3.4 行列式的计算.ppt

3 2行列式的性质 3 3行列式与矩阵的逆 3 4行列式的计算 3 5行列式与矩阵的秩 3 1n阶行列式的概念 第3章行列式 3 4行列式的计算 3 4 1降阶法 内容小结 3 4 2三角化方法 3 4 3归纳法 3 4 4递推法 3 4 5分拆法 3 4 6升阶法 3 29 行列式计算常用方法有 降阶法 三角化方法 归纳法 递推法 分拆法 升阶法等 行列式计算的理论根据 行列式的按行 列 展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则 4 29 例3 9计算四阶行列式 3 4 1降阶法 应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多 然后按该行或该列展开 化为低阶行列式来计算 5 29 解 6 29 解将 A 按第n行展开 得 例3 10计算n阶行列式 7 29 例3 11计算n阶行列式 解 将第2 3 n列都加到第一列得 3 4 2三角化方法 利用行列式的初等变换将其化为三角行列式 8 29 9 29 10 29 例3 12计算 解 先把第一行乘以 1 加到以下各行 再把后面各列加到第一列 11 29 3 4 3归纳法 通过计算低阶行列式 发现某种规律 进而猜想k阶行列式符合这种规律 然后证明k 1阶行列式也呈现此规律 这就是数学归纳法的思想 12 29 证 对行列式的阶数n用数学归纳法 例3 13证明Vandermonde行列式 因为 所以n 2时 等式成立 13 29 假设等式对n 1阶Vandermonde行列式Vn 1成立 n 1阶Vandermonde行列式 则 14 29 因此由归纳法假设得 所以等式对所有n 2都成立 15 29 3 4 4递推法 利用按行 列 展开法则 将n阶行列式化成形式相同的n 1阶行列式 从而建立递推关系 反复应用这个递推关系便可求出n阶行列式 16 29 例3 14计算 解 将Dn按第一行展开 得 Dn 1 Dn 2 17 29 从而 因 故 再把第二个行列式按第一列展开 得 18 29 于是 19 29 3 4 5分拆法 分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积 例3 15计算n阶行列式 解先将Dn的最后一行拆开 得 20 29 将y与z互换 行列式Dn不变 从而 21 29 当z y时 解得 当z y时 由例3 11的结果知 22 29 解 细心观察可以发现 当n 3时 有 例3 16计算行列式 23 29 从而当n 3时 A 0 24 29 当n 1时 显然 当n 2时 有 25 29 3 4 6升阶法 为便于应用行列式的性质 有时在原来的行列式中添加一行一列 即把行列式的阶数增加1 这就是升阶法 升阶必须给计算带来方便 而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等 升阶法也叫加边法 26 29 解将行列式升阶 得 例3 17计算 27 29 将新行列式的第二列依次与第3 4 n列交换 再将新行列式第二列依次与第3 4 n 1列交换 再将新行列式第二列依次与第3 4 n 2列交换 得 将新行列式第一行乘i加到第i行 得 28 29 转置的Vandermonde行列式 将