高中数学教学论文 线性规划题型一览.pdf

线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点 对于目标函数的含义 学生往往理解的不深不透 只靠死记硬背 生搬硬套 导致思路混乱 解答出错 本文将有 关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下 以期对大家起到一定的帮助 一 基本类型 直线的截距型 或截距的相反数 一 基本类型 直线的截距型 或截距的相反数 例 1 已知实数 x y 满足约束条件 0 50 3 xy xy x 24zxy则 的最小值为 A 5 B 6 C 10 D 10 分析 将目标函数变形可得 1 24 z yx 所求的目标函数的最小值即一组平行直线 1 2 yx b y 在经过可行域时在 y 轴上的截距的最小值的 4 倍 解析 由实数 x y 满足的约束条件 作可行域如图所示 5 5 3 O L B A C y x 当一组平行直线 L 经过图中可行域三角形 ABC 区域的点 C 时 在 y 轴上的截距最小 又 故 3 3 C 24zx 的最小值为 min 2 34 3 6z 答案选 B 点评 深刻地理解目标函数的含义 正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键 二 直线的斜率型 二 直线的斜率型 例 2 已知实数 x y 满足不等式组 22 4 0 xy x 求函数 3 1 y z x 的值域 解 析 所 给 的 不 等 式 组 表 示 圆 22 4xy 的 右 半 圆 含 边 界 用心 爱心 专心 1 3 1 y z x 可理解为过定点 斜率为的直线族 则问题的几何意义为 求过半圆 域上任一点与点 1 3 P P z 22 xy4 0 x 1 3 的直线斜率的最大 最小值 由图知 过点 和点的直线斜率最大 P 0 2A max 2 5 0 3 1 z 过点所作半圆的切线的斜率最小 设 切点为 P B a b 则过 B 点的切线方程为4axby 又 B 在半圆周上 P 在切线上 则有 解 得 22 ab ab 4 34 23 5 66 5 6 a b 因 此 min z 2 63 3 综 上 可 知 函 数 的 值 域 为 2 6 5 3 三 平面内两点间的距离型 或距离的平方型 三 平面内两点间的距离型 或距离的平方型 例 3 已 知 实 数 x y 满 足 10 10 1 xy xy y 则 22 448wxyxy 2 的 最 值 为 解析 目标函数 其含义是点 2 2 与可行域 内的点的距离的平方 由实数 x y 所满足的不等式组作可行域如图所示 222 448 2 2 wxyxyxy 2 2 O y x 1 3 2 用心 爱心 专心 2 1 1 1 O C B A 1 x y 1 0 2 2 y x 可行域为图中ABC 内部 包括边界 易求 B 2 1 结合图形知 点 2 2 到点 B 的 距离为其到可行域内点的最大值 22 max 22 1 2 25w 点 2 2 到直线 x y 1 0 的距离为其到可行域内点的最小值 min 22 1 3 2 22 w 四 点到直线的距离型 四 点到直线的距离型 例 4 已知实数 x y 满足 22 21 42xyuxyx 求y 5 的最小值 解析 目标函数 2222 42 2 1 uxyxyxy 其含义是点 2 1 与可行 域内的点的最小距离的平方减 5 由实数 x y 所满足的不等式组作可行域如图所示 直线 右上方 点 2 1 到可行域内的点的最小距离为其到直线 2x y 1 的距离 由点到直线的距离公式可 求得 2 2 1 1 4 5 55 d 故 2 169 55 55 d 0 0 0 同步训练 已知实数 x y 满足 22 24 33 xy xy xy 则目标函数 22 zxy 的最大值是 答案 13 五 变换问题研究目标函数 五 变换问题研究目标函数 2 1 1 1 2 O y x 2x y 1 用心 爱心 专心 3 例 5 山东潍坊 08 届高三 已知 且 ax yx xy 2yxz 2的最大值是最小值的 3 倍 则 a等于 A 3 1 或 3 B 3 1 C 5 2 或 2 D 5 2 解析 求解有关线性规划的最大值和最小值问题 准确画图找到可行域是关键 如图所示 Ayxz在 2 点和B点分别取得最小值和最大值 由 a aA xy ax 得 由 得 yx yx2 B 1 1 a z z3 3 minmax 由题意 得 3 1 故答案 B a 六 综合导数 函数知识类 六 综合导数 函数知识类 例 6 山东省日照市 2008 届高三第一次调研 已知函数 部分对 应值如下表 2 的定义域为xf xfxf为 的导函数 函数 xfy 的图象如右图所示 若两正数 a b 满足 3 3 1 a b 则2 baf 的取值范围是 x 2 0 4 xf1 1 1 A 3 4 7 6 B 3 7 5 3 C 5 6 D 3 2 3 3 1 分析 本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质 将其与所给的函 数性质联系起来 由导函数的图象可知 原函数在区间 2 0 为单调递减函数 在区间 0 为单调递增函数 结合题中提供的函数的数据可得 422 ba 另外注意到 用心 爱心 专心 4 3 3 a b 的几何意义 转化为线性规划问题可求解 解析解析 由导函数的图象可知 原函数在区间 2 0 为单调递减函数 在区间 0 为单调递增函数 又 1 4 1 0 1 2 fff 故422 ba 而均为正 数 可得可行域如图 ba 用心 爱心 专心 5 3 3 a b 的几何意义是可行域内的点和 3 3 连线的斜率的取值范围 故最大为点 0 4 此时为 3 7 30 34 最小为点 2 0 此时为 5 3 32 30 所以答案 B 如果实数满足条件 则 a b 20 10 1 ab ba a 2 2 ab ab 的最大值