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数学建模 模糊数学方法 主讲人 张先君 模糊数学方法 模糊集的基本概念模糊综合评判模糊聚类分析 模糊集的基本概念 模糊子集与隶属函数隶属函数的确定模糊矩阵及运算与性质 模糊子集与隶属函数 设U是论域 称映射A x U 0 1 确定了一个U上的模糊子集A 映射A x 称为A的隶属函数 它表示x对A的隶属程度 使A x 0 5的点x称为A的过渡点 此点最具模糊性 当映射A x 只取0或1时 模糊子集A就是经典子集 而A x 就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形 例设论域 例设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 cm 表示人的身高 那么U上的一个模糊集 高个子 A 的隶属函数A x 可定义为 也可用Zadeh表示法 还可用向量表示法A 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 模糊集的运算 相等 A B A x B x 包含 A B A x B x 并 A B的隶属函数为 A B x A x B x 交 A B的隶属函数为 A B x A x B x 余 Ac的隶属函数为Ac x 1 A x 例设论域U x1 x2 x3 x4 x5 商品集 在U上定义两个模糊集 A 商品质量好 B 商品质量坏 并设 A 0 8 0 55 0 0 3 1 B 0 1 0 21 0 86 0 6 0 则Ac 商品质量不好 Bc 商品质量不坏 Ac 0 2 0 45 1 0 7 0 Bc 0 9 0 79 0 14 0 4 1 可见Ac B Bc A 又A Ac 0 8 0 55 1 0 7 1 U A Ac 0 2 0 45 0 0 3 0 隶属函数的确定 1 模糊统计方法 与概率统计类似 但有区别 若把概率统计比喻为 变动的点 是否落在 不动的圈 内 则把模糊统计比喻为 变动的圈 是否盖住 不动的点 2 指派方法 一种主观方法 一般给出隶属函数的解析表达式 3 借用已有的 客观 尺度 模糊矩阵 设R rij m n 若0 rij 1 则称R为模糊矩阵 当rij只取0或1时 称R为布尔 Boole 矩阵 当模糊方阵R rij n n的对角线上的元素rii都为1时 称R为模糊自反矩阵 模糊矩阵及运算与性质 模糊矩阵间的关系及并 交 余运算 设A aij m n B bij m n都是模糊矩阵 定义相等 A B aij bij 包含 A B aij bij 并 A B aij bij m n 交 A B aij bij m n 余 Ac 1 aij m n 设A aik m s B bkj s n 称模糊矩阵A B cij m n 为A与B的合成 其中cij aik bkj 1 k s 模糊矩阵的合成 模糊方阵的幂定义 若A为n阶方阵 定义A2 A A A3 A2 A Ak Ak 1 A 模糊矩阵的转置 定义设A aij m n 称AT aijT n m为A的转置矩阵 其中aijT aji 转置运算的性质 性质1 AT T A 性质2 A B T AT BT A B T AT BT 性质3 A B T BT AT An T AT n 性质4 Ac T AT c 性质5 A B AT BT 模糊矩阵的 截矩阵 设A aij m n 对任意的 0 1 称A aij m n 为模糊矩阵A的 截矩阵 其中当aij 时 aij 1 当aij 时 aij 0 显然 A的 截矩阵为布尔矩阵 模糊综合评价模型 对方案 人才 成果的评价 人们的考虑的因素很多 而且有些描述很难给出确切的表达 这时可采用模糊评价方法 它可对人 事 物进行比较全面而又定量化的评价 是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法 模糊综合评价的基本步骤 1 首先要求出模糊评价矩阵P 其中P 表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度 当对多个目标进行综合评价时 还要对各个目标分别加权 设第i个目标权系数为W 则可得权系数向量 A W1 W2 W 2 综合评判利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量BB A P 其中 为模糊乘法 根据运算 的不同定义 可得到不同的模型 模型1M V 主因素决定型 模型2M 主因素突出型 模型3M 加权平均型 例1 对某品牌电视机进行综合模糊评价 设评价指标集合 U 图像 声音 价格 评语集合 V 很好 较好 一般 不好 首先对图像进行评价 假设有30 的人认为很好 50 的人认为较好 20 的人认为一般 没有人认为不好 这样得到图像的评价结果为 0 3 0 5 0 2 0 同样对声音有 0 4 0 3 0 2 0 1 对价格为 0 1 0 1 0 3 0 5 所以有模糊评价矩阵 设三个指标的权系数向量 A 图像评价 声音评价 价格评价 0 5 0 3 0 2 应用模型1 bj max ai rij 有综合评价结果为 B A P 0 3 0 5 0 2 0 2 归一化处理 B 0 25 0 42 0 17 0 17 所以综合而言 电视机还是比较好的比重大 例2 对科技成果项目的综合评价 有甲 乙 丙三项科研成果 现要从中评选出优秀项目 三个科研成果的有关情况表 设评价指标集合 U 科技水平 实现可能性 经济效益 评语集合 V 高 中 低 评价指标权系数向量 A 0 2 0 3 0 5 专家评价结果表 由上表 可得甲 乙 丙三个项目各自的评价矩阵P Q R 求得 归一化后得 所以项目乙可推荐为优秀项目 因素集 U 政治表现及工作态度 教学水平 科研水平 外语水平 评判集 V 好 较好 一般 较差 差 例3 晋升 的数学模型 以高校教师晋升教授为例 1 建立模糊综合评判矩阵 当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价 假定学科评审组由7人组成 用打分或投票的方法表明各自的评价 例如对王 学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好 2人认为较好 1人认为一般 对其他因素作类似评价 2 综合评判 以教学为主的教师 权重A1 0 2 0 5 0 1 0 2 以科研为主的教师 权重A2 0 2 0 1 0 5 0 2 B1 0 5 0 2 0 14 0 14 0 14 B2 0 2 0 2 0 5 0 14 0 14 归一化 即将每分量初一分量总和 得B1 0 46 0 18 0 12 0 12 0 12 B2 0 17 0 17 0 42 0 12 0 12 若规定评价 好 较好 要占50 以上才可晋升 则此教师晋升为教学型教授 不可晋升为科研型教授 例4 利用模糊综合评判对20加制药厂经济效益的好坏进行排序因素集 U u1 u2 u3 u4 为反映企业经济效益的主要指标其中u1 总产值 消耗 u2 净产值 u3 盈利 资金占有 u4 销售收入 成本 评判集 V v1 v2 v20 为20家制药厂 1 建立模糊综合评判矩阵 即rij表示第j个制药厂的第i个因素的值在20家制药厂的同意因素值的总和中所占的比例 得到模糊综合评判矩阵R rij 4 20 2 综合评判 按从小到大的次序排序 这20家制药厂的经济效益的好