4李氏稳定性12.pdf

1 机电控制与物流装备研究所 王旭永 xywang 3420605334206053 机械楼807 第四章 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析 关于稳定性问题 稳定是自动控制系统正常工作的首要基 础 机电领域中 什么样的系统具有稳定性 机电领域中 什么样的系统具有稳定性 问题 稳定的评价指标 稳定或不稳定 稳定 裕量 时域响应的波动程度 等等 稳定与不稳定系统的直观示例 A f A A f f 不稳定系统不稳定系统 小范围稳定系统小范围稳定系统 d f c A A A f 摆运动示意图摆运动示意图 小范围稳定系统小范围稳定系统 图图c c中 中 A A点小球若超出点小球若超出C C D D范围就不再能稳定回复 故范围就不再能稳定回复 故 可以认为该系统在局部领域范围内是稳定的 可以认为该系统在局部领域范围内是稳定的 图图a a为稳定的系统 为稳定的系统 图图b b为不稳定系统 为不稳定系统 工程中控制系统不稳定时 的现象特征 系统不受控 输入指令不起作用 严重振荡 机械振荡时易导致毁损设备 机电工程中满足稳定比性能优化要相对容易 机电工程中满足稳定比性能优化要相对容易 总之 确保系统稳定 是控制 系统设计和调试的首要条件 第一节 古典控制理论的稳定性问题回顾 2 古典控制理论稳定性的理解古典控制理论稳定性的理解 控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态 当 扰动作用消失后 系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态 稳定性是系统在扰动消失后 自身具 有的一种恢复能力 对稳定性的认识对稳定性的认识 稳定性是系统的一种固有特性 这种稳定性是系统的种固有特性这种 特性只取决于系统的结构和参数 与外 作用无关 根据上述稳定性的定义 可以用函数作 为扰动来讨论系统的稳定性 设线性定常系统在初始条件为零时 输入一 个理想单位脉冲 即 系统在零平衡状态下 受到一个扰动信号的作用 如果当t趋于无穷时 系统的输出响应C t 收敛到原来的零平衡状态 即 t t 即 该系统就是稳定的 0 lim tC t 古典控制理论 判别系统稳定的充要条件 古典控制理论 判别系统稳定的充要条件 系统的传递函数 系统的传递函数 j s j s ps a s B s D s B asa sasa bsb sbsb s R s C jjjj K 1i k 1j i0 n1n 1n 1 n 0 m1m 1m 1 m 0 理想脉冲函数作用下 R 1 pi和 i均为负值 对于稳定系统 t 时输出量 c t 0 k 1i r 1j jjjj jj i i j s j s s ps c s R s D s B s C tsinBtcosA eec t c jj r 1j jj t k 1i tp i j i 理想脉冲函数作用下 R s 1 扰动 自动控制系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根全部具有负实部 闭环系统的极点全部在S平面左半部 0 j s j s ps a s D jjjj K 1i k 1j i0 系统特征方程 3 P 2 P 1 P 4 P 5 P n P S平面 j O 上面分析表明 当系统特征方程的根都具有负实部时 则各瞬态分量 都是衰减的 且有 此时系统是稳定的 如果特征根中有一个或一个以上具有正实部 则该根 对应的瞬态分量是发散的 此时有 系统是 不稳定的 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根 而其 余的特征根均有负实部则趋常数或作等幅振荡 0 lim tC t limtC t 余的特征根均有负实部 则C t 趋于常数或作等幅振荡 这时系统处于稳定和不稳定的临界状态 常称之为临界稳 定状态 临界稳 定状态 对于大多数实际系统 当它处于临界状态时 也 是不能正常工作的 临界稳定的系统在古典控制理论上属 于不稳定系统 所讨论系统一般为单输入单输出系统 3 线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统稳定的充分必要条件 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 或者说 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部 或者说 闭环传递函数的所有极点均位于为闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半平面的左半 部分部分 不包括虚轴不包括虚轴 部分部分 不包括虚轴不包括虚轴 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 0asa sasa s D n1n 1n 1 n 0 设系统特征根为p1 p2 pn 1 pn n 1i i 1 0 1 p 1 a a n ji 22 pp 1 a 各根之和 取两根乘积之和 全部根具有负实部 2i ji 0 pp a n 3i kji 3 0 3 ppp 1 a a n 1i i n 0 n p 1 a a 取两根乘积之和 取三根乘积之和 各根之积 系统特征方程各项系数具有相同的符号 且无零系数 1 sTs k m m s K0 p K 1 K 1T 2T 0 H H 例 判别系统的稳定性 无论怎样调整系统的参数 如K Tm 都不能使系统稳定无论怎样调整系统的参数 如K Tm 都不能使系统稳定 结构不稳定系统 0KKKK 1sT s s D 01mpm 2 0KKKKssT 01mp 23 m 稳定性仿真分析实例 某伺服系统模型 2 2 2 1 h hh K s ss 考虑 哪些参数会影 响稳定性 0 40 3 02 40 2 2 3 Kss s 403 020 K 响稳定性 400 3 hh 当 时 变化K 劳斯判据 奈魁斯特判据 对数判据 波德图判别 根轨迹判据 古典控制理论中的相关稳定性判据 根轨迹判据 相平面法 适用于一 二阶非线性系统 第二节 李雅普诺夫稳定性定理 稳定性的判别拓广到多 输入多输出系统 非线 性系统等 主要内容 李氏第一法 间接法 求解特征方程的特征值 李氏第二法 直接法 利用经验和技巧来构造 李氏函数 进而判别系统的稳定性 4 一 现代控制理论中的相关基本概念 1 自由系统 输入为0的系统 Ax Bu u 0 2 初态 f x t 的解为 x x 00 x t x t 初态 3 平衡状态 系统的平衡状态 0000 xtxtx 0 txfx ee e x 线性系统和非线性系统最明显 的区别法 线性系统遵从叠加原理线性系统遵从叠加原理 而非 线性系统不然 叠加原理的例子 f x 2x f y 2y f x y 2 x y 2x 2y f x f y 反例 4 线性系统 Axx n Rx 00 ee Axx A非奇异 A奇异 反例 f x 2x2 f y 2y2 f x f y 2 x2 y2 但 f x y 2 x y 2 f x f y 换句话说 线性系统的表达式 中只有状态变量的一次项 无 高次项 三角函数项等 只要有任意一个非线性环节就 是非线性系统 只要有任意一个非线性环节就 是非线性系统 0 e Ax e x A奇异 有无穷多个 5 非线性系统 可能有多个 例 0 txfx e e x 3 11 xxxx xx 令 2212 xxxx 0 1 x 0 2 x 1 0 0 e x 1 0 2 e x 1 0 3 e x 李雅普诺夫稳定性理论讨 论的是动态系统各平衡状态 附近的局部稳定性问题 d f c 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后都 趋于该平衡态 则称该平衡 小范围稳定系统小范围稳定系统 A A 趋于该平衡态 则称该平衡 态是渐近稳定的 若发散则 为不稳定 由于非线性系统的李雅普诺 夫稳定性具有局部性特点 因此 在讨论稳定性时 通常还应指明 是针对哪个平衡状态的 对于线性定常系统 x Ax 平衡状态xe是满足下述方程的解 Axe 0 平衡状态的进一步认识 当矩阵A为非奇异时 线性系统只有一个平衡状态 xe 0 当A为奇异时 则存在无限多个平衡状态 对于非线性系统 通常可有一个或几个平衡状态 它们分别为 对应于式f x t 0的常值解 xxt 二 李雅普诺夫意义下的稳定 1 李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在 另一个实数 满足 0 0 0 t 00 e xxt 的任意初始态出发的运动轨迹 0 x 00 x t x t 在都满足 t 000 e x t x txtt 5 则称是李雅普诺夫意义下稳定的 时变系统 与有关 定常系统 与 无关 是一致稳定的 e x e x 0 t 0 t 注意 向量范数 表示n维空间距离 2 122 22 2 11 neneee xxxxxxxx 2 渐近稳定 1 是李氏意义下的稳定 2 渐进稳定 一致渐进稳定 00 lim 0 e t x t x tx 无关与 0 t 致渐进稳定 3 大范围内渐进稳定性 对任意 都有 无关与 0 t 0 xs 00 lim 0 e t x t x tx x s e x 初始条件扩展到整个空间 且是渐进稳定 线性系统 如果它是渐进稳定的 必 大范围渐进稳定 e x 有大范围渐进稳定性 线性系统稳定性与初 始条件的大小无关 非线性系统 只能在小范围一致稳定 由状 态空间出发的轨迹都收敛或其附近 当 与 无关大范围一致渐进稳定 必要条件 在整个状态空间中只有一个平 衡状态 0 t e x 4 不稳定 不管 有多小 只要 内由出发的轨迹超出以外 则称此 平衡状态是不稳定的 s 0 x s 李氏稳定性的图解说明 大范围渐进稳定 几点讨论 线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明在该平衡点的局 部区域为发散的轨迹 至于其是否趋于无穷远 域外是否 存在其它稳定的平衡状态 则另当别论 若存在等幅振荡 极限环 则系统在李雅普诺夫意义 下仍是稳定的 线性系统稳定性概念与线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念意义下的稳定性概念 经典控制理论经典控制理论 线性系统线性系统 不稳定不稳定 Re s 0 临界情况临界情况 Re s 0 稳定稳定 Re s 0正定 当x 0时 二次型函数有如下特性 数学基础2 正定性 正定的定义 除零点外恒为正值 V x 0 正定 V x 0 负定 V x 0 正半定 V x 0 负半定 V x 0和V x 0 兼有 不定 矩阵正定性的判别方法 塞尔维斯特定理 1 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺 序主子式均大于零 即 0 00 1211 2111 P pp pp p n 2221 pp 2 实对称矩阵P为负定的充要条件是P的各阶顺序主子 式满足 ni i i i 2 1 0 0 为奇数 为偶数 其中pi j为实对称矩阵P的第i行第j列元素 例 李雅普诺夫第二法定理 设 系统状态方程 其平衡状态满足 假定状 态空间原点作为平衡状态 并设在 txfx 0 0 tf 0态空间原点作为平衡状态 并设在 原点邻域存在对 x 的连续的一阶偏 导数 0 e x txV 若 1 正定 2 负定 则原点是渐进稳定的 x txV V x t 定理1 若 有 V则大范围渐进稳定 x V x t 若 有 xV 则大范围渐进稳定 说明 负定 能量或距离随时间连续单调衰减 定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件 而非必要条件 即 若找到满足上述条件的 一个李雅普诺夫函数 则系统是一致渐近稳定 或大范围一致渐近稳定的 但如果没找到这 样的李雅普诺夫函数 也并不意味着就不是渐 讨论 样的李雅普诺夫函数 也并不意味着就不是渐 近稳定 对于渐近稳定的平衡状态 满足条件的李雅 普诺夫函数总是存在的 但并不唯一 8 例 解 注意讨论对象为非线性系统 表明 李雅普诺夫稳定性定理可应用于非线性系统 例 试确定用如下状态方程描述系统的平衡态 稳定性 解 显然 原点 0 0 是给定系统的唯一平衡点 选择正定函数 2 2 2 1 xxV x 212 21 xxx xx 那么 0222 2 22211 xxxxxVx 是负半定 故由定理1 1知 根据所选的李雅普诺夫函数分析不出 该平衡态是否渐近稳定 但这也并不意味着该平衡态就不渐近稳定 判别方法定理2 定理2 若 1 正定 2 负半定 3 在非零状态不恒为 txV 0 V x t x t t txV 3 在非零状态不恒为 零 则原点是渐进稳定的 txV 说明 不存在 能量或 距离的变化率有时为零 但总体在减小 0V x t 例 02 x 进一步考察 若x2 0 则由状态方程的分式2 可知x1 0 若x2 1 则 0 2 x 由状态方程的分式2 可知x1 0 则此时 即 若x2 0 则必有x1 0 2 10 xx 显然x2的这一结果是矛盾的 因而是不存在的 所以平衡点为大范围渐进稳定 若 1 正定 2 负半定 3 在非零状 态存在恒为零 则原点是李雅普诺夫意义 txV V x t 0 V x t x t t 推论1 下稳定的 说明 时系统 维持等能量水平运动 使 维持在非零状态而不运行至原点 0V x t 0 x 00 x t x t 是否可能有进一步的推论 9 若 1 正定 2 正定 则原点是不稳定的 txV V x t 定理3 正定能量函数随时间增 大 在处发散 V x t 00 x t x t e x 注意 1 选取不唯一 但没有公式化办法 线 性系统除外 2 选取不当 会导致不定的结 txV V x t txV 果 3 如果找不到 不能说明系统不稳 定或稳定 txV 李氏第二法的步骤归纳 1 构造一个正定的二次型函数 2 求 并将状态方程代入 3 判断非零情况下 是否为正定 或负定 4 判断时是否 txV V x t 0 V x t x t t xV 4 判断时 是否 李氏稳定 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定 x xV 例1 已知非线性系统的状态方程为 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性 2 2 2 112 1 xxxxx 2 2 2 121 2 xxxxx 试用李雅普诺夫第法判断其稳定性 解 令 10 x 20 x 0 1 x 0 2 x 原点是唯一平衡点 设 则 2 2 2 1 xxxV 12 12 22V xx xx x 222 12 2 V xxx 0 0 xV x V 负定 定理1 0 0 xV x V x 负定 1 原点是渐进稳定的 2 只有一个平衡状态 该系统是大范围渐 进稳定 3 由于V x 与t无关 又是大范围一致渐进稳 定 例2 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 1 2 xx 2 12 xxx 00 解1 令 20 x 0 1 x 0 2 x 10 x 即原点是平衡状态 2 2 2 1 xxxV 2 2 2V xx 设 解1 前面 已解 10 则 0 0 0 21 xVxx 0 xV xV 其它 负半定 令 0 xV 0 1 x 只有全零解令 0 xV 0 2 x 只有全零解 0 x非零状态时 0 xV 原点是渐进稳定 且是大范围 一致渐进稳定 0 e x 定理2 解2 02 2 2 2 1 xxxV 224 212 2 2 1 1 xxxxxxxxV 取 则 故不定 无法判别是否稳定故不定 无法判别是否稳定 解3 222 1212 1 2 0 2 V xxxxx 0 2 2 2 1 xxxV 取 则 故 稳定故 稳定 讨论 1 V x 的取法影响到稳定性的能否判别和判 别的难易 2 解3的V x 是如何得到的 1 V x 的取法影响到稳定性的能否判别和判 别的难易 2 解3的V x 是如何得到的 例3 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 解 即 1 2 2 12 xx xxx 120 xx 0 21 xx0 x解 即 设则 可见与无关 故非零状态 如 有 而对其余任意状态 有 120 xx 0 21 xx0 e x 2 2 2 1 xxxV 2 2 2V xx V x 1 x 0 1 x 0 2 x 0V x 0V x 故正半定 令 即非零状态时不恒为零则原点 V x 21 00 0V xxx V x 即非零状态时 不恒为零 则原点 平衡点不稳定即系统不稳定 V x 定理3 对于一般的系统 李氏函数V x 的求解 没有公式化的方法 对于线性系统 V x 的求解可采用公式 五 线性定常系统渐进稳定性判别法 对于线性系统 V x 的求解可采用公式 化的方法 本小节加以讨论 11 设系统状态方程为 为唯一平衡状态 设选取如下的正定二次型函数为李氏函数 则 xAx A 非奇异矩阵 0 e x xV T V xx Px 将代入 xAx 则 T TTT V xx Pxx P xxA PPA x 令 只要Q正定 即负定 则系 统是大范围一致渐进稳定 T A PPAQ T V xx Qx 定理定理 系统大范围渐进稳定的充要条 件为 给定一正定实对称矩阵Q 存在唯一的 正定实对称矩阵P使成立 xAx T A PPAQ 则为系统的一个李氏函数 T x PxV x Q通常可取为单位阵 I V x 的求取归结为对称阵P 的求取 并且确认是否正定 解 选取 01 11 xx 0 e x T V xx Px T A PPAQ 0101 例 11121112 12221222 0101 1111 10 01 pppp pppp 12 12 p 0 221211 ppp 122 2212 pp 1 2 1 2 1 2 3 2212 1211 pp pp 0 2 3 11 p 0 1 2 1 2 1 2 3 2212 1211 pp pp 2 P正定 是大范围一致渐进稳定 e x 22 1122 1 322 0 2 T Vx Pxxx xx 22 12 Vxx 前例V 的来源 课堂讨论题 一线性系统如下描述 0 2 1 kkxx 1 2 xx 1 求 1 画出方块图 2 讨论系统的稳定性 3 根据稳定性理论 提出可能的改善措施 12 解 由于 设 120 xx 0 21 xx 则原点是平衡状态 2 2 2 1 kxxxV 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定 但不是大范围渐 进稳定 1212 220V xkx xkx x k x1 x2 为使系统稳定 考虑如下 vkx vxkxxkxxkxxxxV 2 1221 2 2 1 1 2 2222 21x kv 若取 022 2 212 xkkvkxxV 则系统转为稳定 k x1 x2 k1 k 进一步的思考 是否还有其它改善途径方法 通过系统结构的局部改变 这种局 部改变在工程上通常也是不难实 现的 可以改善控制系统的性现的 可以改善控制系统的性 能 这也正是控制工程师需要做 的 李雅普诺夫稳定性的定义可延伸至离散系统 线性离散系统的李雅普诺夫稳定性分析 定理 设系统的状态方程为 x k 1 f x k k 其中xe 0为其平衡态 如果 1 存在一个连续的标量函数V x k k 且正定 2V k k 的差分 V k k V k 1 k 1 2 V x k k 的差分 V x k k V x k 1 k 1 V x k k 为负定的 则 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的 类似于线性定常连续系统 对线性定常离散系统 有如下渐近稳定判据 定理定理 设系统的状态方程为 x k 1 Gx k 其中x 0为其平衡态则其平衡态为渐近稳定的其中xe 0为其平衡态 则其平衡态为渐近稳定的 充要条件为 对任意给定的一个正定矩阵Q 都存在一个正定矩阵P 为李雅普诺夫矩阵代数方程 GTPG P Q 的解 并且正定函数V x k xT k Px k 即为系统的一 个李雅普诺夫函数 13 证明 证充分性 证明 证充分性 即证 若对任意的正定矩阵Q 存在正定矩阵P满足方程 G PG P Q 则平衡态xe 0是渐近稳定的 已知满足该矩阵方程的正定矩阵P存在 故令 V x k xT k Px k 则V x k 的差分为 V x k xT k Px k 则V x k 的差分为 V x k k V x k 1 k 1 V x k k xT k 1 Px k 1 xT k Px k Gx k TPGx k xT k Px k xT k GTPG P x k xT k Qx k 因为Q为正定矩阵 则 V x k 为负定函数 由于V x k 本身为正定函数 故证明了系 统的平衡态xe 0是渐近稳定的 通常设正定矩阵Q I 则判定线性定常离散系 统的渐近稳定性只需解如下李雅普诺夫矩统的渐近稳定性只需解如下李雅普诺夫矩 阵代数方程即可 GTPG P I 试确定系统在平衡点处是大范围内 渐近稳定的条件 0100pppp 1 2 0 1 0 kk xx 解解 由 例 例 设离散时间系统的状态方程为 10 01 0 0 0 0 2212 1211 2 1 2212 1211 2 1 pp pp pp pp 1 1 0 1 1 1 2 222 2112 2 111 p p p 展开后得 如下联立 方程组 解解 由 2 1 2 2 1 0 1 1 0 1 P 根据赛尔维斯特准则 要使P为正定 必须满足 因此 有 即只有当传递函数的极点位于单位圆内时 系统 2 1111221222 000pp ppp 12 1 1 即只有当传递函数的极点位于单位圆内时 系统 在平衡点处才是大范围内渐近稳定的 例 试确定用如下状态方程描述的离 散系统的平衡态稳定性 11 22 1 01 1 0 51 x kx k x kx k 解 由定理得如下李雅普诺夫代数方程 11121112 12221222 00 50110 110 5101 pppp pppp 展开后得如下联立方程组 1211 2212 1112 0 251 0 51 50 21 pp pp pp 解出p11 p12和p22 得 1112 1222 1181 8245 pp P pp 矩阵P为正定 故系统为大范围渐近稳定的 矩阵P为正定 故系统为大范围渐近稳定的 14 第三节 判别非线性系统稳定性 的克拉索夫斯基法 设非线性定常连续系统的 状态方程为 假设 1 所讨论的平衡态x