立体几何解答题专题训练1答案12.doc

立体几何解答题专题训练1、(江西省鹰潭市高三第一次模拟)已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点,又知. ()求证：平面； ()求到平面的距离； ()求二面角的大小. 解法：()平面,平面平面,又,平面, 得,又,平面.4分(),四边形为菱形,故,又为中点,知.取中点,则平面,从而面面,6分过作于,则面,在中,故,即到平面的距离为.8分 ()过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,10分在中,故二面角的大小为. 12分 解法：()如图,取的中点,则,又平面,以为轴建立空间坐标系, 1分则,由,知,又,从而平面.4分 ()由,得.设平面的法向量为,设,则.6分点到平面的距离.8分 ()设面的法向量为,.10分设,则,故,根据法向量的方向可知二面角的大小为.12分2、(山东省济南市高三统考)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD=90，面PAD面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点（1）证明：EF面PAD；（2）证明：面PDC面PAD；（3）求锐二面角BPDC的余弦值解：（1）如图，连接AC，ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必经过F 1分又E是PC的中点，所以，EFAP2分EF在面PAD外，PA在面内，EF面PAD4分（2）面PAD面ABCD，CDAD，面PAD面ABCD=AD，CD面PAD，又AP面PAD，APCD6分又APPD，PD和CD是相交直线，AP面PCD7分又AD面PAD，所以，面PDC面PAD 8分（3）由P作POAD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则A（1，0，0），P（0，0，1）9分由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），10分设面BPD的法向量，由得 取，则，向量和的夹角的余弦11分所以，锐二面角BPDC的余弦值12分3、(山东省郓城一中期末考试)如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE. （）求证：AE平面BCE； （）求二面角BACE的余弦值； （）求点D到平面ACE的距离. （）求证：平面BDF平面ABCD解法一：（）平面ACE. 二面角DABE为直二面角，且， 平面ABE. （）连结BD交AC于C，连结FG，正方形ABCD边长为2，BGAC，BG=，平面ACE，（）过点E作交AB于点O. OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为解法二：（）同解法一.（）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离4、(上海市部分重点中学高三第二次联考)在长方体中（如图），=1，点E是AB上的动点(1)若直线，请你确定点的位置，并求出此时异面直线与所成的角(2) 在（1）的条件下求二面角的大小解解法1：由DE与CE垂直-1分 设AE=x,在直角三角形DEC中求得-2分 所以点是AB的中点-3分取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以是所求的角-4分求解得=-5分异面直线与EC所成的角为-6分解法2：利用向量法 分别以DA，DC，D所在的直线为X轴建立坐标系-1分 设AE=x， 根据直线-2分所以点是AB的中点-3分 写出A（1，0，0） E（1，1，0 ） C （0，2，0） （0，0，1）-4分设的夹角为 cos=-5分异面直线与所成的角为-6分（2）解法1：由DE与CE垂直，所以是所求的平面角-8分 -11分二面角是-12分解法2：利用向量法求得二面角是EO1OD1C1B1DCBAA15、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点. （1）求二面角O1BCD的大小； （2）求点E到平面O1BC的距离. 解法一:（1）过O作OFBC于F，连接O1F，OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角，3分OB=2，OBF=60，OF=.在RtO1OF在，tanO1FO=O1FO=60 即二面角O1BCD为606分（2）在O1AC中，OE是O1AC的中位线，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交线O1F.过O作OHO1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，10分OH=点E到面O1BC的距离等于12分解法二：（1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，2分建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）3分设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则，则z=2，则x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）5分cos=，设O1BCD的平面角为， cos=60.故二面角O1BCD为60. 6分（2）设点E到平面O1BC的距离为d， E是O1A的中点，=（，0，），9分则d=点E到面O1BC的距离等于。12分SABC6、(江苏省启东中学高三综合测试一)如图在三棱锥S中，。（1）证明。（2）求侧面与底面所成二面角的大小。（3）求异面直线SC与AB所成角的大小。解：（1）SAB=SCA=900 （2）（3）7、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的大小。解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；4分（II）因为，所以四边形为 菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。（III）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小为。12分解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；4分（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。8分（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。8、(四川省成都市一诊)如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解：由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz由平面几何知识知：AD4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)2分(1)(1,0,1),(1,1,1)0AF与BG所成角为 4分(2)可证明AD平面APB平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 故m(1,1,2)cos平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccosCABOPDE9、(四川省成都市新都一中高月考)如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD2，侧面PBC底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E. (1)求证：PABD； (2)求二面角PDCB的大小； (3)求证：平面PAD平面PAB.本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角，空间想想能力，以及综合解题能力方法一：(1)证明： 又平面平面ABCD 平面平面ABCDBC，平面ABCD2分 在梯形ABCD中，可得 ，即 在平面ABCD内的射影为AO，4分(2)解：，且平面平面ABCD DC平面PBC 平面PBC， PCB为二面角PDCB的平面角6分 PBC是等边三角形，PCB60，即二面角PDCB的大小为608分 (3)证明：取PB的中点N，连结CN PCBC，CNPB ，且平面平面ABCD 平面PBC10分 平面PAB 平面平面PAB 由、知CN平面PAB 连结DM、MN，则由MNABCD MNABCD，得四边形MNCD为平行四边形CNDM DM平面PABDM平面PAD 平面PAD平面PAB 12分方法二：取BC的中点O，因为PBC是等边三角形， 由侧面PBC底面ABCD 得PO底面ABCD 1分以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz2分(1)证明：CD1，则在直角梯形中， 在等边三角形PBC中， ，即4分 (2)解：取PC中点N，则 平面PDC，显然，且平面ABCD 所夹角等于所求二面角的平面角6分 二面角的大小为8分(3)证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为 又10分 即平面PAB，平面平面PAB.10、(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角A-BD-C的大小；(3)求点C到平面ABD的距离.解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 在中，解得 此正三棱柱的侧棱长为 5分 注：也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 在中，又， 又在中， 故二面角的大小为 10分解法2：（向量法，见后）（）