菱形.doc

菱形本周目标: 掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。重点: 本周教学的重点是菱形的性质及判定难点： 区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。知识要点：1、 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。2、菱形的性质： 性质1菱形的四条边相等。性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）求证：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC。证明：四边形ABCD是菱形ABAD（菱形的四条边相等）在等腰ABD中，BOOD，ACBD，AC平分BAD。同理：AC平分BCD；BD平分ABC和ADC。图13、菱形面积计算方法： (1) S底高(2) S对角线1对角线2ab例已知菱形ABCD的边长为2cm ，BAD120，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。解：四边形ABCD是菱形ACBD，BAO12060（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）在RtAOB中，ABO90BAO30AO21（cm）BO（cm）AO，BOAC2AO2（cm），BD2BO2（cm）S菱形ABCDACBD2（cm2）4、菱形的判定： 判定定理1四边都相等的四边形是菱形。判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。本周典型例题分析： 例1已知：如图，ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AFED分析：若连结MN，欲证DEAF，只要证四边形AMND是菱形。证明：连结MN四边形ABCD是平行四边形ADBC，ABDC在ABF中，BC=CF，ABCNAN=NF又ADBF，DN=NC同理可证：AM=MB又AB=2BCAMDN，四边形AMND是平行四边形而AD=DN，四边形AMND是菱形ANMD，即AFED换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。”这个直角三角形的判定定理 ,如何证？解法2：如图，延长BE至G，使得EG=EB，连结AG AB=2BC，EB=BC=CF 在AGF中，AB=GB=FB GAF=90，即GAAF 四边形ABCD是平行四边形 ADBC 又GE=BC，GEAD 四边形AGED是平行四边形 AGED， AFED想一想，例1还有哪些证法？例2. 已知：如图，RtABC中，CDAB于D，ACB=90，AF平分BAC，交CD于E，FGAB于G，求证：四边形GFCE是菱形分析：可先证四边形GFCE是平行四边形，再证它是菱形证明：如图所示，AF平分BAC，FGAB、FCAC，FG=FC在ABC中，ACB=90，CDAB，B=ACDCEF=CAF+ACD=BAF+B=EFC在CEF中，CEF=CFE，CE=CF又CDAB，FGABCEFG四边形CEGF是平行四边形又CE=CF四边形CEGF是菱形例3. 已知：如图，四边形ABCD中，ADC=90，AC=CB，E、F分别是AC、AB的中点，DEA=ACB=45，BGAE于G点。求证： (1)四边形AFGD是菱形；(2)若AC=BC=10cm，求菱形AFGD的面积。证明提示：在RtABG中，由F是斜边AB的中点，可得AF=GF在ABC中，若连结EF，由E、F分别是AC、AB的中点，得EFBC，而由已知，AC=CB，则DE=EF，由EFBC，则AEF=ACB=45连结DF，由DE=FE，AE平分DEF，则AE垂直平分DF，从而AD=AF，GD=GF由AF=FG=GD=DA，得四边形AFGD为菱形(2)解法提示：例4请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明解：（1）线段与的位置关系是；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， 由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即， 例5. 已知：如图，由菱形ABCD的顶点C作CF射线AD于F点，CE射线AB于E点，试确定CF与CE的大小关系，并证明你的结论。分析与提示：对于提出的猜想CF=CE，许多同学采取证明CFDCEB，但是此方法显然不如“连结AC”这个证法好。解：CF=CE证明如下，连结AC四边形ABCD是菱形，CAE=CAF又CEAE，CFAF，CF=CE例6. 已知：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F点，交AB于G点。求证：AB与EF互相平行分于G点分析：欲证AB与EF互相平分于G点，连结AF、EB，只要证四边形AFBE是平行四边形，又需证AEFB，为此，就要考虑E是AD边中点及EFAC的条件如何运用。证明：如图，分别连结AF、BE、BD四边形ABCD是菱形ADBC，ACBD又EFAC，EFBDEFBD，EDFB四边形EFBD是平行四边形EDFB又AE=ED,AEFB四边形AFBE是平行四边形AB、EF互相平分于G点【同步练习】一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）A.168 cm2 B.336 cm2C.672 cm2 D.84 cm24.菱形的周长为16，两邻角度数的比为12，此菱形的面积为（ ）A.4B.8C.10D.125.下列语句中，错误的是（ ）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6.菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是_.7.菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为_.8.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_.9.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为_，边长为_.10.菱形的面积为8平方厘米，两条对角线的比为1,那么菱形的边长为_.三、解答题11.如图，AD是ABC的角平分线.DEAC交AB于E，DFAB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.12.ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？13.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为34，求菱形的面积.14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABC