第一章 场论和张量初步(3).pdf

第一章 场论和张量初步 梯度 表达式 性质 梯度的方向与等位面的法线方 向重合 且指向增大的方向 大小是 方向上的方向导数 gradijk xyz grad n n 通量 通量 矢量通过面积元 的通量 若为速度 则表示流体的流 量 将在曲面上积分 得 称为矢量通过面的通量 n a ndS a dSadS aVV ndS a ndSS S a ndS aS 散度 表达式 物理意义 表示在点M处的单位体积 内散发出来的矢量的通量 若散度在一点大于零 表明在该点附近流向该点的量少于 自该点流出的量 我们称该点为 源 若散度在一点处 小于零 则表明在该点附近流向该点的量多余自该点流出 的量 称该点为 漏 00 limlim n y ssxz VV a ndSa dS a aa diva VVxyz M diva a 的矢量场称为无源场或管式场 具有以下主要性质 1 无源矢量经地矢量管任一横截面上的通 量保持同一数值 2 矢量管不能在场内发生或终止 3 无源矢量经过张于已知周线L的所有曲面S 上的通量均相同 此通量只依赖于周线L而与所 张曲面S的形状无关 L 无源场及其性质 5 0diva a a 环量 给定一矢量场 在场内任意取一曲 线 作线积分 若是封闭曲线 则环量为 xyz LL a dra dxa dya dz L aa r t L xyz LL a dra dxa dya dz 0 lim L S xyz yy xxzz ijk a dr rota Sxyz aaa aa aaaa ijk yzzxxy 旋度 表达式 物理意义 矢量在某点附近各方向上环量 强弱的程度 进而得到其单位面积平均环量 的极限的大小程度 的矢量场称为无旋场 若 则 1 7 无旋场及其性质 8 0rota agrad 0rota 若 则称为位势场 即位势场与无旋场是等价的 agrad a 0rota 2 2 2 2 2 2 zyx 拉普拉斯算子 微分算子 9 哈密顿算子 梯度 散度 旋度 z k y j x i gradijk xyz div y xz a aa aa xyz yy xxzz aa aaaa aijkrota yzzxxy 张量基本概念 标标 量量 零阶张量 例如 质量 温度 其值与坐标系选取无关 矢矢 量量 一阶张量 例如 位移 速度 e3 k e1 i e2 j x2 y x3 z x1 x u u3e3 u2e2 u1e1 p 矢量在笛卡尔坐标系中分解为 u 3 1 1223 3 1 i i i ueuueu eu e 其中其中u1 u2 u3是是的三个分量 的三个分量 是单位基矢量 是单位基矢量 u 123 e e e 10 矢矢 量量 一阶张量 一阶张量 既有大小又有方向性的物理量 其分量与坐标系选取有关 满 足坐标转换关系 遵从相应的矢量运算规则 张量基本概念 e3 k e1 i e2 j x2 y x3 z x1 x u u3e3 u2e2 u1e1 p 11 矢矢 量量 可推广至张量可推广至张量 的三种记法 的三种记法 实体记法实体记法 u 或 分解式记法分解式记法 分量记法分量记法 张量基本概念 u 3 1 1223 3 1 i i i ueuueu eu e i u 12 张量基本概念 张量张量 是一个物理量或几何量 它由在某参考坐标 系中一定数目的分量的集合所规定 当坐标变换 时 这些分量按一定的变换法则变换 张量是矢量概念的推广 它是一种不依赖于待定 坐标系的表达物理定律的方法 在标量和向量的定义中 强调客观存在的物理量是不依赖 坐标系而存在的不变量 例如质量的大小 速度的方向和 大小等 这种定义方式比较直观易于理解 张量所表示的 物理量也是客观存在的 也具有与坐标系无关的特性 13 张量表示法 由于张量常常包含多个分量 在公式中要把涉及的分量一 一写出必然非常繁杂 因此规定下述张量表示法 A 指标 变量的集合 n xxx 21 n yyy 21 表示为 1 2 i x in 1 2 j yjn 写在字符右下角的 指标 例如xi 中的i 称为下标 写在字 符右上角的指标 例如yj中的j 称为上标 使用上标或下标的涵义是不同的 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母 除非作了说明 一 般取从1到n的所有整数 其中n称为指标的范围 在张量表示法中 将坐标x y z改写成x1 x2 x3 14 张量表示法 B 求和约定 若在一项中 同一个指标字母在上标和下标中重复出现 则 表示要对这个指标遍历其范围1 2 3 n求和 这是一个 约定 称为求和约定 pzazaza 3 3 2 2 1 1 式中式中ai p是常数 这个方程可写成是常数 这个方程可写成 应用求和约定 则这个方程可写成如下形式 应用求和约定 则这个方程可写成如下形式 遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标 不求和 的指标称为自由指标 例 三维空间的平面方程为 例 三维空间的平面方程为 i i a zp 3 1 i i i a zp 15 张量表示法 梯度 散度 全微分 3 312 1 123 y xiiz i ii a aaaaaaa diva xyzxxxxx i x 123 123 3 1 ii i ii ddxdydzdxdxdx xyzxxx dxdx xx 16 gradijk xyz 克罗内克尔 Kronecker 符号 符号定义为 ij 0 1 ij 当ij时 当ij时 17 二阶张量 二阶笛卡尔张量 简称二阶张量 通常用下列几 种符号表示 其中称为二阶张量的分量 张量和其分量都能 用这一符号表示 个数定义一个阶张量 111213 212223 313233 ijij ppp Pppppp ppp ij p 3n n 18 柱坐标 柱坐标 19 柱坐标系中的微分表达式 柱坐标系 直角坐标系中任一点在柱坐标 系中 可以表示为 即柱坐标为 z 20 柱坐标系中的微分表达式 直角坐标系中 哈密顿算符为 柱坐标系中 半径方向单位向量为 e 21 柱坐标系中的微分表达式 从右图中可以看出 而 可以找到与垂直的单位向量为 因而 柱坐标中Z方向与直角坐标系 中的Z方相同 因而有 22 柱坐标系中的微分表达式 联立 将某点分别对求偏导 z 23 柱坐标系中的微分表达式 柱坐标系下的哈密顿算子 24 柱坐标系中的微分表达式 梯度 散度 旋度 25 1 z FFF gradFFeee z 11 r z FrF F divF rrrz 1 rz rz eee rotFF rrz FrFF 22 2 222 11FFF Fr r rrrz 球坐标系中的微分表达式 球坐标 26 r 球坐标系中的微分表达式 球坐标系下的哈密顿算子