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力学第一章 质点运动学质点：实际物体有大有小，结构可能很复杂。根据我们所研究对象的运动特点，有时可以把它们看成一个点，即质点。例如研究地球的公转时，地球可以看成质点；在研究地球的自传时，就不能看成质点。运动学：力学中研究物体运动的内容，如：速度，位置，加速度。不关心速度，加速度产生的原因。与之对应的概念是动力学，研究的是速度，加速度产生的原因。如：牛顿运动定律。1 参考系，坐标系一 参考系 参考系：用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 3.常用参考系:太阳参考系（太阳 恒星参考系）地心参考系（地球 恒星参考系）地面参考系或实验室参考系质心参考系（第三章6）二. 坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。O yzxx z y z( t ) y( t )x( t ) r( t ) P( t ) 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同，但其运动形式的数学表述却可以不同。 3.常用坐标系:直角坐标系（ x , y , z ） 球极坐标系（ r, j ） 柱坐标系 （r, j, z ） 自然“坐标系”2 运动函数一. 质点位置矢量 位置矢量（位矢、矢径）：用来确定某时刻质点位置（用矢端表示）的矢量。 位置矢量： 二. 运动函数机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。可给出质点运动到各处的时刻，从而得到质点位置坐标和时间的函数关系。该函数关系称为质点的运动函数。运动函数： 或 ; ; 。3 位移，速度，加速度一. 位移：质点在一段时间（）内位置的改变（）叫做它在这段时间内的位移。 P1r(t+t )r(t)rx y z Osr(t+t )r(t) Orr P2 位移 二. 路程：质点实际运动轨迹的长度。 注意：（1） （2） 。 要分清 等的几何意义,详见典型问题。三. 速度 ：位矢对时间的变化率。1.平均速度 ： 2.（瞬时）速度 ：v (t ) 速度方向：沿轨迹切线方向。 速度大小（速率）： 四. 加速度 ：速度对时间的变化率。xr(t+t )r(t) y zOv (t )v (t+t )vv (t )v (t+t ) P1 P2 加速度 加速度的方向：变化的方向加速度的大小：4 匀加速运动 直线运动： 积分求导 抛体运动： 运动学的两类问题：5 圆周运动 一. 描述圆周运动的物理量vRxsO, 如图：nt =t(t)t(t+t )nt(t+t )t(t)OR角位移 ：角速度 ： 角加 速度： 线速度 ：加速度 ： 如图示，有： 的大小： 的方向：时，的方向为切线方向。叫切向加速度，它是描述速率变化快慢的物理量。 的大小： 的方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。总结：。对于圆周运动，我们只须将加速度在法向，切向分解。这样的好处在于不必考虑速度的方向问题，只看速率与角速度即可。二.角量与线量的关系 由 有 ， 。7 相对运动 相对运动问题指的是在不同参考系中观察同一物体运动所给出的运动描述之间的关系问题。 以下我们仅讨论一参考系相对另一参考系S以速度平动时，同一物体在两参考系中的两个速度之间和两个加速度之间的由图有：位移关系 （1）上式双方除以 ，再取极限，得： 速度关系 （2） 式中 称为绝对速度 称为相对速度 称为牵连速度（2）式称为伽利略速度变换。u人对地(骑车)例 下雨天骑车人只在胸前铺一块塑料布即可 遮雨。u雨对人u雨对地 u雨对地=u雨对人+u人对地(骑车) （2）式等号双方对t再求一次导数，在相对于S平动的条件下得： 加速度关系 （3） 若。说明：1.以上结论是在绝对时空观下得出的： （1）式的来源是出自位移矢量叠加，而矢量叠加要求矢量必须是同一参考系中的矢量。只有假定“长度的测量不依赖于参考系”（空间的绝对性），才能给出位移关系（1）式。而要想从（1）式得到（2）、（3）式，还必须假定“时间的测量不依赖于参考系”, 即假定在S和S中分别测得的时间间隔dt 与 dt相等 （时间的绝对性）。从相对论的观点来看，绝对时空观只在u c时才成立。2.不可将运动的合成与分解和伽利略速度变换关系相混。前者是在一个参考系中，是矢量性的表现；而后者则应用于两个参考系之间，只在u m，当去掉支撑物后，分析m的运动：O光滑轨道mv支撑物M光滑轨道mvMg在M参考系中观察mvmg-mgT匀速率圆周运动OO 小故事: 二战中，美军Tinosa号潜艇携带了16枚鱼雷攻击敌主力舰。在4000码处侧面攻击，发射了4枚鱼雷，使敌舰停航了。但在875码处正面攻击，发射了11枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么呢？F0S撞针滑块雷管敌舰体va0鱼雷导板 解释:正面短距离攻击鱼雷(S系)撞舰体时加速度a0大惯性力F0大撞针滑块与导板间的摩擦力大撞针撞击雷管末速度变小不能引发雷管。rSSm fSO二. 匀速转动非惯性系中的惯性力 设S系相对惯性系S匀速转动。 1.物体m在S中静止：S： ，得： S：令 ： 则 惯性离心力 S中向心力与惯性离心力平衡，m静止。 有关惯性离心力的几个问题：失重：在绕地球转动的飞船（非惯性系）中观察，引力和惯性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定律的地方（真正显示不受力的情形）。rF0PmF引RO 重力和纬度的关系：重力是物体所受的地球引力和惯性离心力的合力： 可以证明（自己推导）重力加速度g和地球纬度j的关系式为： 上式中：， ，G 万有引力常量， 地球质量，R 地球半径 ，地球自转角速度 。在地表面用上式的g，已将惯性离心力的影响考虑在内。 一、基本要求1. 掌握力学中三种常见力（万有引力、弹性力和摩擦力）的性质和计算方法。2. 掌握运用牛顿运动定律求解质点动力学问题的方法和步骤。3. 了解非惯性系和惯性系的区别，能在非惯性系中解决简单的力学问题。二、知识系统图常见力的性质牛顿运动定律（适用于惯性系）第一定律：第三定律：第二定律：直角坐标分量式：切向法向分量式：万有引力：重力：弹性力法向支持力正压力绳的张力弹簧中的弹力：摩擦力：滑动摩擦力：静摩擦力：非惯性系中的牛顿第二定律：惯性力为非惯性系相对惯性系的加速度为质点相对非惯性系的加速度例题 1如图所示，质量均为的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？ 有人这样回答这个问题，他说如取A、B两木块和弹簧为系统，因弹力是内力，撤去支持面后，A、B木块仅受重力作用，根据牛顿第二定律，它们一定作自由落体运动。所以木块A、B的加速度均为。试分析他的回答错在哪里？并指出正确的做法。答：回答这个问题的错误在于他忘了牛顿第二定律仅对质点使用的条件。用弹簧连接的木块A和B组成的系统不能看为一个质点，所以对此系统不能用牛顿定律，必须用隔离体法，对每个物体进行受力分析，再用牛顿定律列方程。在支持面C撤去前，木块A、B均处在平衡状态。木块A受重力和弹簧的弹力（向上）作用,所以 木块B受重力，弹簧的弹力（向下）和水平面的支持力N(向上)作用,所以 在支持面撤去瞬时，弹簧仍维持原来的状态，而支持力消失了。因此木块B所受的合外力 故木块B的加速度 木块A的合外力 所以加速度 2判断下列说法是否正确？说明理由。 （1）质点作圆周运动时受到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不是向心力。（2）质点作圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。答：两个结论都不正确。（1）向心力是质点所受合外力在法向方向的分量。质点受到的作用力中，只要法向方向的分量不为零，它对向心力就有贡献，不管它指向圆心还是不指向圆心，但它可能只提供向心力的一部分。即使某个力指向圆心，也不能说它就是向心力，这要看是否还有其它力的法向分量。（2）作圆周运动的质点，所受合外力有两个分量，一个是指向圆心的法向分量，另一个是切向分量，只要质点不是做匀速率圆周运动，它的切向分量就不为零，所受合外力就不指向圆心。 3一个绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出。另有人沿绳子拉力的方向求合力，写出。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的，为什么？答：是错误的。因为物体的加速度始终指向O点，在拉力的方向上的分量不为零，沿绳子拉力的方向上应有 它与 同时成立。4已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，k是比例常数。设质点在时的速度为零，求处的速度的大小。解：根据牛顿第二定律 5.一质量分布均匀的绳子，质量为，长度为，一端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为处绳中的张力。解：绳子在水平面内转动时，由于绳上各段转动速度不同，所以各处绳子的张力也不同。现取距转轴为处，长为的小段绳子，其质量为。设左右绳子对它的拉力分别是 与。由于绳子做圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得： 由于绳子的末端是自由端 第三章 动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累 力在空间上的积累 作功，改变动能1 冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量 质点动量 由 有 动量定理(微分形式) 动量定理（积分形式） 平均冲力 例已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h = 2.0m的高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间= 0.019s。 求：篮球对地面的平均冲力 解：篮球到达地面的速率为：，篮球接触地面前后动量改变（大小）为：帆u1 u2F帆对风u1 u2u风 F风对帆 F横 F进 F横 F阻龙骨 由动量定理有： 由牛顿第三定律有： 逆风行舟的原理如下图所示： fi ji jFiPi fj i2 质点系动量定理 对于质点系，设：为第i个质点受的合外力，为第i个质点受第j个质点的内力。对第i个质点： 对质点系： 由牛顿第三定律有： 令 则 或 质点系动量定理（微分形式）积分得 质点系动量定理（积分形式）质点系动量定理处理问题可避开内力，较方便。3 动量守恒定律由质点系动量定理知，在一过程中，若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。即 几点说明： 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中，因为力与惯性系的选择无关，故动量若在某一惯性系中守恒，则在其它任何惯性系中均守恒（这样的结论并非对所有守恒定律都适用，能否适用要看其守恒条件的成立是否不依赖于惯性系的选择）。3.若某个方向上合外力为零，则该方向上的分动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。4.在一些实际问题中，当外力内力，且作用时间极短时（如两物体的碰撞），往往可以略去外力的冲量，而认为动量守恒。5. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。4 质心一. 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时，通常引入质量中心（简称质心）的概念。 如图示，设质心C的位矢为，它的定义式如下：rCz Cmiri yxO （） 是质点位矢以质量为权重的平均值。， r1r2Cm1m2二. 几种系统的质心 两质点系统 rrCdmCOm zx y 质心位置满足关系式（自己推导）： m1 r1 = m2 r2 质量连续体 ， 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 小线度物体（其上各处相等）质心和重心（重力合力的作用点）是重合的。例 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O相距为d，且（d + r） R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 Cdx y O O dxC OrRr 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。把该系统视为在图中虚线位置挖掉小圆盘后剩余部分（质心在O）和在原处小圆盘的组合。令为质量的面密度，则质心坐标为： 5 质心运动定理一. 质心运动定理 质心运动的速度为：CmivCvirCriz yxO 由此可得 质点系的总动量 由 有 质心运动定理由质心运动定理知，质心运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动。二. 质心（参考）系 1.质心系研究质点系运动常用质心系，它是相对于一个惯性系作平动的参考系，质心在其中静止。简言之，质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系，只有合外力为零时质心系才是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 。前者即讨论质心的运动，后者就是在质心系中考察质点系的运动。这样处理问题通常比较方便，在讨论天体运动及碰撞等问题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量： ， 质心系是零动量参考系。 m1u1m1u10m2u20m2u2质心系中看 若系统只有两个质点，则它们在其质心系中总是具有相反的动量，如图示的两粒子碰撞。6 质点的角动量 一. 质点的角动量qmOL prq 若质点m在某时刻的动量为，该时刻质点对某定点O的矢径为，则此时刻质点m对固定点 O的角动量定义为： 大小： L单位： kgm2/s 或 JsRLumO质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小、方向均不变。 L = mvR注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。二. 质点的角动量定理，力矩 现在讨论质点对惯性系中某固定点的角动量的时间变化率和什么因素有关。 由角动量定义 ，有： FaMrr0Om定义 为力对固定点O的力矩，如图示，力矩的大小： ， 称力臂。质点角动量定理的微分形式： 或 若力矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的积分形式： 称冲量矩，它反映在一段时间内力矩的时间积累作用。三. 质点对轴的角动量zFFrarOMMzrsina平面 z轴 1.力对轴的力矩 力对O点的力矩为，将对点的力矩向轴（例如z轴）投影，得： 上式表明：力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力对该轴的力矩。 2.质点对轴的角动量Oz prbrrsinb 将对O点的角动量对轴（例如z轴）投影，得： 质点对某点的角动量向过该点的某个轴的投影，就是质点对该轴的角动量。 3.对轴的角动量定理 由 有 即 对轴的角动量定理7角动量守恒定律 由角动量定理，若质点所受的合力矩为零，则质点的角动量不随时间改变，即 质点角动量守恒定律SFrmuL（中心力） 只受中心力作用的质点对力心的角动量，这表明： （1） mv r sin=const.， （2）轨道在同一平面内。 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律（书第一版111页例2，或第二版161页例3.16）。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。 8 质点系的角动量 质点系角动量：（对同一点） 式中： fijrirjrjri fjimimjm1m2FjFiO 如图示，一对内力的力矩和： ，于是有：（都对同一点） 质点系的角动量定理 由质点系的角动量定理，若对于某点而言，质点系所受的外力矩之和为零，则质点系对该点的角动量不随时间改变，即： 质点系角动量守恒定律 注意：是独立的，故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。 y x OrCriCuCu iF ir im iO系为惯性系 z9 质心系中的角动量定理一. 质心系中的角动量 设O是惯性系中的一个定点。C是质心，同时作为质心系的坐标系原点。如图示：质点系对质心的角动量为，质点系对O点的角动量为，质心对O点的角动量为 利用关系式： ， 可以证明（自己推导）： 上式表明：质点系对质心的角动量等于质点系对惯性系中某固定点的角动量减去质心对该点的角动量。二. 质点系对质心的角动量定理： 由 有： （ 是质点i受的合外力，是外力对质心的力矩之和） 质心系中对质心的角动量定理尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，角动量定理仍然成立，这里又显示出了质心的特殊之处。 一、 基本要求1 理解质点系的动量定理。2 掌握并熟练运用动量守恒定律。3 理解质心的概念和质心运动定理。4 掌握质点的角动量概念及角动量守恒定律。二、知识系统图牛顿第二定律质点的动量定理质心的概念 质心运动定理 质点系的动量定理质点系的动量守恒定律时，常矢量质点对定点O的角动量定理质点系对定点O的角动量守恒定律时，常矢量质点对定点O的角动量 例题1判断正误 (1) 质点系的总动量为零，总角动量一定为零。 (2) 一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。 (3) 一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。 (4) 一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。解： 选题目的 明确角动量的概念及其与参考点的关系。（1）不正确。仅有不能导出。例如，两质点动量等值反向即，则有。但它们对其连线的中点O点的角动量之和并不为零。因它们对O点的角动量的方向相同，二者之和为。（2）不一定为零。因质点的角动量与参考点有关。若参考点选在质点运动的直线上任一点O，因，所以角动量一定为零。若参考点选在质点运动的直线外任一点O，则角动量不为零，应为。故应指明是对哪一点的角动量。对角动量概念，易误认为只有质点作曲线运动时才有角动量，直线运动没有角动量。所以错答此问的较多。（3）不一定不变。若参考点选在质点运动的直线外任一点O，则角动量为，其值为（是O与直线轨迹的距离）。若是匀速直线运动，则角动量不变。若是变速直线运动，则角动量大小要变化，但方向不变。从角动量定理来看，当质点作匀速直线运动时所受合外力一定为零，对O的外力矩也一定为零（注意：对质点系不一定成立），则角动量不变。当质点作变速直线运动时，沿运动方向一定有合外力作用，所以对O的外力矩不为零，此时角动量一定要变化。（4）错误。动量方向沿圆周切向，不断变化。角动量为，质点作圆周运动时，对圆心O点的角动量方向始终垂直于圆平面，是不变的。实际上只要参考点选在圆周运动所在平面上该圆周内，以上结论均正确。若参考点选在圆周上或圆平面以外角动量的方向有可能变化。2. 如图，一小物体放在光滑水平桌面上，绳一端联结此物，另一端穿过桌面上的小孔。物体原以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动。从小孔缓缓下拉绳的过程中，物体的动量、对小孔的角动量是否变化？为什么？解： 选题目的 正确区分动量、角动量守恒的条件。动量是变化的。物体始终在桌面上，重力与支持力平衡，所以合外力即绳子的拉力。根据动量定理，绳子的拉力将改变物体的动量。角动量不变。物体受绳子的拉力的方向始终通过小孔，所以对小孔的力矩为零。根据角动量定理，物体对小孔的角动量不变。3. 如图，绳子上端固定，另一端系一质量为的小球，小球绕竖直轴作匀速率的圆周运动， A、B为圆周直径上的两端点，质点从A到B过程中动量是否守恒？如不守恒，绳子拉力的冲量是否等于小球动量的变化？解： 选题目的 正确运用动量定理。小球绕竖直轴作匀速率的圆周运动，所以动量的大小不变，但方向时刻都在变化，动量不守恒。小球受重力和绳子拉力两个力，所以绳子拉力的冲量不等于小球动量的变化量。的大小为，方向沿B点动量方向（水平）。A到B过程中绳子拉力的方向时刻在变化，冲量不太好求，但重力的冲量大小为，方向竖直向下，即为绳子拉力的冲量。 4匀质的柔软细绳铅直悬挂着，绳的下端刚好触到水平地面上。如把绳的上端释放，绳将落到地面上。试证明：在绳下落过程中，任意时刻作用于地面的压力，等于已落到地面上的绳重量的三倍。证明：选题目的 正确运用动量定理。以向上为正方向。设时刻已有长的绳落至地面，随后的时间内将有质量为的绳以的速率碰到地面而停止，它的动量变化量为： 根据动量定理，地面对绳的冲力为： 其中绳对地面的冲力为 而 已落到地上绳的重量为 所以 5我国的第一颗人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径km，卫星距地面最近距离km，最远距离 km。若卫星在近地点速率 kms-1，求远地点速率。解：选题目的 角动量守恒定律的应用。卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多，可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为零，所以卫星对O的角动量守恒。卫星在近地点的角动量卫星在远地点的角动量因角动量守恒代值得kms-1 6质量为半径为的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体自槽顶静止下滑，求当滑至槽底时，在水平面上移动的距离。解： 选题目的 灵活运用质心运动定理。与组成的系统水平方向不受外力，根据质心运动定理，系统质心保持静止。设整个过程在水平面上相对地面移动的距离为，由相对运动得在水平面上相对地面移动的距离为（这都可看作是相对系统质心的位移），所以其中负号表示与相对的水平位移的方向相反。值得注意的是，此距离与弧形槽面是否光滑无关，只要地面光滑即可。该题也可用动量守恒定律求解，请同学们自己考虑。习作题三个物体A、B、C每个质量都是M，B、C靠在一起，置于一光滑水平桌面上，两者间连有一段长0.4m的细绳，原先放松着。B的另一端用一跨过桌边的定滑轮的细绳与A相连，如图，滑轮与绳子的质量及轮轴的摩擦不计，绳子不可伸长。问：（1）A、B起动后，经多长时间C也开始运动？（2）C开始运动时速度是多大？第4章 功和能1 功Fdrmq12L 功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。 功依赖于参考系； 功是标量，有正、负之分。2 动能定理 对质点，由牛顿第二定律，有动能定理： （对惯性系） 动能 对质点系，有动能定理： 即 注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零（Q各质点位移不一定相同）。3 一对力的功一. 一对力 分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为“一对力”。 一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示的与就不是作用力与反作用力，但仍是一对力。另外，一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。 f1 = - f2 f221m1 yB2 f1 f2dr1dr2r21m2xB1 A1z A2or1r2 二. 一对力的功 ：m2相对于m1的元位移。令：(1)表示初位形，即 m1在A1，m2在A2； (2)表示末位形，即 m1在B1，m2在B2 。则： 说明： 1.W对 与参考系选取无关。