自考高等数学(一)精讲第五章.pdf

自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 1 第五章第五章一元函数积分学一元函数积分学 5 15 1原函数和不定积分的概念原函数和不定积分的概念 一 原函数与不定积分的概念一 原函数与不定积分的概念 定义 如果在区间 I 内 存在可导函数 F x 使都有 F x f x 或 dF x f x dx 那么函数 F x 就称为 f x 在区间 I 内原函数 例 sinx 是 cosx 的原函数 Lnx 是在区间 0 内的原函数 原函数存在定理 如果函数 f x 在区间 I 内连续 那么在区间 I 内存在可导函数 F x 使 都有 F x f x 简言之 连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 2 2 若不唯一它们之间有什么联系 例 sinx cosx sinx C cosx C 为任意常数 关于原函数的说明 1 若 F x f x 则对于任意常数 C F x C 都是 f x 的原函数 2 若 F x 和 G x 都是 f x 的原函数 则 F x G x C C 为任意常数 证 F x G x F x G x f x f x 0 F x G x C C 为任意常数 不定积分的定义 函数 f x 的全体原函数的集合称 f x 的不定积分 记为 f x dx 其中 为 积分号 f x 为被积函数 f x dx 为被积表达式 C 为任意常数 例 求 答疑编号 11050101 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 3 解 例 求 答疑编号 11050102 解 积分曲线 例 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 答疑编号 11050103 解 设曲线方程为 y f x 根据题意知 即 f x 是 2x 的一个原函数 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 y x 2 1 函数 f x 的原函数的图形称为 f x 的积分曲线 显然 求不定积分得到一积分曲线族 不定积分的性质 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 4 结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 5 25 2基本积分公式基本积分公式 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 基本积分表 1 2 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 5 3 说明 简写为 4 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 6 5 6 7 8 9 10 11 12 13 例 求积分 答疑编号 11050104 解 根据积分公式 2 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 7 不定积分的性质 1 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 2 k 是常数 k 0 例 求积分 答疑编号 11050201 解 例 求积分 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 8 答疑编号 11050202 解 例 答疑编号 11050203 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 9 例 答疑编号 11050204 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 10 例 已知 f x 之一原函数为 sin3x 求 f x dx 答疑编号 11050205 答疑编号 11050206 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 11 例 求 答疑编号 11050207 例 答疑编号 11050208 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 12 例 设 求 f x 答疑编号 11050209 例 答疑编号 11050210 例 答疑编号 11050211 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 13 例 答疑编号 11050212 例 答疑编号 11050213 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 14 解 例 设 且 f 0 1 求 f x 答疑编号 11050214 解 因为 若设 u e x 则 f u 1 u3 所以 f x 是 1 x 3的一个原函数 而 故 又 f 0 1 从而 C 1 因此 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 15 例 答疑编号 11050215 例 答疑编号 11050216 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 16 例 答疑编号 11050217 例 答疑编号 11050218 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 17 例 求积分 答疑编号 11050219 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 四 小结四 小结 原函数的概念 F x f x 不定积分的概念 基本积分表 1 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质 5 35 3换元积分法换元积分法 一 第一类换元法一 第一类换元法 问题 解决方法利用复合函数 设置中间变量 过程令 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 18 在一般情况下 设 F u f u 则 如果 可微 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 19 由此可得换元法定理 定理设 f u 具有原函数 可导 则有换元公式 第一类换元公式 凑微分法 说明使用此公式的关键在于将 观察重点不同 所得结论不同 例 求 答疑编号 11050301 解 一 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 20 解 二 解 三 例 求 答疑编号 11050302 解 一般地 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 21 例 求 答疑编号 11050303 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 22 例 求 答疑编号 11050304 例 求 答疑编号 11050305 例 求 答疑编号 11050306 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 23 例 求 答疑编号 11050307 例 求 答疑编号 11050308 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 24 例 求 答疑编号 11050309 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 25 例 求 答疑编号 11050310 解 例 求 答疑编号 11050401 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 26 例 求 答疑编号 11050402 例 求 答疑编号 11050403 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 27 例 答疑编号 11050404 例 答疑编号 11050405 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 28 例 答疑编号 11050406 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 29 答疑编号 11050407 例 答疑编号 11050408 例 答疑编号 11050409 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 30 例 求 答疑编号 11050410 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 31 使用了三角函数恒等变形 例 求 答疑编号 11050411 解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 32 例 答疑编号 11050412 解 设 u x 2 则 所以 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 33 例 答疑编号 11050413 解 设 u lnx 则 所以 例 求 f x 答疑编号 11050414 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 34 二 第二类换元法二 第二类换元法 问题 解决方法改变中间变量的设置方法 过程令 应用 凑微分 即可求出结果 定理 2设是单调的 可导的函数 并且 又设具有原函数 则有换元公式其中的反函数 第二类积分换元公式 例 答疑编号 11050415 解 令 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 35 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 36 说明 5 当被积函数含有两种或两种以上的根式时 可采用令 其中 n 为 各根指数的最小公倍数 例 答疑编号 11050416 解 令 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 37 三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 1 可令 x asint 2 可令 x atant 3 可令 x asect 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 38 例 求 答疑编号 11050417 解 令 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 39 例 答疑编号 11050418 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 40 总结 5 45 4分部积分法分部积分法 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 41 一 基本内容一 基本内容 问题 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 设函数 u u x 和 v v x 具有连续导数 答疑编号 11050501 分部积分公式 例 1 求积分 答疑编号 11050502 解 一 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 42 显然 u v 选择不当 积分更难进行 解 二 指数函数 例 2 答疑编号 11050503 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 43 例 3 求积分 答疑编号 11050504 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积 就考虑设对数函数或反 三角函数为 u 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 44 例 4 求积分 答疑编号 11050505 总结 若被积函数是幂函数和正 余 弦函数或幂函数和指数函数的乘积 就考虑设幂函数为 u 使其降幂一次 假定幂指数是正整数 例 5 答疑编号 11050506 例 6 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 45 答疑编号 11050507 例 7 答疑编号 11050508 例 8 求积分 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 46 答疑编号 11050509 例 9 答疑编号 11050510 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 47 例 10 已知 f x 的一个原函数是 答疑编号 11050511 两边同时对 x 求导 得 例 11 答疑编号 11050512 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 48 例 12 答疑编号 11050513 例 13 答疑编号 11050514 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 49 例 14 答疑编号 11050515 例 15 答疑编号 11050516 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 50 例 16 答疑编号 11050517 例 17 答疑编号 11050518 5 55 5微分方程初步微分方程初步 5 5 15 5 1微分方程的定义微分方程的定义 1 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 51 实质 联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数 或微分 之间的关系式 2 常微分方程 未知函数都是一元函数的微分方程 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶 例 yy 3 3y4 xy 0 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 3 主要问题 求方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设在区间 I 上有 n 阶导数 例 1 一曲线通过点 1 2 且在该曲线上任一点 M x y 处的切线的斜率为 2x 求这曲线 的方程 答疑编号 11050601 解 设所求曲线为 y y x 其中 x 1 时 y 2 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 52 即 y x 2 C 求得 C 1 所求曲线方程为 y x 2 1 4 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 例 y y 通解 y ce x y y 0 通解 y c1sinx c2cosx 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 一阶 过定点的积分曲线 5 5 25 5 2可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 例如 解设函数 g y 和 f x 是连续的 分离变量法 设函数 G y 和 F x 是依次为 g y 和 f x 的原函数 G y F x C 为微分方程的 解 典型例题 例 2 求解微分方程的通解 答疑编号 11050602 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 53 解 分离变量 两端积分 lny x 2 C1 y ce x2为所求通解 例 3 求下列微分方程的通解 答疑编号 11050603 解 作分离变量 得 两边积分 得 把积分常数写成是为便于以后化简 因此 即 C 0 是任意常数 这就是方程的隐式通解 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 54 例 4 ylnxdx xlnydy 0 答疑编号 11050604 5 5 35 5 3线性方程线性方程 一阶线性微分方程的标准形式 当 上方程称为齐次的 否则称为非齐次的 一阶线性微分方程的解法 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 55 1 线性齐次方程 使用分离变量法 齐次方程的通解为 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 56 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 57 2 线性非齐次方程 即 非齐方程通解形式与齐方程通解相比 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质 未知函数的变量代换 新未知函数原未知函数 y x 作变换 将 y 和 y 代入原方程得积 分得一阶线性非齐次微分方程的通解为 非齐次线性微分方程 例 5 答疑编号 11050605 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 58 例 6 答疑编号 11050606 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 59 5 65 6定积分概念及其基本性质定积分概念及其基本性质 一 问题的提出一 问题的提出 实例 1 求曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线 y f x f x 0 x 轴与两条直线 x a x b 所围成 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 60 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 曲边梯形如图所示 在区间 a b 内插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn 1 xn b 把区间 a b 分成 n 个小区间 xi 1 xi 长度为 xi xi xi 1 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i 为高的小 矩形面积为 Ai f i xi 曲边梯形面积的近似值为 当分割无限加细 即小区间的最大长度趋近于零时 曲 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 61 边梯形面积为 二 定积分的定义二 定积分的定义 定义设函数 f x 在 a b 上定义 在 a b 中任意插入若干个分点 a 0 1 2 n 1 n b 把区间 a b 分成 n 个小区间 各小区间的长度依次为 在 各小区间上任取一点 作乘积 并作和 记 如果不论对 a b 怎样的分法 也不论在小区间上点怎样 的取法 只要当 0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 我们称这个极限 I 为函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记为 注意 1 积分值仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的字母无关 2 定义中区间的分法和的取法是任意的 3 当函数 f x 在区间 a b 上的定积分存在时 称 f x 在区间 a b 上可积 定理 1函数 f x 在区间 a b 上可积的必要条件是 f x 在 a b 上有界 定理 2如果 f x 是区间 a b 上的连续函数 则 f x 在区间 a b 上可积 定理 3设函数 f x 在区间 a b 上有界 且只有有限个间断点 则 f x 在区间 a b 上可 积 四 定积分的几何意义四 定积分的几何意义 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 62 基本内容 对定积分的补充规定 1 当 a b 时 2 当 a b 时 说明在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 定积分的性质 性质 1 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质 2 k 为常数 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 63 性质 3假设 a c b 补充 不论 a b c 的相对位置如何 上式总成立 例 若 a b c 定积分对于积分区间具有可加性 性质 4 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 64 性质 5如果在区间 a b 上 f x 0 则 a b 例 1 答疑编号 11050701 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 65 性质 6设 M 及 m 分别是函数 f x 在区间 a b 上的最大值及最小值 则 此性质可用于估计积分值的大致范围 例 2 答疑编号 11050702 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 66 性质 5 的推论 2 a b 说明 f x 在区间 a b 上的可积性是显然的 性质 7 定积分中值定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上连续 则在积分区间 a b 上至少存在一个点 使 由闭区间上连续函数的价值定理知 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 67 5 75 7微积分基本公式微积分基本公式 5 7 15 7 1变上限积分及其导数公式变上限积分及其导数公式 设函数 f x 在区间 a b 上连续 并且设 x 为 a b 上的一点 考察定积分 如果上限 x 在区间 a b 上任意变动 则对于每一个取定的 x 值 定积分有一个对应值 所以它 在 a b 上定义了一个函数 记 积分上限的函数 积分上限函数的性质 定理 1如果 f x 在 a b 上连续 则积分上限的函数在 a b 上具有导数 且它的导数是 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 68 证 例 1 答疑编号 11050801 例 2 答疑编号 11050802 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 69 例 3 答疑编号 11050803 例 4 答疑编号 11050804 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 70 例 5 答疑编号 11050805 例 6 答疑编号 11050806 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 71 例 7 求函数的极值点 答疑编号 11050807 牛顿 莱布尼茨公式 定理 3 微积分基本公式 如果 F x 是连续函数 f x 在区间 a b 上的一个原函数 证 已知 F x 是 f x 的一个原函数 又 也是 f x 的一个原函数 令 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 72 令 牛顿 莱布尼茨公式 微积分基本公式表明 一个连续函数在区间 a b 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 a b 上的增量 求定积 分问题转化为求原函数的问题 注意 当 a b 时 仍成立 例 8 求 答疑编号 11050808 解 原式 例 9 设 求 答疑编号 11050809 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 73 例 10 答疑编号 11050810 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 74 例例 1111 答疑编号 11050811 例 12 计算曲线 y sinx 在 0 上与 x 轴所围成的平面图形的面积 答疑编号 11050812 解 面积 5 85 8定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法 5 8 15 8 1定积分的换元积分法定积分的换元积分法 定理假设 1 f x 在 a b 上连续 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 75 2 函数在 上是单调的且有连续导数 3 则有 例 1 答疑编号 11050901 例 2 计算 答疑编号 11050902 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 76 解 令 t cosx dt sinxdx 例 3 答疑编号 11050903 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 77 例 4 答疑编号 11050904 例 5 答疑编号 11050905 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 78 例 6 当 f x 在 a a 上连续 且有 f x 为偶函数 则 f x 为奇函数 则 答疑编号 11050906 证 在中令 x t f x 为偶函数 则 f t f t 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 79 f x 为奇函数 则 f t f t 例 7 答疑编号 11050907 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 80 例 8 答疑编号 11050908 例 9 答疑编号 11050909 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 81 例 10 证明 答疑编号 11050910 证 令 利用三角函数的诱导公式 有 5 8 25 8 2分部积分公式分部积分公式 设函数 u x v x 在区间 a b 上具有连续导数 则有 推导 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 82 例 11 答疑编号 11050911 例 12 答疑编号 11050912 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 83 例 13 设 求 答疑编号 11050913 解 由变上限积分求导公式 故 2 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 84 总结 1 采用换元法 要注意换元就要换限 2 对于对称区间上的定积分 要观察其奇偶性 3 一个重要内容 积分上限函数 4 定积分的换元积分法会用到证明题中 5 95 9无穷限反常积分无穷限反常积分 例 定义设函数 f x 在区间 a 上连续 取 b a 如果极限存在 则称此 极限为函数 f x 在无穷区间 a 上反常积分 记作 当极限存在时 称反常积分收敛 当极限不存在时 称反常积分发散 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 85 类似地 设函数 f x 在区间 b 上连续 取 a b 如果存在 则称此 极限为函数 f x 在无穷区间 b 上反常积分 记作 当极限存在时 称反常积分收敛 当极限不存在时 称反常积分发展 设函数 f x 在区间 上连续 如果反常积分和都收敛 则称上述两反常积分之和为函数 f x 在无穷区间 上的反常积分 记作 极限存在称反常积分收敛 否则称反常积分发散 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 86 例 1 答疑编号 11051001 例 2 答疑编号 11051002 例 3 答疑编号 11051003 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 87 例 4 答疑编号 11051004 5 105 10定积分的应用定积分的应用 自考复习资料由北京自考吧整理 高等数学 一 北京自考吧 88 5 10 15 10 1 平面图形的面积平面图形