都在0.5以上。与之相反，那些很难复制的指数与其他指数的相关性较差。例如，指数1和2与其他指数的相关系数都在0.25以下。Correlation Matrix for Style Index Returns：风格指数收益的相关系数矩阵需要这样一张电子表格，它把指数收益矩阵自动分为两部分：B列是选定的单个指数的收益j*；D到J列是余下那些指数的收益。用单元格B10中的j*值和INDEX命令把选定的单个指数分离出来。这里用数组的形式来返回收益数组中选定单元格的数值。上面的这些步骤用公式表示在B21中就是： ($21:$80,21,$9)INDEXPWAB= 为了更方便的分开余下的那些指数，可以设计一个名为StyleSubMatrix的用户定义函数，表Module1中介绍了该函数的一些具体的情况。虽然现在对于单个指数的权重没有约束条件，但是还需要仿照表Style1的方式创建新表并用规划求解进行计算。这时使用宏Style3分析单个指数（用组合键Ctrl+Shift+J调用）、在集中分析8个风格指数时使用宏Style4（用组合键Ctrl+Shift+K调用）。表ModuleM详细解释了上面这些公式的有关情况。Confidence Intervals for Style Weights 风格权重的置信区间8.7 Module1中的用户定义函数 本模块包括四种业绩评价方法所需要的函数。本模块仅仅把电子表格中的函数直接转化为程序。其中有一个函数的作用是从收益矩阵中删除一行并得到维数减少的矩阵，这样我们就可以计算风格系数的置信区间了。本质上，该函数是对原有收益矩阵一行一行的完全复制，跳过需要删除的那一行（用虚拟变量jadj）： Function StyleSubMatrix(indxmat, jstar) returns style index returns matrix less column j* Dim i As Integer, j As Integer, jadj As Integer, nr As Integer, nc As Integer Dim Submat() As Variant nr = indxmat.Rows.Count nc = indxmat.Columns.Count ReDim Submat(nr, nc - 1) jadj = 0 For j = 1 To nc 1 If j = jstar Then jadj = 1 For i = 1 To nr Submat(i, j) = indxmat(i, j + jadj) Next i Next j StyleSubMatrix = Submat End Function 8.8ModuleM中的宏风格分析的二次规划公式比求有效组合的二次规划公式要略微简单一些。这两个公式为权重设定了上下限，但是风格分析中没有等价于满足目标收益要求的等式约束。Style1的子程序主要是规划求解的一个简单应用，它直接使用了规划求解中的函数。SolverAdd函数给出了约束条件，而用SolverOk解决： Sub Style1() Range(“change1”).Value = 0.1 Range(“A1”).Select SolverReset Call SolverAdd(Range(“constraint1”), 3, Range(“con1min”) Call SolverAdd(Range(“constraint1”), 1, Range(“con1max”) Call SolverOk(Range(“target1”), 2, 0, Range(“change1”) Call SolverSolve(True) SolverFinish Call Chart1 Application.ScreenUpdating = True End Sub Chart1子程序是用宏录制器编写的，它主要用图表向导在一张新的工作表上作图。程序最后两行的作用是用数据标签的形式显示数值并且减少图表的背景色彩。这些程序都是用宏录制器编写的，这要比边看帮助和使用说明边写程序简便得多。注意：这段程序可以单独使用，也可以在Style1中作为子程序调用。Sub Chart1() Charts.Add ActiveChart.ChartWizard Source:=Sheets(“Style1”).Range(“chart1s”),_ Gallery:=xlColumn, Format:=6, PlotBy:=xlRows,_ CategoryLabels:=1, SeriesLabels:=0,HasLegend:=2, Title:=_ “Style Analysis”, CategoryTitle:= “”, ValueTitle:= “”, ExtraTitle_ := “” ActiveChart.ApplyDataLabels Type:=xlShowValue, LegendKey:=False ActiveChart.PlotArea.Interior.ColorIndex = xlNone End Sub 子程序Style2仅仅是规划求解函数的重复应用。应该注意在初始化之后，规划求解是如何在循环之前建立起来的。每次循环将调用SolverSolve进行下一次风格分析，然后将求得的权重复制到输出区域。这里注意语句Range(“exp0”).Offset(iter, 1)中的Offset是如何在输出区域内循环使用的。Sub Style2() Dim iter As Integer, niter As Integer, rstep As Integer Range(“exp17”).ClearContents Range(“change2”).Value = 0.1 Range(“A1”).Select SolverReset Call SolverAdd(Range(“constraint2”), 3, Range(“con2min”) Call SolverAdd(Range(“constraint2”), 1, Range(“con2max”) Call SolverOk(Range(“target2”), 2, 0, Range(“change2”) rstep = 6 niter = 7 iter = 1 Do While iter = niter Range(“smonth2”).Value = 1 + (iter - 1) * rstep Call SolverSolve(True) SolverFinish Range(“constraint2”).Copy Range(“exp0”).Offset(iter, 1).PasteSpecial Paste:=xlValues iter = iter + 1 Loop Call Chart2 Application.ScreenUpdating = True End Sub 接下来的子程序Style3和Style4的编写方法，与上面介绍的两段子程序类似。小结 本章从两个不同视角研究了投资组合业绩的评价方法。第一视角的研究方法不是很细致，主要是在前面一章的理论基础之上发展的传统业绩评价方法。第二视角则根据多因素模型进行风格分析，并给出更为准确的判断标准。传统的评价方法是根据投资组合收益和风险的历史数据对组合进行简单排序。这些方法很容易用电子表格实现，但是它们是由单因素（CAPM）模型发展出来的，也缺乏统计上的说服力和准确性。基于部分股票的价格是不合理的假设基础之上，特雷纳和布莱克根据CAPM模型给出了“主动-被动”模型。该模型主要的任务是将主动投资组合与市场组合结合起来，构建一个最优风险投资组合。可以看到，第6章中提到的常见组合问题可以用来解决在“主动-被动”模型中遇到的问题。在建立CAPM模型后的几十年里，学者们为了找到可以反映风险回报的、不同于值的其他评价指标做了不计其数的实证研究。为了发现市场上潜在的定价偏差（如规模、市净率），又发展出来一些更为专业的指标（如大盘股、小盘股、价值和成长）。这些研究成果推动了多因素模型的发展，进一步为建立更好的投资组合业绩评价基准打下基础。本章介绍了风格分析的方法，它是一种以多因素模型为基础的主动投资策略的评价方法。这种方法需要用二次规划来解决问题（就像在第6章那样），具体的实现过程可以使用Excel工作表中的规划求解或者是宏。可以对一段时期进行风格分析，但更为有用的是对一系列连续的流动时期进行风格分析，这样可以发现风格模式（Style Pattern）随时间的变动情况。与传统的评价方法不同，利用风格分析可以进行统计推断。在对标准风格分析进行修改的基础上，可以给出风格权重的置信区间。同样可以检验一个主动基金随时间变化的Selection Return在统计上的显著性。从二十世纪五、六十年代创建的投资组合最优化和资产定价理论到九十年代的风格分析，在这些理论的发展过程中，夏普做出了很大贡献-他发展了CAPM模型和风格分析。正如我们在附注的电子表格中看到的那样，这是理论和实际应用的一次完美结合，帮助我们更全面认识了股票。第9章 股票期权介绍 期权的重要性是不容置疑的。自从1973年，布莱克和迈伦。舒尔斯出版了最早关于期权定价的论文以来，大量的金融产品被开发出来并在全世界交易。而且，除了股票，该理论还延伸到债券以及实物资产等领域。看涨期权（Call Option）是一种能够以预先协定的执行价买入某种资产的权利；看跌期权（Put Option）则是一种能够以预先协定的执行价出售某种资产的权利。欧式期权（European option）只允许在到期日执行，而美式期权(American option)则允许在到期日之前（包括到期日）的任意时刻执行。尽管布莱克-舒尔斯定价模型是用来对欧式期权定价的，但实际交易中大多数是美式期权。本书期权部分的结构有别于股票部分。本章总体介绍了期权的概念和理论，这些内容将在下面四章中作详细介绍。研究期权定价的目的是为各种衍生工具定价，下面的章节将介绍各种不同的定价方法。这些方法的适用性部分依赖于期权的类型，以及布莱克-舒尔斯定价模型及其扩展模型是否适用。如果不适用，可以使用其他的数值方法。本章介绍期权定价的一些主要思想，在后续四章的电子表格模型中会逐步充实这些内容。有些概念是环环相扣的，很多地方都需要用到它们，因此在本章提前介绍，然后在以后的章节扩展。不同定价方法将在工作簿OPTION1，2，3，4的工作表中演示。一些小例子用来展示计算过程，用户定义函数中也包含这些计算过程。由于可以通过设置反映问题大小的参数（如二叉树定价的期数，模拟的次数等）来推广函数的使用，所以这种方式功能强大而且能自动处理大型计算。本章首先介绍期权定价的发展历史，然后引入布莱克-舒尔斯定价公式，接下来介绍有关对冲投资组合(hedge portfolios)以及风险中性定价(risk-neutral valuation)的主要思想。期权的有些性质本章先不作介绍，例如欧式、美式期权的区别，波动率估计以及看涨期权和看跌期权的关系等等。最后讨论期权定价的数值方法。主要的定价方法包括二叉树(binomial tree)的运用（第十章）及其模拟(simulation)（第十二章）。第十一章重点介绍布莱克-舒尔斯定价公式，第十三章讨论某些假设条件（如对数收益的正态性）不成立情况下的定价方法。象讨论股票那样，本书强调的是理解并在电子表格中实现有关期权的计算。本章并不介绍期权的所有背景理论，对于有关细节问题，建议读者查看相关的专业书籍（如赫尔，2000及Bodie et al.1996）。例如，简单期权的基本定义，它们的盈亏状况图，以及看涨和看跌期权的平价关系等在赫尔的第1和第7章，及Bodie et al的第19章中有介绍。期权定价的基本理论在Bodie et al的第20章有介绍，更深层次的内容可以在赫尔的第9，10和11章中找到。9.1 布莱克-舒尔斯公式的起源 费希尔布莱克（1989）曾进写过一篇短文介绍他和迈伦。舒尔斯怎样得出著名的布莱克-舒尔斯公式，为了强调其对现代金融学的杰出贡献，这里重点介绍其中的一些观点。在他们的分析中，核心思想是可以用一定数量的股票和一份期权构造一个完全对冲的组合。术语“对冲(hedge)”的含义是，由于期权价值的变动可以抵消股票价格的变动，因此组合资产的价值在一段较短时间内不随股票价格的变化而变化。因此，对冲投资组合也是一种无风险组合。接下来，在1965年发表的论文中提出了资产定价模型（CAPM），许多研究机构设法将它运用于股票以外的其他领域，如债券，企业现金流，以及认股权证（warrant）等。当时（1965）的认股权证市场（由企业发行的一种长期期权）发展迅速，远甚于OTC市场短期期权。学者们首先估计认股权证在到期日的预期收益，然后将其折现来得到其价格，这种方法忽略了股票的预期收益以及合理的折现率。布莱克发现认股权证的价值由股票的总风险决定而不是由股票的预期收益决定。布莱克和舒尔斯发现，股票的预期收益等于确定状况下的无风险利率，因此，期权的预期收益也可以用这个利率折现得到。他们的手稿（1970年）提出了著名的布莱克-舒尔斯公式，但当时却被政治经济杂志（Journal of Political Economy）拒绝！在默顿米勒和吉恩法马的帮助下，文章才在1971年8月被接收，但要求作进一步的修改。文章最终发表在政治经济杂志1973年5/6月期刊上。同样在1973年，这不仅是巧合，芝加哥期权交易所（Chicago Board Option Exchange）成立，交易16家公司的股票看涨期权。现在看来，布莱克-舒尔斯公式其实并不复杂，但是它在期权定价理论方面得到广泛应用，而且迈伦舒尔斯和罗伯特默顿也因此在1997年10月获得诺贝尔经济学奖，这些足以说明它的重要性。可惜布莱克在1996年去世，因此未能享受这一殊荣。简要介绍完布莱克-舒尔斯公式的历史后，接下来看一看实际的布莱克-舒尔斯公式。9.2 布莱克-舒尔斯公式 布莱克-舒尔斯公式可以直接给欧式期权定价，但它也可以为其他一些期权定价（欧式期权的特点是仅能在到期日执行）。股票部分已经提到过，假定期权标的股票对数收益服从正态分布。假设期权（标的股票的即期价格为S）是一个看涨期权，期限为T，只有在到期日才能执行，执行价格为X。那么在T时刻，期权的收益为：9.3 对冲投资组合（Hedge Portfolios） 在布莱克-舒尔斯公式中一个令人感到惊讶的地方是，股票的期望收益m没有出现在表达式中。然而，这可由下面来解释，可以创建对冲投资组合，且公式中使用无风险利率。但是，术语“对冲投资组合”的确切含义是什么呢？ 布莱克-舒尔斯看涨期权公式可以写成下面的形式： BhSc-=，其中)(1dNh=，)()exp(2dNrTXB-= 等式右边的投资组合，包括一定数量的股票和无风险贷款，它可以完全复制左边的看涨期权（该变量即“复制组合（replicating-portfolio）”）。布莱克-舒尔斯公式显示，看涨期权的价值必须等于复制组合的净投资值。将布莱克-舒尔斯公式变型为chSB-=，就可以用看涨期权来构造一个对冲组合。买入h数量的股票，卖出一份看涨期权，即可构造出一个固定价值为B的对冲组合。我们用h来代替(1dN此可以看出，对冲比率(1dN上是用来对冲期权价格变动风险的股票数量。) ) 假设在某一时段，股票价格的变动只是简单地以一个确定的比率上涨或下跌，即简单的单期二叉树过程。例如：假设在t0时刻，股票的即期价格为100（S），在t1时刻，股价如果上涨，则为115（上涨比率为1.15）；股价如果下跌，则为95（下跌比率为0.95）。如果期权在t1时刻的执行价格为100，那么在到期日，期权的收益要么为15（股价上涨），要么为0（股价下跌），见图9.1。注意，目前并不知道股票上涨或下跌的概率。但是，如果买入0.75份的股票，而卖出1份看涨期权，这个对冲组合将得到一个确定的收益71.25(上涨时为0.75115-15；下跌时为0.750.95)。由于组合的价值不依赖于股票的最终价格，即它是无风险的，因此该组合在这个时段必须获得无风险收益，如5%。所以将t=1时刻的收益折现到t=0时刻的折现因子应为05.11。使净投资表达式（0.75*100-c）与折现收益（05.125.71）相等，可以求得期权的价格c（等于7.14）。通过分析布莱克-舒尔斯公式，可以得到构造对冲组合的合理对冲比率（h=0.75）以及期权的价格（c=7.14）。归纳一下图9.1中的例子以及图9.2中的符号说明，可以得出，如果，即duchdSchuS-=-)()(duScchdu-=，则投资组合在t=1时刻的收益就是确定的。因此，对冲比率为测量期权价格变动相对股票价格变动的比率。9.4 风险中性定价 对冲组合的存在使得我们可以运用风险中性定价方法来计算期权价格。在风险中性的世界里，所有的投资者都对风险无所谓，因此所有的资产（并不限于布莱克-舒尔斯分析中的对冲组合）可以通过对其预期收益折现来定价。注意，这里并没有说所有资产的风险都是相同的，或者真的无风险，只是说在采用这种定价方法时可以假设投资者是风险中性的。在风险中性的世界里，期权的价格等于其预期收益按无风险利率折现的现值，即： )0,max()exp(XSErTcTQ-= 其中，QE指在风险中性概率测度Q下的期望收益。变换一下布莱克-舒尔斯公式，就能够更加清楚地看出这一点： )()()exp()exp(21dXNdNrTSrTc-= 上面方括号中的表达式就代表期权的期望收益。则表示期权在风险中性条件下被执行的概率。)(2dN 在接下来的章节中，将会不断出现有关风险中性条件下的期权价格计算。例如，在第10章，二叉树将会提供一种计算期望收益的结构，而在第12章，蒙特卡罗模拟和数值积分技术都提供了计算期望收益的代替方法。9.5 风险中性定价的单期二叉树模型 前面已经讨论了在风险中性条件下的定价问题，当时只简单地假设股票的变动是单期二叉树过程。在风险中性条件下，所有的资产都有相同的期望收益，因此股票和债券的期望收益相同。然而，债券可以带来确定的固定收益，比如说5%，而与股票的收益无关。假设股价上涨时股票的收益为15%，而股价下跌时收益为-5%。接下来就是要找到股价上涨和下跌的隐含概率，使得股票的期望收益与债券相等。资产的期望收益是其各种可能收益的加权平均，记股价上涨的概率为p，则股票的期望收益为： (15%)(5%)(1)pp+- 结果取决于p值的大小。如果假设p=0.5，则股票的期望收益为0.5，正好与债券相同。我们称此时的p值（0.5）为风险中性下的隐含上涨概率。结合图9.2中的符号，如果股票在t=0时刻的价格为S，而在t=1时刻，股价上涨时为uS，概率为p；股价下跌时为dS，概率为1-p，则股票在t=1时刻的期望收益为： (1)uSpdSp+- 其中u和d分别为股票价格的相对变化量。如果单期的无风险利率为r，则根据风险中性定价，可以得到：SrpdsuSp=+-+)1()1( 也就是dudrp-+=)1( （严格地说，对于时间段td- ，折现因子应该是)exp(tr-，而不是简单的)1(1r+，因此，隐含概率为 du。） 得到了隐含概率（implied probabilities）后，就可以利用它们求其他资产进行风险中性定价。看涨期权的价格其实就是期权加权平均收益的现值（或折现值）。如果期权的执行价格为100，则股价为115时收益为15，而股价为95时收益为0。因此，该期权的期望收益为0.515=7.5。用无风险折现因子对其折现（使用前面提到的单期折现因子05.11），可以得到期权的价格为7.14，这与前面用对冲组合得到的结果一致。风险中性定价方法适用于所有资产，而不仅仅是无风险资产。相应的股票现值为(115)0.5+(95)0.5=100.0。很明显，多期二叉树是对单期二叉树方法的改进，它会给出一个更精确的股票终值（），也更加接近股票价格的分布。例如，如果期权的有效期是三个月，那么一个两期二叉树将有三个不同终值，一个九期二叉树将提供十个不同终值，即n期二叉树将提供（n+1）个不同终值。对于一个九期二叉树，每期代表1/3个月。我们需要知道二叉树每期时段的长短，股票价格向上（或向下）运动的概率，以及价格在经过九期变化后的累积效果是否与我们假设的股价分布模型一致。终值服从二项概率分布，当期数增加，离散的二项分布将逐步接近连续的正态分布。增加期数的目的是为了用二叉树模拟前面提到的随机过程，也就是假TS设股票价格服从的几何布朗运动。通过对某一时段股价变化建模，可以用一个多期二叉树来模拟布莱克-舒尔斯方法中的正态分布。由于该方法广泛地用于对各种期权定价，因此二叉树定价的基本方法将在下一章做深入分析。9.6期权平价关系（Put-Call Parity） 前面的布莱克-舒尔斯公式计算的是看涨期权价格。和看涨期权一样，也有看跌期权，它提供一种在到期日能够以执行价X出售资产的权利。在经过时段T后看跌期权的收益为： )0,max(TSX- 欧式看涨期权和看跌期权（仅能够在到期日执行）之间存在一种非常有名的关系，被称为看涨期权和看跌期权的平价关系，如果看涨期权和看跌期权的标的股票（当前价格为S）相同，且执行价也相同，则有关系式： exp()cXrTpS+-=+ 其中， p是看跌期权的价格。右边看跌期权和股票的组合完全复制了一看涨期权和负债的组合。这意味着看涨期权的定价公式很容易应用于看跌期权。因此，布莱克-舒尔斯关于看跌期权的定价公式为（标的股票没有红利）： )()exp()(21dNrTXdSNp-+-= 注意，看跌期权的对冲比率等于)1)()(11-=-dNdN，为负值，而看涨期权的对冲比率是，为正值。)(1dN 一般不推荐用两个不同的公式来计算看涨期权和看跌期权的价格。偏向通过电子表格和一个带参数iopt的VBA函数来计算看涨期权和看跌期权的价格，当参数为1时计算看涨期权，为1时计算看跌期权，这比复制看涨期权公式，然后作微小修改得出的看跌期权公式要好一些。9.7 红利（Dividends） 初期的布莱克-舒尔斯公式并不考虑红利，但是默顿扩展了这个公式，将红利纳入考虑范围，并用于给其他期权定价，如外汇期权等。默顿在模型中将红利处理成一个连续的年红利收益q。只需将初始布莱克-舒尔斯公式中的股票即期价格S用S exp(-qT)替代就行了，和的表达式也作相应的修改。1d2d 在风险中性条件下，没有红利收入的股票只能得到无风险收益r。如果股票有红利，它的总收益仍然为r，但是该收益被分为两部分，(r-q)为股票价格收益，q为红利收益。红利将降低看涨期权的价值，因为在执行时，部分资产（红利）已经流失掉了。相反地，红利会增加看跌期权的价值，因为在执行时已损耗了资产的一部分价值。9.8 美式期权的特征 美式期权能够在到期日或到期日前的任何一天执行。这使得二叉树方法更能满足实际需要，因为它可以很方便地处理期权提前执行的问题。而布莱克-舒尔斯公式则只能给欧式期权定价，因为它处理不了提前执行的问题。提前执行是否能提高期权的价值，这取决于红利。例如，即使标的股票没有红利，提前执行美式看跌期权也是合理的。这种看跌期权一般会在股价大幅度下跌或利率上涨之后被执行。而对于没有红利的看涨期权，提前执行则是不明智的；但对于有红利的股票，提前执行期权则可能会获得较多的红利收入。二叉树方法在每一个节点上拿欧式期权的价格与立即执行期权所得的回报作比较，这样就可以得到美式期权的价格了。因此，二叉树方法为美式期权提供了一个最理想的执行策略，关于美式期权定价将在第10章的后半部分介绍。9.9 数值方法 计算统计期望值是所有期权定价数值方法的核心。随着二叉树期数的增加，正态分布与二项分布会越来越接近，正是利用这一点，二叉树方法为揭示布莱克-舒尔斯公式背后的原理作出了重要贡献。利用二叉树对股票价格运动过程建模，能够计算期权有效期内所有中间节点的收益。然后结合期权定价过程的“倒推（backward）”特性，就很容易为美式期权定价了。实际上，二叉树方法是准确并有效地为美式期权定价的基础。第10章将集中介绍二叉树理论，包括构建树的不同方法，如何利用二叉树为期权定价，以及以布莱克-舒尔斯公式为基准，测试不同树的准确性。二叉树方法还可以看成是一种有效生成股票价格运动轨迹的方法。虽然，二叉树丢失了一些信息（例如，丢失了一些特殊的运动轨迹），但大大提高了效率。对于依赖路径的期权，还可以用一些其他的数值方法，最典型的是蒙特卡罗模拟。对于标准期权，蒙特卡罗模拟用服从正态分布的随机变量来生成到期日的股票价格。与标准期权的二叉树方法相比，蒙特卡罗模拟的效率较低，因为它需要用随机数模拟大量路径（为了提高树的精确度）。可以在模拟时使用对偶变量（antithetic variates）或准随机（quasi-random）数来提高效率，后者尤其有效。而对于更加复杂的期权，蒙特卡罗模拟需要记录所有路径上的中间股票价格，这样就可以为奇异期权（此类期权的收益由标的资产价格运动的特殊路径决定）定价。第12章将集中讨论蒙特卡罗模拟。数值方法将布莱克-舒尔斯分析的应用范围从欧式期权定价扩展到美式期权定价（用二叉树方法），并进一步到路径依赖期权定价（用蒙特卡罗模拟）。自80年代中期以来，个人计算机的处理能力得到迅猛发展，使得电子表格如Excel能够利用内嵌函数计算累积正态分布的概率。第10至13章中电子表格的所有分析解几乎都能立即算出。例如，第10章的二叉树定价（即使有1000期）结果能够在15秒内得出，而一个计算标准期权价格的蒙特卡罗模拟（10000次试验）使用Excel也不到45秒。对绝大多数标准期权来说，二叉树方法（特别是使用莱森和赖默方法）和蒙特卡罗模拟都能为其准确而有效地定价。9.10 波动率和非正态股票收益 有关期权定价的最后一章（第13章）将集中讨论波动率，它是定价时要考虑的最重要因素，还将讨论当前处理非正态分布的方法。布莱克