Strongart数学笔记：谈Banach空间与C星代数的张量积.pdf

谈谈 Banach 空 间 与空 间 与 C 代 数 的 张 量 积代 数 的 张 量 积 2014 05 23 14 04 18 先回顾一下代数中的张量积 给定域 k 上的两个向量空 间 或更一般的交换环上的模 V 与 W 其张量积 V W 的 元素由形如 v i w i 的有限和生成 满足基本关系 对任 何 u v V w x W a k 有 u v w u w v w u w x u w u x au w u aw 由此可见 张量积在本质上就是双线性映射的公理化 在 Hilbert 空间上 我们要考虑的是张量积算子与内积的 配合问题 设 H 与 K 是 Hilbert 空间 那么可定义代数张量 积空间 H K 上的内积 对任何 h 1 h 2 H k 1 k 2 K 一般形式的张量积可由其线性张成得到 对此内积的张量积 空间 就称为 Hilbert 空间 H 与 K 的张量积 对于这样定义的内积 显然满足所谓的交叉范数条件 h k h k 我们还有下交叉范数条件为 h k h k 对于 Hilbert 空间上的算子 我们同样可以定义张量积 若 S B H T B K 则其张量积算子 S T B H K 定 义为 对任何 h H k K S T h k S h T k 同时有 S T S T 下面看一下 Hilbert 空间下范数计算的例子 在 l 2 l 2 内 x e 1 e 1 e 2 e 2 满足 x 2 这个结论可以用 Hilbert 空间的张量积公式直接计算 也可以利用如下结论 若 e i 与 f j 分别是Hilbert空间H与K的标准单位正交基 则 e i f j 就是 H K 的标准单位正交基 下面我们看 Banach 空间上的张量积 由于没有内积结 构的限制 使得这里张量积的定义有着多种不同的选择 但 至少应该与 Hilbert 空间上张量积的范数性质一致 即满足下 面的交叉范数条件 x y x y 设 E 与 F 是两个 Banach 空间 对 x x i y i E F 可定义 张量积为 x sup f x i g y i f E f 1 g F g 1 还可定义 张量积为 x inf x i y i x x i y i 这里 称为单射交叉范 injective cross norm 是所有交叉 范数中最小的 称为投射交叉范 projective cross norm 它是所有交叉范数中最大的 有的文献中用 记 用 记 代数张量积空间 E F 在对应范数下的完备化 就得到 了对应的张量积空间 典型的就是单射张量积空间 E F 与投射张量积空间 E F 对于投射张量积空间 我们有下面的典型投射性质 设 B E F G 是有界双线性映射 则存在唯一的算子 B E F G 满足对任何 x E y F B x y B x y 而 B B 则给出了 Banach 空间 B E F G 与 L E F G 之间的一一对应 对于单射张量积空间 我们也有下面的典型单射性质 设 E 与 F 是 Banach 空间 对任何 x y i z i 均等距对应 一个 x 满足 f y i g z i 由此给 出了等距嵌入 E F Hom E F 这个嵌入一般不是 到上的 注意代数张量积对应有限秩算子 其像就是有限秩 算子代数的范数闭包 称为可逼近算子 approximable operator 它是紧算子代数的子代数 值得注意的是 范数不像 范数那样 在右边定义 的取值范围中还包含着 x x i y i 这是因为在 范数中 x 即便有其他表达式 不是最简单的 但 f x i g y i 的 值却是不变的 而 范数中的 x i y i 却是与表达 式有关的 但只有最简表达式才能够取到下确界 下面我们看一个例子 说明这两个交叉范确实是不同 的 在 Banach 空间 l 2 内取标准单位基 e 1 与 e 2 对元素 x e 1 e 1 e 2 e 2 而言 显然 x 2 但要让 f x i g y i 最大 只能取与 e 1 e 2 有关的 f 和 g 这里不 妨把 l 2 等同其对偶空间 令 f Ae 1 Be 2 g Ce 1 De 2 则 A 2 B 2 1 C 2 D 2 1 有 f x i g y i AC BD A 2 C 2 B 2 D 2 2 1 由此可以证明 x 1 确实严格小于 x 2 可见 这里的 范数 范数与作为 Hilbert 空间上的 l 2 范数都 是不同的 我们接着看一下对偶范数 设 是 E F 上的对偶范数 它诱导出 E F 上的对偶范数为 f sup x E F x 1 f E F 这里 若 x y i z i f g j h j 一般我们有 iff 是下交叉范数 iff 是下交叉范数 假若 与 都是下交叉范数 则它们都是 交叉范数 由此可以证明 对偶范数 是交叉范 iff 下面看 E F 上的若干范数 首先范数越大 其对偶越 小 我们有 此外 这里的 恰好就是 E F 上的单射交叉范 即 但一般 却是不成立 的 下面的反例是我向老外请教后得知 需要涉及比较多的 Banach 空间结构知识 下面就简述其大意 读者可以先跳过 此段 取 Banach 空间 E c 0 由下文中的 C 0 X C 0 Y C 0 X Y 可得 c 0 c 0 c 0 l 1 同时由 Kothe 的一个定理得到 l 1 的无穷维可补子空间同构于 l 1 但 c 0 在 c 0 c 0 内必然是可补的 这就是说明了 c 0 c 0 c 0 c 0 下面我们来看 C 代数的范数 为此先要把 Banach 空间 内的张量积结构升级 设 A 与 B 是两个 C 代数 对任何 x x 1 x 2 A y y 1 y 2 B 定义 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1x 2 y 1y 2 x y x y 这就得到张量积空间 A B 上的代数与星结构 下面我们还 要考虑其范数 一般是只要求下交叉范数与 C 条件 xy x y x x x 2 请注意 第一个不等式不是上文中下交叉范数 因为它 的乘法不是张量积 而是上面第一个等式所定义的关于代数 张量积乘法 事实上 我们可以把这个结构单独拿出来 得 到所谓 Banach 代数上的张量积 对于 C 代数 我们一般是借助其表示定义范数 设 A 与 B 是两个 C 代数 可定义极大范数为 x max sup x A B B H 是 同态 还可定义空间范数 或极小范数 为 设 A B H B B K 是忠实 表示 a i b i min a i b i B H K 类似的 对于这两个张量积范数的完备化 我们可以得 到相应的完备化空间 A maxB 与 A minB 这里的极大范数具有如下的万有性 设 A B C 是 同态 则存在唯一的 同态 A maxB C 是 的扩张 由 此可得极大范数是所有 C 范数中最大的 事实上 极小范数与其忠实表示的选择无关 首先说明 有限维空间与 C 代数的张量积与忠实表示无关 这里是因 为 M n C A M n A 是 C 代数 其范数可以由谱半径公 式唯一给出 注意到给定元素的范数只涉及可数个元素 可 以把问题转化为可分情形 再通过收敛于恒等算子的有限秩 投影列构造来处理 下面说明极小范数是而且是最小的 C 范数 这里要用 到一个关于态的引理 设 A B 是 C 代数 给定代数张量 积 A B 上的任何范数 对任何忠实态 f S A g S B f g 可扩张为 A B 上的态 f g 这个引理可以对形如 f a ax x 的向量态直接直接证 明 然后注意到任何态都是向量态的凸线性组合的弱闭包 即可以证明此引理 下面我们证明空间范数的极小性 其中主要用到态与表 示的 GNS 对应 记态 f 对应的表示的 f 由 GNS 对应的 唯一性 可以得到 f g 与 f g A B 上的酉等 价的 注意极小范数与忠实表示的选取无关 有 A minB cl f g A B f g A B A B 因此 事实上 在 C 代数我们有如下的范数比较 x x min x max x 其中第一个不等式可 由表示与态的 GNS 对应证明 第二个不等式由极大性得到 第三个不等式由 C 代数表示的收缩性得到 由这个事实可 以得到极小范数与极大范数都是交叉范数 再由空间范数的 极小性 可得所有的 C 范数都是交叉范数 对 C 代数而言 要找到代数张量积 A B 内的某个元 素 x 使得 x min x max 是不容易的 由此我们可 以定义核 C 代数 nuclear C algebra 的概念 假若对任何 C 代数 B A min B A max B 则 A 就称为核 C 代数 换句话说 核 C 代数的张量积是唯 一的 实际上 核 C 代数是相当大的一个类 典型的核 C 代数有如下两类 1 有限维 C 代数 它是形如 M n C 的矩阵代数的直 和 我们有 M n C A M n A 仿照前文空间范数与表示 的无关性证明可以得到 更一般的 有 AF 代数是核 C 代 数 这是因为 C 代数对于归纳极限的稳定的 2 交换 C 代数 它是形如 C o X 的代数 其中 X 是 局部紧 Hausdorff 空间 我们有 C 0 X A C 0 X A 特别 C 0 X C 0 Y C 0 X Y 更一般的 所有的 I 型 C 代数都是核 C 代数 这一点也可以通过 von Neumann 代数理论来说明 下面我们看核 C 代数的性质 先看一个引理 设 A 与 B 是 C 代数 J 是 A 是理想 对 A B 上的任何 C 范数 存在某个 C 范数 满足 A B J B A B 这里的 范数的存在性是由左边的商范数诱 导 而 则是因为我们还有商映射 A B J B A J B 在这个引理中取 max 则有 max 由此可得 C 代数的正合列 0 J maxB A maxB A J maxB 0 但对于 min 范数 就必须补充一个条件 A J minB 的张量积唯一 比如说 A J 是核 C 代数或 B 是核 C 代数 此时就有 0 J minB A minB A J minB 0 我们可以直观看一下这个结论 一般 max 范数考虑的是 整个张量积空间 其 maxB 无条件保持正合性 但 min 范 数考虑的则是单射嵌入 因此只有左边的单射部分的得到保 持 我们可以定义使得 maxB 无条件保持正合性的 C 代 数 B 为正合 C 代数 exact C algebra 核 C 代数都是 正合 C 代数 下面我们来证明核 C 代数的可扩张性 对 C 代数的 短正合列 0 A B C 0 其中 A 就是第二个箭头的核 因此必然是B的理想 因此我们可以用关于理想的短正合列 0 J A A J 0 来代表一般情况 假若 J 与 A J 都是核 C 代数 则对任何 C 代数 B 我们可以得到上文中关于 max 与 min 张量积的正合列 则用 5 引理就能得到 A 也是核 C 代数 实际上 核 C 代数的商与理想 更一般的遗传子代数 都是核 C 代数 但对于子代数却不然 为此我们需要更深 刻的理论 读者可以先跳过此段 核 C 代数等价于顺从 C 代数 amenable C algebra 而群 G 是离散群时 G 是 顺从的 amenable iff 群 C 代数 C G 是顺从的 iff 约 化群 C 代数 C G 是顺从的 这样就可以得到非核 C 代数的例子 群 C 代数 C F 2 与约化群 C 代数 C r F 2 其中 F 2 Z 2 Z 3 代表秩为 2 是自由群 而约化 群 C 代数 C r F 2 可以视为 Cuntz 代数 O 2 的子代 数 这就是得到了核 C 代数的子代数不是核 C 代数的例 子 同时约化群 C 代数 C r F 2 还是非核的正合 C 代数 核 C 代数在 K 理论中重要性体现在下列命题上 设 A 是可分核 C 代数 B 是任何 C 代数 则 Ext A B 的元素可 逆 换句话说就可以构成一个群 而当 B 带有 单位时 这里的扩张群 Ext A B 就是 KK 1 A B 因此核 C 代数条 件在 KK 理论中是一个常见的假设 扩展阅读 1 Takesaki M Theory of operator algebras I 1979 J 算子代数的老牌教材 有一章专门论述张量积 2 Wegge Olsen N E K theory and C algebras a Friendly Approach M Oxford Oxford University Press 1993 由 C 代数进入算子 K 理论的优秀导引 张量积的问题集 中于附录 T 3 Blackadar B K theory for operator algebras M Cambridge University Press 1998 算子代数的万能好书 对 C 代数的张量积 核与正合 C 代数都有论述 4 Ryan R A Introduction to tensor products of Banach spaces M Springer 2002 专门讨论 Banach 空间的张量积 的著作 5 BrownNP OzawaN C algebrasand finite dimensional approximations M American Mathematical Soc 2008 比较新的