1.1.3四种命题间的相互关系.ppt

1 初中 几何 中我们认识了哪些平面几何图形 三角形 四边形 多边形 圆形 椭圆等 平面内基本图形 点 线 空间中基本图形 点 线 面 2 高中 几何 中我们认识了哪些立体几何图形 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球等 复习引入 3 4 1 特点 平面是无限延展 没有厚度的 2 画法 水平或竖直的平面常用平行四边形表示 3 记法 平面 平面 平面 标记在边上 平面ABCD 平面AC或平面BD 但常用平面的一部分表示平面 一 平面的表示方法 判断下列各题的说法正确与否 在正确的说法的题号后打 否则打 1 一个平面长4米 宽2米 2 平面有边界 3 一个平面的面积是25cm2 4 平面是无限延展 没有厚度的 5 一个平面可以把空间分成两部分 巩固 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 结论1 空间中点与线 点与面的位置关系 思考1 把一根木条固定在墙面上需要几根钉子 表示两平面相交的画法 点与平面的位置关系 点A在平面内 记作 点B在平面外 记作 二 平面的基本性质 公理1 若一条直线的两点在一个平面内 则这条直线上所有的点都在这个平面内 即 这条直线在这个平面内 作用 用于判定线在面内 即 A a且B aABa A B 直线a在平面a内 记作 aa 直线a在平面a外 结论2 空间中线与面的位置关系 强调 空间中点与线 面 只有 和关系空间中线与面只有与的关系 条件 结论 推导符号 的使用 思考2 固定一扇门需要几样东西 回答 确定一个平面需要什么条件 公理2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 A B C确定一个平面 A B C不共线 强调 推导符号跟着结论一起换行 作用 用于确定一个平面 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 公理2 不共线的三点确定一个平面 确定一平面还有哪些方法 应用1 几位同学的一次野炊活动 带去一张折叠方桌 不小心弄坏了桌脚 有一生提议可将几根一样长的木棍 在等高处用绳捆扎一下作桌脚 如图所示 问至少要几根木棍 才可能使桌面稳定 答 至少3根 应用2 过空间中一点可以做几个平面 过空间中两点呢 三点呢 结论 过空间中一点或两点可以做无数个平面 过空间中不共线的三点只能做一个 否则有无数个 思考3 如图所示 两个平面 若相交于一点 则会发生什么现象 P 公理3 若两个不重合平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 用于证明点在线上或多点共线 例1如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 1 2 解 在 1 中 在 2 中 典型例题 19 1 正方体的各顶点如图所示 正方体的三个面所在平面 分别记作 试用适当的符号填空 6 平面A1C1CA 平面D1B1BD OO1 练习 back 例2 求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内 共面问题 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 求证 直线AB BC AC共面 证明 AB AC A 直线AB BC AC共面于a AB和AC确定一平面a 公理2的推论2 B ABa C ACa BCa 公理1 证法二 因为A 直线BC上 所以过点A和直线BC确定平面 推论1 因为B BC 所以B 又A 故AB 同理AC 所以AB AC BC共面 例2证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 证法三 因为A B C三点不在一条直线上 所以过A B C三点可以确定平面 公理2 因为A B 所以AB 公理1 同理BC AC 所以AB BC CA三直线共面 例3 ABC在平面a外 AB a BC a AC a 求证 三点共线 共线问题 A B C 又P a 证明 P AB且AB平面ABC Q P R P 平面ABC P 平面ABC a 公理3 设平面ABC a l 则P l 同理Q l且R l 故P Q R三点共线于直线l 三线共点的问题 练习 空间四边形ABCD中 E F分别是AB和CB上的点 G H分别是CD和AD上的点 且EH与FG相交于K 求证 EH BD FG三条直线相交于同一点 分析 已知EH FG K 要证EH BD FG共点 即要证明B D K三点共线 而BD是面ABD和面CBD的交线 所以往证K 面ABD 面CBD 而显然 由EH 面ABD K EH 可得K 面ABD 同理 由FG 面CBD K FG 可得K 面CBD 三线共点的问题 练习 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 连结EF FG GH HE 求证 EFGH是一个平行四边形 问1 若上例加上条件AC BD 则四边形EFGH是一个什么图形 见中点找中点 构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 EH是 ABD的中位线 EH FG且EH FG EFGH是一个平行四边形 证明 连结BD 同理 FG BD且FG BD EH BD且EH BD 菱形 问2 若上例中四边形EFGH为矩形 AC与BD垂直吗 另注 平行线段成比例 练习 例4 证明 一条直线与两条平行直线都相交 则这三条直线共面 已知 a b a c A b c B 求证 直线a b c共面 证明 因为a b 所以直线a b确定一个平面 推论3 因为A a B b 所以A B 又因为A c B c 故AB 公理1 因此直线a b c共面 点线共面问题 练已知a b a b A P b PQ a 求证 PQ 点线共面问题 补充练习 1 A为直线上的点 又点A不在平面内 则与的公共点最多有 个 1 2 四条直线过同一点 过每两条直线作一个平面 则可以作 个不同的平面 1或4或6 若一条直线的两点在一个平面内 则这条直线上所有的点都在这个平面内 即 这条直线在这个平面内 小结 平面的基本性质公理1 作用 用于判定线在面内 即 A a且B aABa A B 作用 用于确定一个平面 小结 公理2及其推论 公理3 若两个不重合平面有一个公共点 则它们有且只有一条过该点的公共直线 作用 用于证明点在线上或多