21.浅谈用构造法解数学题(陈向阳).pdf

2 2 中学教研 数学 2 0 0 9车 言或直观的图形语言转化为易懂的文字语言 然后 再向对方转化 这样就显得过渡 自然 易于理解 通 过一些典型例习题的强化训练 使学生在 翻译 的过程中掌握语言转化的技巧 体会语言转化 的真 谛 领略数学语言的魅力 例如 设 A J 2 n Z B 引 3 n 凡 Z 求 A n 若能摆脱符 号语言的困扰 转化成文字语 言 解题便豁然开朗 了 事实上 集合 表示 全体 2的倍数 集合 表示 全体 3的倍数 因此 A nB表示 全体既是 2的倍数又是 3的倍数 的整数 即 全体 6的倍 数 于是 A n I x 6 n Z 数学语言的成 功转化使结果来得那么朴素自然 水到渠成 4 3 渗透数学思想 提升知识迁移运 用的能力 数学思想是对数学对象 数学概念和势学结构 以及数学方法的本质的 理性的 高度抽象和概括 的认识 是数学的灵魂 在集合 的运算教学中 应把 渗透数学思想作为一项重要的教学任务来完成 首 先是渗透集合的思想 人们在研究问题 中 常把具 有共同属性的事物放在一起 视为一个整体 对它 们作统一的研究和处理 这就是集合 的思想 在教 学过程中 应引导学生用集合的观点 集合 的语言 来认识 描绘数学对象 从而转化为集合 的问题来 研究 例如第 2 小题及与其类似的有限集元素个 数的计算问题均可用集 合运算的知识来解 决 此 外 点集 数集的运算 方程 不等式解集的讨论 函 数定义域 值域 曲线的表示无一不涉及到集合的 知识 充分体现了集合的基础性功能和工具性作 用 其次是渗透数形结合的思想 在教学过程 中 要 充分发挥数轴和 V e n n图的直观性作用 帮助学生 直观 形象地理解集合的运算 努力使学生养成想 用图 会用图的习惯 再次是分类讨论的思想 在有 关集合的运算或关系的问题中 常涉及集合的元素 或集合不同情况 的讨论 在教学中 要引导学生树 立分类意识 把握分类原则 不 重复 不遗漏 注 重分类讨论 的解 题步骤 和规范 力求使分类讨论 深人人心 当然 这些思想方法 的教学不能急于 求成 应在教学中结合具体知识 慢慢渗透 让学生 逐步地认识它 理解它 运用它 浅谈用构造法解数学题 陈向阳 义乌市第三中学浙江义鸟3 2 2 0 0 0 运用构造法解题可以使代数 三角 几何等数 学知识互相渗透 便于完成矛盾转化 问题的解决 同时对培养学生的类 比 联想 创新 意识和创新 能 力有独到的功效 构造法的实质是依据某些数学问 题的条件或结论所具有的典型特征 用已知条件中 的元素为 元件 用 已知的数学关系为 支架 构 造出满足条件的数学对象 使原 问题 中隐晦不清的 关系或性质在新构造的数学对象中清晰地展现出 来 从而使问题转化并得到有效解决 用构造法解 题 常在 山重水复疑无路 时 柳暗花明又一村 1 构造函数模型 若给出的问题本质上是关于函数的理论 则该 问题可以围绕函数关 系展 开讨论 通过设 辅助 函 数 把问题转化为对这一 函数的研究 从而利用函 数的性质来解决问题 在运用过程中 应有目的 有 意识地进行构造 始终 盯住 要证的 目标 应对有 关的函数知识十分熟悉 善于联想到转化 将 未 知轨道 中的问题转化到 常见可解的轨道 上来 例 1 已知 0 b 0 c 0 求证 一 D C 6 2 分析观察该题 的特点 对称 轮换式 此问题 的解决可 以转化为研究如下构造的函数 便可避免 解题过程的无序 寻觅 简缩思维程序 使 问题朝着 预定 的目标来解决 证明构造 函数 胁 赢 一 2 去 一 q 赢一 2 6 c 6 c 由 I 0 可得 0 即 4 c 一 4 2 0 6 c 又已知 口 0 b 0 C 0 所 以 第 9期 陈向阳 浅谈 用构造法解数 学题 2 3 兰 2 构造方程模型 构造方程解题是一种重要的数学思想方法 运 用方程的策略来解决数学题 能起到化繁为简 化 难为易的作用 不仅可以开阔视野 加强各知识之 间的有机联系 而且在解题思路 的寻求与优化方面 有着较大地帮助 从 中也提高了学生的创造性思维 能力 例 2 若 一 4 一 y 0 求证 Y 成等差数列 分析 注意到条件中等式右边代数式结构的 特点 容易联想到一元 二次方程根 的判别式 可构 造以 一 一 4 一 Y一 为判别式 的一元二 次方程 一Y t 一 t Y z 0 1 由题意可知 z 一 4 一 Y z 0 因此方程 1 有 2个相等的实根 又因为 一 Y Y 0 所 以 t l 为方程 1 的 1 个根 从 而 t 1 由 韦达定理得 1 2 1 即 2 y 因此 x y z 再一 成等差数列 3 构造几何模型 根据问题条件中数量关 系的几何意义 以某种 方式构作几何 图形 将题设 中的数量关 系以形象 直观的方式直接在图形 中得到体现 转而利用几何 性质使原问题得到解决 3 1 构 造 正 方体 巧妙 转化 正方体是最特殊的四棱柱 其本身 的特性在于 线线 线面 面面之间都有垂直或平行关 系 利用它 可为解立体几何题提供化繁为简的条件 例 3 在球面上有 4个点 P A B C 如果 P A P B P C两两垂直 且 P A P B P C a 那么这个 球 面面积是多少 分析对 于球 面上 的 4点 P B C 若不 借 助模型 凭空想象 P A P B P C两 两垂 直 且 P A P B P C 并非易事 但若借助于正方体的 一角 结构 则能将问题转化为很简单的问题 解以 P A P B P C为棱构造 正方体 则此球 是正方体的外接球 球的直径是正方体 的对角线长 2 因 而 球面积S 4 1 T f 口 1 3 7 r a 3 2 构造三角形 化抽 象为形象 例 4 已知 0 1 0 Y 1 0 z 1 求证 1一 Y 1一 1一 1 分析本题若局限在代数不等式范畴 则不易 求证 将题 目中的式子赋予 形 的解释 把 l看成 正三角形的边长 因此可在正三角形各边上分别截 取长 为 y z的线段 然后连接成 3个小三角形 易知这 3个小三 角形的面积和小 于正三角形 的面 积 证明 如 图 1所示 作边长 为 1的正 三角形 A B C 在 3 条边上分别取点 D E F 使D A E B Y F C 则 CD 1一 AE 1一Y BF 1一 因此 s A 肋 Is 口 肛 S A S A B c 由 三 角形面 积公 式S a b s i n C 得 1 1 1 字 从而 1一 1一 z z 1一 分析此题是关于正切函数 的不等式 直接人 手很难 若构造 一个 单位 圆 以它作为桥梁 将正切 函数转 化为几何 的问题来 求解则 容 易获证 证明在单位 圆中 过点 A作切线A T 在 A T 上取点 C D 使 B O A 1 C O A LD O A 显 然 O D 4 C E D 日 一 图 3 为LB O C的平分线 取点 E为 B C的中点 不妨设 由 E f o 号 1 得 l OCI I OB I I ABI t a n x I l t a n 在AB O C中 由三角形内角平分线 的性质 得 I DCI l 0CI 因此 丽I B DI 1 即 l B DI I B DI 从而 I A EI l A DI 因为 A E 1 f f I c I 所 以 tan x ta眦 ta n 半 即 丢 f x 2 3 5 构造椭圆 猜 想类比 例 7 已 知 旦 氅 ssiin 24 A ACO S n l 求 证 Sl co 下 s 4 B s i n 4 B 1 C O S A s i n A 分析这是一道纯粹的三角题 若能由题设中 式子的形状而类比联想到椭 圆方程 则有可能得到 构造椭圆方程来证题的新途径 证明 设椭 圆方程 c c o s A l 由题 意得 点 M C O S A s i n A 在 椭 圆 C 上 又 由 N C O S B s i n B 满足椭圆 C 知点 也在椭 圆上 过点 J7 v的椭圆 c的切线方程 为x c o s 2 B 1 最 p Y 1 又点 C O S A s i n A 满足 Y 1 所以点 M 也在切线上 由过椭 圆上一点 的切线的 唯一性 可知点 M和点 N重合 于是 C O S A C O S B s i n B s i n A 所 以 e o s 4 B s i n 4 B cos4 A s i n 4 A 1 3 6构造抛 物 线 数 化视 觉 抛物线是数学中的一条重要曲线 有些数学题 虽然表面上看与抛物线无关 但是经过构造后往往 能转化为抛物线类的问题 使得原本抽象的问题变 得易于解决 例8 设 1 求 1 一 的最大值 分析本 题 有多 种解 法 若 用构 造 抛物 线 来解 则会有耳 目一新之感 解 令 u 1 1一 0 则 点 U 满足 L 1 0 图 4 J m 2 1 即 v 一u m 1 3 即 一 一 1 3 作出图形 如图4 显然当直线与抛物线相切时 m取到最大值 将方程组 2 整理成关于 M的一元 二次方程 u 1 2 m m 一1 0 由 A 0 得 m 故 最 大 值 是 构造法是培养学生创新能力的一种好途径 是 一 种极富技巧性和创造性的解题方法 它体现 了数 学中发现 类 比 化归的思想 也渗透着猜想 探索 特殊化等重要的数学方法 运用构造法解数学题可 从中欣赏到数学之美