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第四章 连续时间信号与系统频域分析 一 周期信号的频谱分析 1 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号 j tjtj tj y teh tehdeehd 简谐振荡信号 傅里叶变换 j H jehd 点 测 法 j t y teH j 2 傅里叶级数和傅里叶变换 3 荻里赫勒 Dirichlet 条件 只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开 1 绝对可积 即 f t 0 0 tT t f t dt 22 112 tt j eu te ut jj 1 0 t e ut j 22 00 22 sgn lim lim tt j teu te ut j 3 证明 1 2 j t f tFed t 替换 2 1 2 jj t f tftFedF t ed 1 2 j t f tFed 4 证明 令 0 0 0 j tjt f tt edtfedf tt 0 tt 00 j tj tj eefedF 5 1 n n n d f tjF dt 2 证明 1 2 j tj t dd f teej F dtdt Fdj Fd 6 用法 信号可以分解成两个信号 其中之一的频谱是冲激或冲激串使用 7 1 注意 要避免出现及等不确定的的乘积关系 如求不能用卷积定理 可先求出 1 j u tu t 再用频域微分特性 u tu ttu t 2 证明 而 t fdf tu t 1 u t j 则 1 0 t F fdf tu tFF jj 二 非周期信号的傅里叶变换 1 连续傅里叶变换性质 备注 连续傅里叶变换性质及其对偶关系连续傅里叶变换性质及其对偶关系 傅氏变换 j t Ff t edt 傅氏反变换 1 2 j t Fedf t 连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对 名称 连续时间函 f t傅里叶变换 F 备注名称 连续时间函数 f t傅里叶变换 F 备注 唯一性 12 f tf t 12 FT f tFT f tF 1 线性12 f tf t 12 FF 尺度比例变换 0f at a 1 F aa 2 对称性 F jt2 f 3 时移 0 f tt 0 j t Fe 4 频移 0 jt f t e 0 F 时域微分性质 d f t dt j F 5 频域微分性质 jtf t d F d 6 时域积分性质 t fd 0 F F j 频域积分性质 0 f t ft jt Fd 7 时域卷积性质 f th t FH 频域卷积性质 f t p t1 2 FP 对称性 ft ft ft F F F 奇偶虚实性质 是实函数 f t o f tOd f t e f tEv f t Im jF Re F 希尔伯特变换 f tf t u t FRjI 1 RI 时域 抽 样 n f ttnT 12 k Fk TT 频 域 抽 样 00 12 n f tn 0 k Fk 帕什瓦尔公式 能量谱密度 能量谱 2 21 2 f tdtFd 2 F 2 常用傅里叶变换对 中心纵坐标 条件 0 Ff t dt lim 0 t f t 条件 1 0 2 fFd lim 0F 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 j t Ff t edt 1 2 j t f tFed 连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对 重要 连续时间函数 f t傅里叶变换 F 连续时间函数 f t傅里叶变换 F 重要 t 11 2 d t dt j t 2 d j d u t1 j 11 22 t jt u tu t 2 1 d j d 1 0 sgn 1 0 t t t 0 tt 0 j t e 0 jt e 0 2 0 cost 00 00 tttt 0 2cost 0 sint 00 j 00 tttt 0 2sinjt 1 0 t G t t 2 Sa W Sa Wt 1 0 W F W 1 0 tt t t 2 2 Sa 2 22 WWt Sa 1 0 WW F W Re 0 at eu ta 1 aj 1 jt 2 0eu Re 0 at ea 22 2a a 22 t 0e 0 cos Re 0 at etu ta 22 0 aj aj 0 sin Re 0 at etu ta 0 22 0 aj Re 0 at teu ta 2 1 aj 2 1 0 jt 2 eu 1 Re 0 1 kat te u ta k 1 kaj 四 无失真传输 五 滤波 T l ttlT 22 k k TT 2 t e 2 2 e cos 0 22 u tu tt 00 222 SaSa 0 jkt k k F e 0 2 k k Fk 1 输入信号与输出信号的关系 f t f yt 时域 fd ytkf tt 频域 d j t f YkeF 2 无失真传输系统函数 H d fj t Y Hke F 无失真传输满足的两个条件 1 幅频特性 为非零常数 Hk k 在整个频率范围内为非零常数 2 相频特性 d t 0 d t 在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直 线 3 信号的滤波 通过系统后1 产生 预定 失真 2 改变一个信号所含频率分量大小 3 全部滤除某些频率分量 4 理想低通滤波器不存在理由 单位冲击响应信号是在时刻加入滤波器 t 0t 的 而输出在时刻就有了 违反了因果律0t 5 连续时间系统实现的准则 时 域 特 性 因果条件 h th t u t 频 域 特 性 2 Hd 佩利佩利 维纳准则 必要条件 维纳准则 必要条件 2 2 1 H d 1 1 H j RC 2 1 1 c H arctan c 高通滤波器 2 1 0 d d c