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国际数学能力评价项目评介数学能力评价日益受到国内外学者和评价机构的广泛关注，一些国际大型评价项目的思想和具体做法以及一些研究结果有着重要的借鉴意义，同时也构成了本课题重要的文献研究基础。了解国外数学评价改革的动态与趋势，有助于比较深入地研究数学核心能力的构成和评价框架。考虑到中小学数学能力评价在很多方面是相通的，为此，本章选择了国际上几个大型的、具有代表性的中小学数学能力评价项目进行介绍。这里介绍的内容并不全面，只是选择了与数学能力评价有关的一些可借鉴的内容，希望通过这些实例对我国数学能力评价有一些启发。第一节 国际数学与科学评价项目（TIMSS）介绍TIMSS是 The Third International Mathematics and Science Study的缩写。这里，我们介绍的是2003年和2007年进行的两次测试。一、TIMSS 2003在2003年TIMSS测评的框架里是从两个维度对数学进行评价：（1）内容领域，包括数、代数（在四年级，代数内容领域叫做模式、等式和关系）、测量、几何、数据；（2）认知领域，包括再认事实性知识和程序性知识、运用概念、解决常规问题、推理。其各个部分所占比例见下表。四年级数学内容领域数40%代数*15%测量20%几何15%数据10%数学认知领域再认事实性知识和程序性知识20%运用概念20%解决常规问题40%推理20%*在四年级，代数内容领域叫做模式、等式和关系。（一）内容领域 内容领域包括数、代数、测量、几何和数据五个部分，具体内容见下表：数整数，分数和小数，比、比例、百分数代数模式，代数表达式，等式和公式，关系测量属性和单位，工具、方法和公式几何线和角，二维、三维图形，全等和相似，位置、空间关系，对称、变换数据数据的收集和组织，数据表达，数据解释，不确定性、可能性（二）认知领域 认知领域分为再认事实性知识和程序性知识、运用概念、解决常规问题和推理四个层次，具体划分见下表;再认事实性知识和程序性知识回忆，认出/识别，计算，使用工具运用概念知道，分类，表示，明确表达，辨别解决常规问题选择，产生模型，解释，应用，证实/检查推理假设/猜想/预测，分析，评价，推广，联系，综合/整合，解决非常规问题，证明1.再认事实性知识和程序性知识这一维度可从以下几方面考察：回忆：回忆定义、专业用语、单位、数的性质、平面图形的性质、数学的习惯表达，如：代数符号，。认出/识别：认出/识别数学本质，这些数学本质在数学上是等价的，也就是说，用来表示分数的图形的一部分相当于我们所熟悉的分数、小数和百分数；简化的代数表达式；不同方向的简单的几何图形。计算：知道+，以及它们的混合运算的运算顺序；知道对数进行近似的过程，对测量结果进行估计，解方程，求表达式和公式的值，通过一个给定的百分数来增大或减小一个数。将一个代数或数字表达式进行化简、分解因式、或展开；合并同类项。使用工具：使用数学和测量工具；读刻度；画线、角，根据给定的说明画图。用直尺和圆规画一条线段的垂直平分线、角平分线、三角形、四边形，并进行必要的测量。2.运用概念这一维度可从以下几方面进行考察：知道：知道长度、面积和体积在一定条件下是恒定不变的；能够对概念进行识别，如包含、排除、近似相等、表示法、证明、集合、数学关系、位值。例（四年级）：判断当一张纸被切碎成小条后，面积比原来大、小、还是相等？（图形显示一张完整的纸，以及切碎后的纸）分类：根据共同的属性将物体、图形、数字、表达式、概念进行分类；能正确地将某一对象进行归类，并按某一属性进行排序。例（四年级）：将三角形从一堆形状各异、边数不同的几何图形中挑选出来。表示：使用模型来表示数；用图形、表格、图表、坐标图等来呈现数学信息或数据；能用等价的表示法来表示给定的某种数学本质或关系。例（四年级）：用图形的阴影部分表示一个给定的分数。明确表达：对于一个给定的方程或表达式，能够用问题或情境来进行解释。例（四年级）：Jane已经读完了一本书的29页。如果这本书一共有87页，在下面这个等式 =29中，空格中的数字表示Jane接下来需要读的页数。创设另一个情境，使得个等式同样也适用。辨别：能够识别出那些可以根据给定的信息（如数据）解决的问题。例（四年级）：给定一幅条形统计图，从一系列问题中，挑选出可以根据这幅图得到答案的问题。3.解决常规问题这一维度可从以下几方面进行考察：选择：选择/使用有效的方法或策略解决问题，而其中的算法规则或解决问题的方法是学生所知道的。选择适当的算法、公式、单位。例（四年级）：一个班级要举办一个音乐会，班上的28名学生每个人都要卖出7张票，那么如何知道一共有多少张票：28除以7，28乘7，7加28，等。产生模型：用一个适当的模型如等式、图表，解决常规的问题。解释：对给定的数学模型（等式、图表等）进行解释；执行一系列的数学指令。例（四年级）：给定一个不熟悉（但并不复杂）的图形或程序，你必须通过口头的指令告诉另一位同学，让他/她复制出这个图形。应用：应用事实、程序、概念等知识解决常规问题（包括现实生活中的问题），也就是说，问题与学生在课堂上可能遇见的问题相似。证实/检查：能够证实/检查问题解决方法的正确性；评价问题解决方法的合理性。例（四年级）：Mario估计他们家某一房间的面积是1300平方米。他的估计合理吗？请解释。4、推理这一维度可从以下几方面进行考察：假设/猜想/预测：探求模式、讨论概念、提出模型、检查数据时做出合理的假设；详细说明结果（数、模式、量、变换，等等），这些结果可能由某些运算或试验而得来。例TIMSS在此仅提供了八年级样题）：相邻素数是两个素数，在这两个数之间还有另一个自然数。因此5和7，11和13，17和19都是相邻素数。推测：位于相邻素数之间的数的特征。分析：在数学的情境下，决定、描述或运用变量或对象之间的关系；分析单变量统计数据；将几何图形进行分解以简化问题；对于一个给定的不熟悉的立方体能够描绘出它的本质；从给定的信息中做出有效的推断。评价：对数学思想、猜想、问题解决策略、方法、证明等进行讨论和批判性的评价。例（四年级）：两个油漆工人用三罐油漆刷一堵围墙。随后，他们要用同样的油漆去刷另一堵类似的围墙，这堵围墙的长和宽都是原来的2倍。其中的一个油漆工说，他们所需用的油漆是原来的2倍。这名油漆工说得对吗？说出你的理由。推广：用一种更一般或更广泛的术语重新描述结果，使得数学思考和问题解决的结果具有一般性，以此来对结果进行推广。例（四年级）：给定某一模式：1，4，7，将它们之间的关系描述出来，并指出接下来的数是什么，61之后的数是什么。联系：将新的知识和已有的知识联系起来，将知识的不同元素和相关的表示法联系起来，将相关的数学思想或对象联系起来。例（TIMSS在此仅提供了八年级样题）：一个三角形ABC，其中AB=3cm，BC=4cm，CA=5cm，这个三角形的面积是：6cm2，7.5cm2，10cm2，还是12cm2?综合/整合：将数学过程进行整合，以获得结果；再将结果进行结合，以获得进一步的结果。例（四年级）：解决问题，其关键的信息必须首先从表格中获得。解决非常规问题：解决纯数学问题或现实生活中的问题，而学生可能并没有遇见过与这样的问题相似的问题；将数学过程应用于不熟悉的情境中。例（四年级）：在某个国家，人们这样表示数：11写为，42写为，26写为。那么他们怎么表示37？证明：根据数学结果或属性，证明某一行为的有效性以及某一陈述的真实性；用数学理由证明或反驳某一陈述，给出相关的信息。例（四年级）：50+30=80。使用如下所示的线段来说明这个等式是正确的。 此外，数学交流作为数学教育的一个重要结果，在TIMSS中虽然不作为认知领域中独立的元素，但是它却贯穿于数学内容和认知领域之中。二、TIMSS 2007在2007年TIMSS测评的框架里，是从两个维度来进行评价的。一个维度是内容领域，并且细化成具体的内容进行评价，例如包括几何、代数等；另外一个维度是认知维度（能力维度），并且具体到思维过程进行评价，如：认知、应用、推理。认知领域描述了一系列期望学生在学习数学内容的过程中发生的行为。内容领域和认知维度是2007年TIMSS测评的基础。四年级和八年级测试的内容是不同的，体现了数学在各个年级所教内容的本质和难度。较之八年级，四年级更加强调数的学习。（一）四年级数学内容领域四年级的内容领域分为数、几何图形与测量、数据呈现三个部分，值得注意的是“入门的代数概念”被归入到“数”这一部分中，各部分百分比见下表：四年级内容领域百分比数50%几何图形与测量35%数据呈现15% 很多参评国家对内容领域的每个部分又划分了一系列主题，每个主题下面又划分了一系列目标。1.数 在四年级，数的内容包括位置值、呈现数的方式、数的关系。在四年级，学生要建立数感和熟练地计算，理解运算的含义及其各运算之间的关系，可以利用运算来解决问题（加、减、乘、除等）。熟悉一系列数的模式，探索模式中或者衍生出这些模式的数之间的关系。 数是由四个与理解和技能相关的主题组成的：l 整数l 分数和小数l 数列l 模式与关系 因为整数是运算的入门，而数的运算是数学发展的基础，所以在小学把研究整数问题作为数学的基础。TIMSS的2007年内容框架就反映了这一点。大多数孩子在很小的时候就开始学习数数，在小学低年级的时候就可以解决简单的加减乘除问题。四年级的学生可以计算整数的关于适当的尺寸、估计总和、差额、乘积、商及运用计算来解决问题。 学生也可以利用他们掌握的整数来理解测量单位和单位之间的转化，例如测量单位的十进制关系。学生也应该熟悉一些其他单位关系,如秒、分、时、日。 在四年级，一些入门的代数概念和技能也是TIMSS测试的内容。这些主要集中在理解力模式上，它们构建成了以后需要发展的更加规范的代数思维。理解力和简单的等式相关，数列的形式也与数的模式相关。 学生应该研究数列，并找出它们中缺失的数，研究求未知数的思想以及运用数列构造一个涉及到一种运算的简单情境。他们应该探索数的模式，研究各项之间的关系，找出或使用形成这些关系的规律。 在分数和小数中，强调的是分数的表示方式及其理解符号所代表的量。在四年级，学生可以比较相近的小数和分数的大小。每个主题具体目标如下:数：整数 1.用词、图表或者符号表示整数。2.证明位置值的知识，包括能用扩展的知识识别和写数。3.比较并且给整数排序。4.知道四则运算（加、减、乘、除），能够进行整数的四则运算。5.识别数的倍数和因数；读出质量和温度的刻度。6.通过约等于的方式检验计算结果。7.解决问题，包括真实背景下的问题（例如测量和货币的问题）。8.解决比例问题。数：分数和小数1.知道整数是分数的一部分，是一个集合的一部分，是数轴中的单元，是整数的除法。2.用词、数、图样表示分数3.识别相等的分数，比较分数的大小4.简单的分数的加、减5.展示对小数位置值的理解，包括用词和数字识别和写小数。6.小数的加、减。7.解决涉及到简单的小数和分数问题。注释：四年级的分数题将会涉及到，或的分母。四年级小数题将涉及到一位或两位小数。数：整数数列1.找出数列中缺失的数或运算（例如：如果，横线上应该填什么数使得等式成立？）。2.构造简单的情境，包括表达式或数列中的未知数。数：模式和关系1.扩写模式和找出它们缺失的项。2.描述在一个数列中临近项或者是项与项中的序列数的关系。3.根据给定的关系得出一列整数（例如：乘以得出第一个数，再加得到第二个数）。4.根据一系列给出的满足一定关系的整数写出或选择出一个规律。 2几何图形与测量几何图形与测量包括几何图形的特征，如边长、角度、面积和体积。学生能够鉴别和分析线段、角和各种几何图形包括二维和三维图形的特征与本质。这一内容包括理解非正规的坐标系和使用空间形象思维，使同一图形在二维和三维表现形式中建立联系。几何图形与测量的三个主题是：l 线段和角l 二维和三维图形l 位置与运动对于几何的学习与评价来说，空间感是一个整体。在四年级，要求学生去描述、直观化和画各种各样的几何图形，包括角、线段、三角形、四边形和其他多边形。学生能够分解组合的图形。学生能够识别对称的线段、画对称图形，描述旋转和反射。在四年级，也期望学生能够进行一些精确化的操作，包括使用设备和工具测量物理特征，如长度、面积、体积和角。知道在什么特定的情况下使用什么单位的知识对测量技术起到支持作用。在这一年段，也期望学生使用估算和简单的方程计算正方形和长方形的周长和面积。每个主题具体目标如下：几何图形和测量：线段和角1.测量和判定长度。 2.识别和画平行线与垂线。 3.比较角的大小和画角（例如：90o角，大于90o或小于90o的角）。几何图形与测量：二维和三维图形1.识别普通几何图形。2.知道、描述和使用几何图形的基本特征。3.分类和比较几何图形（例如：按照形状、大小或性质）。4.能够识别出用二维图形表示的三维图形。5.计算给定范围的正方形和多边形的周长和面积。6.测定和判定面积和体积（例如：通过给定的图形覆盖或者是通过识别等量的面积）。几何图形与测量：位置与运动1.在平面里使用非规范化的坐标系来确定点的位置。2.认识对称线以及用对称线画图形。3.识别和画出图形的反射和旋转。3、数据呈现数据呈现方面包括读取和解释呈现数据，也包括组织已经收集来的数据和如何以图表的形式去呈现它们，这些图表将有助于使用数据中的信息回答问题。学生可以比较数据的性质并且根据呈现的数据得出结论。数据包括如下主题：l 读取和解释l 组织和呈现在四年级，学生可以读取各种各样呈现的数据。学生可以从事简单的数据收集或者研究别人收集的数据。他们应该发展呈现数据的技能和认识数据呈现的各种形式。每个主题具体目标如下：数据呈现：读出和解释1.从表格、统计图（比如条形统计图、扇形统计图等）中读取数据。2.比较数据中的相关信息（例如，给定或呈现在四年级或其它年级关于所喜爱的巧克力风味的数据，能够识别出哪种巧克力风味是学生最喜欢的口味）。3.使用数据中的信息回答问题，但答案并不能直接从给定的数据中获得。（例如：把数据加起来，基于数据作一些运算、得出结论和做一些预测。）。 数据呈现：组织和呈现 1.比较相同数据的不同表示形式2.用表格、条形统计图组织和表示数据。（二）数学认知维度（能力维度）四年级的认知领域分为知识技能、 应用和推理三个层次。知识技能，包括学生所需要的事实、程序、概念。应用，关注的是学生应用所学的知识和概念的理解来解决或回答问题的能力。推理，超出了解决常规问题的范围，包括不熟悉的情境、复杂的背景和多步骤问题。各层次的百分比如下表：四年级认知领域百分比知识技能40%应用40%推理20%1.知识技能 依靠事实性的数学知识和熟悉的数学概念，熟练地在问题情境中使用数学及其推理。学生越是能够回忆起更多的事实性的数学知识知识和理解更广范围的数学概念，他或她就越有潜力去解决更加广泛的问题情境和越有潜力去发展数学理解力。 没有这些使学生能够很容易地回忆起来的语言、基本的事实、数之间的转化、符号的意义、空间关系的知识基础，学生想进行有目的思考是不可能的。事实包括能够提供基本的数学语言的事实性知识和形成数学思想的基础的本质性的数学事实和特征。 程序是基础性知识和使用数学来解决常规性问题之间的桥梁，尤其是人们通常在生活中遇到的问题。从本质上说，要流利地使用数学需要回忆起一系列的行为并且把它们提取出来。学生需要有效地和准确地使用各种计算步骤和工具。他们需要知道一个特定的程序可以解决整类问题而不是单一的问题。 概念性知识可以使学生在知识元素之间建立联系，最好把它作为独立的事实进行记忆。概念性知识能够使学生对现有的知识进行扩展、判断数学陈述和方法的有效性和建立数学表征。知识技能的行为表现如下：1.回忆 回忆定义、数的特征、几何特征和符号。 （例如：ab=ab,a+a+a=3a）2.再认 再认数学对象、图形、数和表达式。再认数学等式的本质（相似的小数、分数和百分数的相等；相同几何图形的不同方位）3.计算 执行加减乘除的运算顺序或者进行整数、小数、分数的加减乘除运算。判定相似的计算结果。执行常规的代数程序。4.提取 从图表或其他资源中提取信息；读取度量工具上简单的刻度。5.测量 使用测量工具；使用适当的测量单位；判定测量结果。6.分类或排序 根据基本的特征给物体、图形、数、和表达式进行分类或分组；对分类的多组做出正确的判定；按照属性给数和物体排序。2.应用 问题解决是学校数学教学的核心，它的支持性能力是应用知识和概念理解的能力。与这一领域相匹配的题目要求学生应用数学的事实性知识、技能和程序或是对数学概念的理解来建立表征和解决问题。观念的表征形成了数学思想和交流的核心，建立等量的表征能力是成功地学习这一门课的基础。 与推理领域相比，应用领域的问题背景相对常规。在课堂活动中，常规问题的标准是用特定的方法和技能提供实践性的练习。一些是以语言的形式把问题设置在类似于真实背景的情境中。尽管范围不同，但是每一本练习册中所提供的问题类型都是学生们非常熟悉的问题情境，目的在于使学生能有效地运用选择和所学的程序。 可能会把问题放在真实生活的情境中，或者涉及到纯数学问题，例如：数或代数表达式、函数、等式、几何图形或统计数据。因此，问题解决并不只是在应用领域中有，推理领域中也有，只不过是应用领域更强调熟悉和常规的任务。应用的行为表现如下：1.选择 选择有效/正确的运算、方法或策略解决问题。 2.呈现 用图、表、条形图、图解来呈现数学信息和数据并且写出给定的数学关系的等量表达式。3.模式化 形成一个适当的模型，例如用来解决常规问题的等式或图例。4.工具 按照要求使用一系列的数学工具。例如给定一个说明，画出图形。5.解决常规问题 解决常规问题（和学生在课堂上遇到的很相似的问题等）。例如利用几何特征解决问题。比较和匹配不同的数据（八年级），使用图、表、图解、地图来解决常规问题。3.推理 推理涉及到逻辑的、系统的思考能力。推理还包括基于能够解决非常规问题的模式和规律的演绎推理和归纳推理。非常规问题就是相对学生来说不熟悉的问题。它超出了仅能解决常规问题的能力维度，即使已经学过了所需要的知识和技能。非常规问题可能是纯数学问题也可能是具有真实的生活背景的问题。这两类题目都涉及到把知识和技能迁移到新的情境中去，在推理能力中，交互作用通常是一个特征。因为背景的新颖性或复杂性或者因为解决一些问题必需一些步骤，或者需要利用数学领域中不同的知识和概念，所以不同的问题需要用不同的方式来处理。虽然推理中的行为多是需要借助思考和解决新的、复杂的问题，每一项行为都代表了数学本身的价值，就是潜移默化的影响学生的广泛的思维。例如，推理涉及学生观察的能力和做出猜测。它同时也包括基于具体的假设和规则做出逻辑推理及证明结果。推理行为表现如下：1.应用 在数学情境中判定、描述或使用变量或事物之间的关系；用比例推理（四年级）；分解几何图形，简化问题的解决；画出一个给定固体的简图；使三维图形的转化形象化；比较和匹配相同数据的不同表现形式（四年级）；根据给定的信息做出有效的推断。2.概括 通过运用概括性的和适用性更强的术语来扩展思考和问题解决的结果。3.假设/整合 整合数学的各种程序，综合各种结果进一步做出推论。使不同的知识要素相关的表征联系起来，使相关的数学思想之间建立关联。4.证明 根据数学结果或性质证实或证伪。5.解决非常规问题 在数学或真实的情境中解决问题，在这学生不可能遇见过与之非常相近的题目，学生是在不熟悉或复杂的情境中解决数学问题。使用几何性质来解决非常规问题。第二节 美国国家教育成就评价项目（NAEP）介绍NAEP是National Assessment of Eudcational Progresss 的缩写，该项目最早在美国国内实施，1988年也将数理学科扩增至国际间的共同研究。一、NAEP评价框架（一）数学框架中描述了五个方面的内容（1）数感、属性和操作主要指学生对数的理解（所有的数如分数、小数、整数、实数和复数）、操作、估计和它们在真实情境中的应用。（2）测量（3）几何和空间意识（4）数据分析、统计和概率（5）代数和函数（二）包括三种数学能力（6）概念理解（7）程序性知识（8）问题解决（三）数学素养（10）推理（11）联系（12）信息交流二、1996, 2000, 和2003年的NAEP90年代以后，越来越重视数学素养，1996、 2000和2003年的评价非常关注考察与孩子所学知识相关的推理和信息交流的内容。数感、属性和操作测量几何和空间意识数据分析、统计和概率代数和函数1996，2000和2003年数学评价框架（一）各部分内容的题目所占的百分比分布图4年级内容1990年、1992年1996年、2000年、 2003年数感、属性和操作4540测量2020几何和空间意识1515数据分析、统计和概率1010代数和函数1015（二）四年级学业的水平基础(214分)理解五个领域的基本概念和程序性知识。能够估计和利用基本事实完成简单的所有数的计算；表现对分数和小数的理解；解决简单的实数问题。虽然不总是很精确，但是会使用函数计算器，尺子和画图。对书面能力没有具体要求。精通(249分)惯于运用综合性知识和在概念理解的基础上解决五个领域的问题能使用所有的数估计、计算和决定其结果的合理性。对分数和小数有一个概念上的理解；能够解决现实生活问题；准确地使用函数计算器、尺子、画几何图。应该能够使用诸如鉴别和使用适当信息的解决问题策略。书面的解答应该有结构性且既能提供支持的信息，又能解释是怎样得出结果的。高级(282分)运用综合性的程序性知识和在概念理解的基础上，解决五个领域中相关的复杂的结果不唯一的现实生活问题。能够解决复杂的结果不唯一的现实生活问题。展示出精通函数计算器、尺子和做几何图。希望学生能够得出有逻辑性的结论和证明是正确的答案，并对为什么和怎样解决问题的过程进行解释。学生的解释应该是非常显而易见，对其思想的交流应该是清楚的和简明的。（三）NAEP四年级样题NAEP有许多类似的样题，每个题目都附有以往评价的相关数据，和该题目所涉及的数学领域及要考察的数学能力。1. 上面这个圆形图呈现了比特上周做家庭作业的各科时间分配比例。如果彼特花了2小时做数学家庭作业，那么他上周一共花了多少时间做家庭作业？A 4B 8C 12D 16本题所涉及的数学领域: 数据分析、统计、概率本领域的内容关注收集、组织、阅读、呈现和解释数据的技能。希望学生能够使用统计和统计概念分析和交流解释数据。学生能理解基本的概率概念的意义并利用这些概念解决问题针对情境作出决策。要强调的是对收集数据的适当方法、对数据的视觉探索、呈现数据的方法和基于数据分析的对论据的发展和评价。本题所涉及的数学能力: 问题解决这个问题测量学生解决问题的能力。学生能够用数学的方法来论证问题；决定数据的一致性；使用策略、数据和模型；产生、拓展和修改程序；在新的环境中使用推理；判断解决问题的合理性和正确性。问题解决的情境需要学生综合其所有的数学知识和技能来解决。2.卡尔有3个空鸡蛋盒和34个鸡蛋，如果每个盒子能装12个鸡蛋，那么还要有多少个鸡蛋才能把三个盒子装满？（A）2 （B）3 （C） 4 （D） 6本题所涉及的数学领域:数感、属性和操作这一领域关注学生对数的理解、运算、估算和在真实情景中的应用，期望学生证实对数和运算特性的理解、概括数字模型并验证结果。数感还包括学生对相对量、等值量及怎样用数来表示生活中物体的数和量。本题所涉及到的数学能力：当学生再认或表述问题，决定数据的一致性、使用策略、数据和模型，产生、拓展、修改程序，在新的环境中使用推理，和判断解决方法的合理性与正确性时，他能够用数学的方法来证明问题解决的过程。问题解决的情境要求学生把他所知道的所有的数学概念、程序、推理和信息交流的技能都联系到一起解决问题。3.A说一个图形如果有四条边，那肯定是长方形，G不同意。下面哪个图形说明了G是正确的？ A) B) C) D) 本题所涉及的数学内容领域：几何和空间意识这个内容从学生对几何图形的低水平的辨认延伸到了学生对组合图形的理解（包括12年级的图形转换）。期望学生表现出对非正式结构、推理和在正式与非正式情境下的判断的知识掌握情况。在相似图形中对称思维的运用和间接测量与此密切相关。本题所涉及到的数学能力：问题解决 当学生再认或表述问题，决定数据的一致性、使用策略、数据和模型，产生、拓展、修改程序，在新的环境中使用推理，和判断解决方法的合理性与正确性时，他能够用数学的方法来证明问题解决的过程。问题解决的情境要求学生把他所知道的所有的数学概念、程序、推理和信息交流的技能都联系到一起解决问题。4.找出8 - 3中， 里应该填写的所有数。A)0, 1, 2, 3, 4, 5B)0, 1, 2, 3, 4 C)0, 1, 2 D)5本题所所涉及的数学内容领域： 代数和函数这一领域的内容从4年级简单的模型拓展到8年级的基本的代数概念再到12年级对此进行熟练的分析。希望学生能够使用与其年级水平相当的代数符号解决现实问题，强调在8、12年级学生的理解能力越来越强。再就是使用开放的句子和方程作为有代表性的工具，并用符号转换来培养数感和解决越来越复杂的方程问题。本题所涉及到数学能力： 概念理解通过再认、标识、举例、使用和联系模型、作图表、操作和对概念的不同表述、鉴别和运用规则、知道和运用事实和定义、比较、对比和整合相关的概念和规则，再认、解释、运用标记、符号代表概念的术语，来考察学生是否理解了概念。概念理解反应了学生在情境中推理的能力，包括细致的运用概念的定义、关系和对这二者的表述。5.R沿着一条路走了2公里，R走2公里用了多长时间？A)60 秒B)60 分C)60 小时D)60 天做这道题你用计算器了吗?是否本题所所涉及的数学内容领域：测量这一内容领域集中在学生对测量过程的理解、对数的使用和描述、并对数学与现实生活的进行比较。要求学生能够鉴别特征、收集适当的资料、工具运用测量概念、交流相关的测量观点。4年级的学生应该能够对时间、货币、温度、长度、周长、面积、容量、重量/质量和角进行测量。812年级的学生除了前面的内容，还要能够测量体积、表面积，能够解决涉及与比例有关的问题、综合转换图形，会使用复杂的统计公式。在某些情况下，用真正的测量设施对测量进行评价。本题所涉及到数学能力：概念理解通过再认、标识、举例、使用和联系模型、作图表、操作和对概念的不同表述、鉴别和运用规则、知道和运用事实和定义、比较、对比和整合相关的概念和规则，再认、解释、运用标记、符号代表概念的术语，来考察学生是否理解了概念。概念理解反应了学生在情境中推理的能力，包括细致的运用概念的定义、关系和对这二者的表述。6.日降雨量l (厘米) 周日 0 周一 0 周二6.3 周三 0 周四1.5 周五 0.4 周六0.5 把此处变成一个表格。上表表明了五月份一周内每天的降雨量，那么这一周总的降雨量是多少？A)7.8 cmB)8.7 cmC)12.3 cmD)16.8 cm解这道题时你用计算器了吗？是 否本题所涉及的数学内容领域：数据分析、统计和概率本领域的内容主要关注学生收集、组织、读取、表现和解释数据。可以使用许多不同的方式对此进行评价，进而反映学生使用这些技能解决真实信息的能力要求学生能够用统计方法和统计概念来分析并交流解释数据。要求学生理解基本的概率概念的意义并运用这些概念解决问题或在现实情境中做出决策。强调学生选择适当的收集数据、整理数据、表示数据以及基于数据分析基础上的形成观点的方法。本题所涉及到数学能力：程序性知识当学生准确地选择和运用适当的程序的时候，他能够用数学的语言描述程序性知识。使用具体的模型或符号的方法验证或判断一个程序的正确性；或拓展到修正程序以处理问题设置的内在因素。程序性知识包括阅读能力、制作图表能力、进行几何建构和具有如凑整、排序等非计算性的技能。学生对程序性知识的掌握常常会在他把计算方法和给定的问题情境联系在一起和正确使用运算法则、和在问题设置中交流运算结果的能力中得到反映。第三节 全球学生素养评价项目（PISA）中数学评价介绍PISA 是Programme for International Student Assessment的缩写。PISA是由经济合作与发展组织（Organization For Economic Co-operation And development,缩写是OECD）进行的一项国际性学生评价计划。一、PISA简介（一）PISA概况PISA项目以3年为一个周期，迄今为止已经完成了2次，每次测评都包括阅读、数学和科学三项主要内容，并以测评的时间命名。PISA 2000主要强调阅读领域，PISA 2003的关注点是数学，PISA 2006是科学，PISA 2009又返回到阅读。PISA 2006正处于数据收集阶段，PISA 2009已经启动。该项目希望利用高质量的测评工具对各国15岁学生（相当于我国高一的学生）的阅读素养、数学素养和科学素养进行测查，同时利用学生和学校问卷对这些学生的学习环境进行调查。PISA着眼于学生利用他们的知识和技能应对真实挑战的能力，而非他们对特定课程内容的掌握情况。PISA主要关注学生对过程的掌握、对概念的理解以及在每个领域的不同情境下的解决问题的能力。（二）PISA的组织与管理PISA是一个国际合作项目，这一点不仅可以从它的研究对象、研究目标上看出，其组织机构的结构与构成也充分体现出了该项目的国际性。OECD组建了国际联盟（international consortium），负责PISA测评的设计和实施工作。该联盟由五个机构组成：澳大利亚教育研究中心（Australian Council for Educational Research , ACER ）、CITO Groep、美国教育考试服务中心（Educational Testing Service, ETS ）、日本国立教育政策研究所（National Institute for Educational Policy Research, NIER）和美国的WESTAT研究公司。（WESTAT是一家研究公司，以高质量的统计设计、数据收集和整理及研究分析工作而著称。）PISA管理委员会（PISA Governing Board）负责以OECD的目标为背景确定OECD/PISA的政策优先顺序，并在项目的实施过程中对这些政策的实施进行监控。PISA管理委员会由各国的代表组成，这样可以确保将在测评工具的编制与审核中将文化偏差降至最小。OECD 秘书处（OECD Secretariat）对该项目负有全面的管理责任，监管项目实施的日常工作，作为PISA管理委员会的秘书进行工作，促使各国取得一致意见，还扮演国际联盟和管理委员会中间的对话者。参加PISA项目的各个国家，都建立了国家研究中心（national centre）。国家研究中心的国家项目管理者（National Project Managers, NPMs）对PISA项目在该国内的实施工作进行管理，该中心要对一般的技术问题和执行程序负责。这些管理人员在国际测评工具的开发和修改的过程中发挥了重要作用，确保PISA高质量地实施。国家项目管理者还要对调查结果、分析和报告进行核查和评估。（三）PISA的特点 PISA的核心是回答公共政策问题。政府想知道“我们的教育是否为孩子将来全面参加社会做好了准备？”，“什么教育结构和实践能使劣势的学生得到最大程度的发展？” PISA的基础是终身学习。学生不可能在学校学习中获得使自己终身必需的所有知识。要成为具有终身学习能力的人，必须在关键领域阅读、数学和科学中，打下扎实的基础。同时，学生也必须能够组织协调自己的学习，克服学习中遇到的困难，为此，PISA将不仅评价学生的知识和技能，也要要求学生报告它们的学习状态，动机以及态度。 PISA是一项长期的预测性的监控工具。每次评价的侧重点是不同的，每三年进行一次，全部领域的评价将需要9年完成。 PISA注重评价的是学生在实际生活状态下的能力。以往的评价更关注学校传授的知识和技能。新的PISA的评价侧重于检测学生在学校课程以外知识的运用，可见此项评价较以往的评价拓宽了评价内容，而且更有实用价值。二、PISA中的数学素养评价（一）数学素养的含义数学素养是指在当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位的能力和作出判断的能力。数学素养包括若干运用数学能力的水平层次，以及参与数学活动的能力。从标准数学运算到数学思维能力和观察力。它还要求学生理解和应用一定范围内的数学知识，例如：可能性、变化和增长、空间和形状、定量推理、不确定性和从属关系等。这些包括数学课程的特定领域，如代数、算术和几何。所谓参与数学活动并不仅仅是指狭义上的自然和社会活动，还包括交流、拥有某种立场观点、联系、评价甚至是对于数学的欣赏。这一定义不仅仅局限于对数学的功能性使用，同时也包含了数学的审美和娱乐因素。当前或未来生活包含着与同龄人或亲属之间所发生的个人生活，职业生活以及社会生活。因此PISA对数学素养的定义隐含这样一种关键的能力，即在一系列的领域和情境中提出、形成并解决问题的能力。这个情境可能是从纯粹的数学问题到没有明显的数学结果的具体情境问题，在这种情境里提出问题、解决问题。需要强调的一点是，这个定义并不仅仅关注低水平上的“知道、理解数学”，而且还关注在一系列的整体情境中运用数学。 同时，PISA还关注对学生情感和态度的评价，例如自信、好奇心、兴趣等。虽然这些不是数学能力的组成部分，但却是数学素养的重要前提。在理论上，学生可能在拥有数学素养的同时并不具备诸如态度和情感等方面的素养。但是在实践过程中，正如我们上面所定义的数学素养那样，任何缺少自信、好奇心、兴趣、求知欲的人都不可能参与到这种数学实践活动中来。（二）数学素养的组成 数学素养由两个主要领域和两个次要领域组成。两个主要领域是：数学能力、数学的主要思想；两个次要领域是：数学课程内容、情境与背景。两个主要的领域是为了用来描述评价的范围和熟练程度。而次要的领域则是为了确保评价有足够的覆盖率，并在一系列已选择的评价任务中起到一个平衡作用。有必要指出的是：这四个领域并没有形成一个唯一的分类方案。“数学的主要思想”和“数学课程内容”在描述数学内容时是可选择的。数学能力是指一般的技能和能力，如问题解决，数学语言和数学模型的使用。数学的主要思想体现的是出现在真实情境中的一连串的有相互关联的数学概念。数学课程内容是指在学校课程中所教授的数学内容。对于OECD/PISA来说，数、测量、估计、代数、几何、函数、概率、统计、离散数学都是应该涉及的内容。之所以将数学课程内容作为OECD/PISA中较小的一部分，目的是保证评价中可以包含传统课程内容，然而，事实上OECD/PISA选择的内容是由更重要、更为广泛的数学主要思想决定的。情境与背景指的是数学问题提出所依托的背景，如：教育、职业、公众以及个人背景。（三）数学素养的评价PISA从以下三个维度评价数学素养：1.数学内容。首先它主要指的是在数学思考的意义下具有更广泛意义的数学内容（如可能性、变化和增长、空间和形状、推理、不确定性和从属关系），其次才是有关的具体的课程内容（如数、代数和几何等）。2000年的PISA测试的重点是“阅读素养”，因此数学测试主要集中在变化和增长、空间和形状这两个方面，这样可以使试卷比较全面的反映课程内容，避免给数值计算以过多的权重。2.数学过程。它是根据一般的数学能力来进行定义的，这些能力包括：a. 思考和推理：包括提出数学问题；知道各种数学答案；能够区分不同的数学表达（定义、定理、推理、假设、实例、条件命题）；并且能够理解和掌握所给数学概念的外延和局限。b. 论证：包括知道数学上的依据是什么，它与别的数学推理有何区别；能够理解和评判不同种类的数学论证；能够提出一些启发式的问题（可能会或不会发生什么？为什么？）；能够构建自己的论证方法并将其表达出来。c. 交流：对于数学情境中的某一事件，能够以各种不同的方式（口头的或书面的）将其表达出来，而且能够理解他人对这一事件的陈述（口头的或书面的）。d. 建模：将要建模的情境简化为现实的模型；将“现实”模型翻译成数学模型；根据其现实性来解释该模型；用数学方法来处理该模型；对该模型进行验证；对该模型及其解进行反思、分析和评论；针对该模型及其解进行交流（包括解的局限）；并对建模的过程进行监控。e. 问题提出和解决：能够提出、识别各种不同的数学问题（例：纯数学问题、应用问题、开放题、封闭题）；用各种不同的方法解决不同类型的数学问题。f. 表达：能够解释和辨别数学对象、数学情境的各种不同表达方式，以及不同表达方式之间的相互关系；能够根据不同的情境和目的在各种不同的表达方式之间进行选择和转换。g. 使用符号化、正规化、技术化的语言和运算：能够将符号化、正规化的语言解释翻译成生活中的语言；能够将生活中的语言转换成符号化、正规化的语言；能够掌握带有符号、公式的叙述和表达式；运用变量解方程、进行计算。h. 运用辅助工具：知道并且能够运用各种辅助工具（包括信息工具），并且知道这些辅助工具的局限性。 PISA并不会应用不同的试题来分别考察这些能力，因为在解决一个“现实”数学问题时需要若干的数学能力。因此测试题是根据这些能力的三个水平而组织的：水平一：常规的数学评价中出现的简单计算或定义。这一水平的考察内容是许多标准化考试和国际比较研究中经常采用的，包括关于事实的知识，表述，再现，回忆，按照常规解题的能力。这部分题目多数是选择题，也有少部分开放题。这部分题目多与符号、公式以及计算技巧有关。例1：解方程。例2：7，12，8，14，15，9的平均数是多少？水平二：要求建立知识之间的联系，解决简单的问题。在这个能力水平上，注重的是不同内容与领域之间的联系以及为了解决简单问题而整合信息的能力。学生必须会选择他们的策略和工具。虽然这些问题并非常规问题，但是只需要相对较低水平的数学能力。这部分题目需要学生具有证明的能力，同时也需要建模的能力，以及提出问题、解决问题的能力。例3：你已经驾车行驶了2/3的路程，油箱的油量从一开始的一箱消耗到现在只剩下1/4箱，你能行驶完全程吗？例4：玛瑞和马丁分别距学校3千米和5千米，玛瑞距马丁多远？水平三：包括数学思维、概括和洞察力，要求学生分析、识别一个情境的数学本质，提出自己的问题。这个水平的题目要求学生对情境进行数学化处理，能够从具体的情境中识别、抽象出数学问题并解决：分析，解释说明，形成自己的方法、策略，提供证明，包括论据和概括，这其中还包括批判性思维、分析和反思。在这个能力水平，不仅要求学生能够解决问题而且要提出问题，并能够洞察