6. 数列中的不等关系的研究.doc

专题：数列中的不等关系的研究一、问题提出问题1：等差数列中，已知，则的取值范围是_.问题2：已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为 .54问题3：（1）等比数列的公比，第17项的平方等于第24项，使得不等式恒成立的正整数的取值范围是_（2）若，且，则实数的取值范围是_问题4：在等差数列中，已知，则数列的前6项和的取值范围是 二、思考探究探究1：已知数列满足，.（1）若，求的取值范围；（2）若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.(1) 由条件得且，解得.所以的取值范围是3, 6. 3分(2) 设的公比为. 由，且，得.因为，所以.从而，解得. 7分时，.所以，的最小值为8，时，的公比为. 9分(3) 设数列的公差为.则，. 当时，所以，即. 12分 当时，符合条件. 14分 当时，所以，又，所以.综上，的公差的取值范围为. 18分探究2：设是数列的前n项和，对任意总有（1）求数列的通项公式；（2）试比较与的大小；（3）当时，试比较与的大小探究3：设各项均为非负数的数列的为前项和（，）（1）求实数的值；（2）求数列的通项公式（用表示） （3）证明：当（）时，解：（1）当时，所以或，（2分） 若，则，取得，即，这与矛盾； 所以，取得，又，故，所以，（4分） （2）记， 则 ， 得 ，又数列各项均为非负数，且， 所以，（6分） 则，即， 当或时，也适合， 所以；（10分） （3）因为，所以 ， 又（） 则 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以.（16分） 探究4：设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题：命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数.（1）若是的充分条件，求的值；（2）对于（1）中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；（3）若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值.解：（1）设的公差为，当时原等式可化为所以，即对于恒成立，所以当时，也成立（2）当时 假设命题成立，即“若对于任意的恒成立，则为等差数列”. 当时，显然成立当时，由-得，即.当时，即、成等差数列，当时，即.所以为等差数列，即为的必要条件.(3)由，可设，所以.设的公差为，则，所以，所以，所以的最大值为三、真题链接1.（2013年江苏高考题）在正项等比数列中，则满足的最大正整数的值为_2. （2011年江苏高考题）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是 解：由题意：，而的最小值分别为1，2，3；。四、反思提升五、反馈检测1. 数列满足，且 =2，则的最小值为_. 解：由递推关系得，累乘得，则，得，所以，当且仅当时，等号成立2. 已知数列满足（1）若，求的取值范围；（2）若是公比为的等比数列，若，求的取值范围；（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差解：（1）由条件得且，解得所以的取值范围是3， 6 （2）由，且，得，所以 又，所以 当时，由得 成立 当时，即若，则由得，所以 若，则由得，所以综上，的取值范围为 （3）设数列的公差为由，且，得即当时，当时，由得所以 所以，即，得 所以的最大值为，时，的公差为 3. 首项为的正项数列的前项和为,为非零常数,已知对任意正整数,总成立.（2）求证：数列是等比数列；（2）若不等的正整数成等差数列，试比较与的大小；（3）若不等的正整数成等比数列，试比较与的大小.（1）证:因为对任意正整数，总成立,令，得,则令，得 (1) , 从而 (2),(2)(1)得：,综上得,所以数列是等比数列（2）正整数成等差数列，则,所以,则 当时， 当时， 当时，（3）正整数成等比数列，则,则,所以， 当,即时， 当,即时， 当,即时，4. （1）各项均为非负的任意等差数列满足，则的取值范围是 【解析1】由题意得，令，则且，从而点在如图所示的四分之一个圆上，故当直线过点时，当直线与四分之一个圆相切于点时，从而。【解析2】令，则因为，所以，故。解析3：由于已知条件及所求结论是对称的，所以根据对称性原理，当时，当或时，故所求的结果为。（2）已知是等差数列，对于给定的正整数， ，则的最大值为_.5. 已知数列满足数列满足，数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2） 令，为数列的前项和，求；（并项求和法）（3）若使不等式成立的自然数恰好有4个，求正整数的值.解答：(1) 由即，为首项是，公比为2的等比数列；(2) ，（1） 由得，时上式成立时，原式变为令则 时，由解得，所以6. 已知直角的三边长，满足在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，则的最小值为_.解：是等差数列，即所以，c的最小值为7. 已知数列（，）满足， 其中，当时，的取值范围为_. 8. 已知各项为正数的等比数列满足若存在两项使得，则的最小值为 9. 已知数列an满足an1，a11，a4032011，则a5的最大值为 10. 设等差数列的公差为，前项和为，且，则的取值范围是 11. 记等差数列an的前n项和为Sn（1）求证：数列是等差数列；（2）若a11，且对任意正整数n，k(nk)，都有2成立，求数列an的通项公式；（3）记bna (a0)，求证：解（1）设等差数列an的公差为d，则Snna1d，从而a1d 所以当n2时，(a1d)(a1d)即数列是等差数列 2分（2）因为对任意正整数n，k(nk)，都有2成立，所以2，即数列是等差数列 4分设数列的公差为d1，则(n1)d11(n1)d1，所以Sn1(n1)d12，所以当n2时，anSnSn11(n1)d121(n2)d122dn3d2d1，因为an是等差数列，所以a2a1a3a2，即(4d3d2d1)1(6d3d2d1)(4d3d2d1)，所以d11，即an2n1又当an2n1时，Snn2，2对任意正整数n，k(nk)都成立，因此an2n1 7分（3）设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，bna，所以aad，即数列bn是公比大于0，首项大于0的等比数列 9分记公比为q(q0)以下证明：b1bnbpbk，其中p，k为正整数，且pk1n因为(b1bn)(bpbk)b1b1qn1b1qp1b1qk1b1(qp11)( qk11)当q1时，因为yqx为增函数，p10，k10，所以qp110，qk110，所以b1bnbpbk当q1时，b1bnbpbk当0q1时，因为yqx为减函数，p10，k10，所以qp110，qk110，所以b1bnbpbk综上，b1bnbpbk，其中p，k为正整数，且pk1n 14分所以n(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b1bn)(b2bn1)(b3bn2)(bnb1)(b1b2bn)(bnbn1b1)，即 16分12. 已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，am和正数b1，b2，bm，使a，a1，a2，am，b是等差数列，a，b1，b2，bm，b是等比数列（1）若m5，求的值；（2）若ba(N*，2)，如果存在n (nN*，6nm)使得an5bn，求的最小值及此时m的值；（3）求证：anbn(nN*，nm)解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d，qa3a3d，b3aq3 2分因为，所以2a52b0，解得4或 4分 （2）因为aa(m1)d，所以da，从而得anaan 因为aaqm1，所以q，从而得bna 因为an5bn，所以aaa 因为a0，所以1（*） 6分 因为，m，nN*，所以1为有理数 要使（*）成立，则必须为有理数 因为nm，所以nm1 若2，则为无理数，不满足条件 同理，3不满足条件 8分 当4时，42要使2为有理数，则必须为整数 又因为nm，所以仅有2nm1满足条件 所以12，从而解得n15，m29综上，最小值为4，此时m为29 10分(3)证法一：设cn0，Sn为数列cn的前n项的和先证：若cn为递增数列，则为递增数列证明：当nN*时，bn1 因为Sn1Snbn1SnSn，所以，即数列为递增数列 同理可证，若cn为递减数列，则为递减数列 12分当ba时，q1当nN*，nm时，即，即 因为baqm1，bnaqn，d，所以d，即andbn，即anbn 当ba时，0q1，当nN*，nm时，即因为0q1，所以以下同综上， anbn(nN*，nm) 16分证法二：设等差数列a，a1，a2，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，bm，b的公比为q，ba(0，1)由题意，得da，qa，所以anandaan，bna要证anbn(nN*，nm)，只要证1n0(0，1，nN*，nm)12分构造函数f(x)1x(0，1，0xm1)，则f(x)ln令f(x)0，解得x0(m1)log以下证明0log1不妨设1，即证明1，即证明ln10，ln10设g()ln1，h()ln1(1)，则g()10，h()ln0，所以函数g()ln1(1)为减函数，函数h()ln1(1)为增函数所以g()g(1)0，h()h(1)0所以1，从而0log1，所以0x0m114分因为在(0，x0)上f(x)0，函数f(x)在(0，x0)上是增函数；因为在(x0，m1)上f(x)0，函数f(x)在(x0，m1)上是减函数所以f(x)minf(0)，f(m1)0所以anbn(nN*，nm)同理，当01时，anbn(nN*，nm) 16分13. 设等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S622（1）求Sn；（2）若从an中抽取一个公比为q的等比数列ak，其中k11，且k1k2kn，knN*当q取最小值时，求 kn的通项公式；若关于n(nN*)的不等式6Snkn1有解，试求q的值解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，2分所以. 4分（2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由，解得，所以，同理； 6分若，则由，得，此时，另一方面，所以，即， 8分所以对任何正整数，是数列的第项所以最小的公比所以 10分（3）因为，得，而，所以当且时，所有的均为正整数，适合题意；当且时，不全是正整数，不合题意.而有解，所以有解，经检验，当，时，都是的解，适合题意； 12分下证