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文档简介
机器人运动轨迹规划分析与算法 徐向荣马香峰 华东 冶金学院机械系 马鞍山市 北京钢铁学院机 器 人研究所 摘要本文在 和 等人工作的 基础上 提出了一种新的机器人 运动轨迹规划算法 在该算法中 连续路 径由一 组直角坐标下 的参数方 程来描述 时间区间 被分成 段 并且各轨迹 段 的拟合多项式系数采用递推方式 求得 这不仅易 子计 纤机实现 而且计算全也较少 另 外本文对时间最优轨迹规划问题也作了 分析 和研究 并提出了一 种有效的算法 关镜词 操作器 轨迹规划 递推 多项式 引言 轨迹规划是机器人研究中一个非常 重要课 题 国内外已有不少学者在这方面做了大量工 作 一 和 早 在 年就研究 过机器人作 运动 时时间最优轨迹规划 问 题 但作了不少假设和近似 曾 提出 一种机器人手臂沿空间直 线段运动的关节轨迹 规划方法 他首先利用齐次变换矩阵将手部在 直角 坐标下的位置 速度和加速度变换成各关 节的位移 速度和加速度 然后 用插 补法将每 一轨迹段 上关节的位移 速度和加速度规划成 二次平滑函数 方法易于 理解和应用 但 计算量非常大 咭 改进了 的方 法 他采用四元数表示法来描述手部位置 为 减小轨迹误差 他将轨迹离散 成一定数量的点 然后再逐步计算出这些离散点上关节的位移 速度和加速度 后来 和 提出一种 时间最短轨迹规划方法 这 种方法是基于关节 空间的 并考虑了各种实际约束条件其中也包 括动力学约束 但这种方法较复杂 且只 能离 线完成 后来 和 等人提出 了规划机器 人 运动轨迹 的三次样条函数方法 这 种方法的优点是可得到优化 的关节运动规律 但当轨迹中间路径点个数 较多时 此法所需 计算量也就较大 另外这 种方法还要求在轨迹 规划前计算出整个路径 上所有中间点 这也使 得这种方法具有局限性 本文在 和 等 人工作的 基础 上 通过对轨迹规 划的研究 得 收 到本文的 时 间是 年 月 日 到一种机器人 运动 的轨迹规 划算法 在 这 种算法中 各轨迹段 的拟合多项式系数采用递 推方式求得 这不仅 易于计算机实现 而且计 算量也较少 机器 人 运动的轨迹规划算法 机器人 运动也即连 续轨迹 运 动的特点 在于 我们不仅要求机器人到达目标点 而且 必须 沿着我们所希望 的路径在一定精度范围内 移动 本 文采用基 于直 角坐标方案来 规 划 运动轨迹 这种方案就是 轨迹是以机器人手 的直角坐标位 置和姿势对 时 间 的函数来描述 的 为规划轨迹 我们进行如下考虑 假定机器人完成 运动所需时 间为 将 区间 分 成 段 与精度有关 越 大 则精度越高 工 才 公 每个子 区 长度 为 乙 二 一亡 一 在 每 一时 刻 亡 艺 一 尔 首先根据 连续轨 迹的方程和手部姿势要求 计算出机器人手部 坐标系相对 基座参照 坐标系的位置和姿势 再 进 行运动 学反解计算 以求得期望 的关节转角 或位移 和关节角增量 这样共要进行 十 次运动学反解计算 当求得在 一 和 两点 时各关节变量值和 速度值 时 再用一多项 式来 拟 合在区间 一 内关节的 运 动 因此 机器人 运动轨迹的规划比 运动轨迹规 划所需的计算量要大得多 当机器人手部沿连续轨迹运动时 除了位 置要 求外 往往还有速度和加速度要 求 因此 为了使规划出的 各关节运动 规律还 能满足手部 卷 期机器人运动轨迹规划分析与算法 在直角坐标下的速度和加速 度要求 还应进行 运动学速度和加速度反解计算 一般方法是 先求出雅可比矩 阵 然后对其求逆和求导 再由下面两式进行计算 将手部速度和加速度 的约束变换为对关节速度和加速度的约束 甲 切 望 少二望几 二 一 二 一 下 一 式中 为雅可比矩阵 为手部在直角坐 标下 的速度矢量 丫为手部在直角 坐标下的加 速度矢量 由于求雅可比矩阵及其求导 求逆运算极 某复杂 因此这种方法所需计算量很大 为此 本文 采用一种近似方法来考虑机器人 运动 时手部有速度和加速度约束的情况 其条件是 连续轨迹可用参数方程表示 并且参数能反映 手部速度和加速度的变化 现设连续轨迹是以如下参数方程表示 夕 二 山 口 分别表 示手部与基 座参照 坐标系 轴的夹角或欧拉角 为求出各关节的运动规律 二 约 二 为 自由度 对区间 中 每一时刻 二 二 先由式 求出 尽 甲 再据此计算出手部坐标 系相对基座参照坐标系的变换矩阵 寿 二 然后再由 介进行运动学反解计 算求 出对应的 各关节变量值 由于运动学反解 的多解性 对每一个 寿可 能有好几组关节变 量值与之对应 这时可根据各关节工作范围将 无意义解去掉 在剩下的 几组有效解中 再选 择一组与当前形态最接近的解作为各关节变矗 值 口 另外当 乙 才 一 很小时 可用下述近似公式计算各关节 速度和加速度 叮 亡 一召 一 乙 乙叮 乙 其中 是连续轨迹的直角坐标分量 是时间 的函数 它是用来反映手部速度和加 速度变化的 其意义随具体情况而定 可以是 长度或角度等 譬如当机器人手部沿直线运动 时 可取 为运动路径长度 由于机器人 运动时 其手部姿势往往 也随着变化 为能准确描述机器人运动 除了 知道手部位置变化外 还应知道手部姿势的变 化 设在连续轨迹的始点和终点手部的姿势角 为 尽 甲 月 甲 我们假 定姿势角随时 间作线性变化 因 此在时刻 仁 簇 镇 手部姿势角为 一 一 乙忿 式中 乙 口 一 一 爪 当求得在亡 一 和 两点时的各关节的关节 变量值和速度值时 便可规划 亡 一 内关 节运动 为了减少计算量以及使规 划出的关节 运动平稳 在每一子 区 间 艺 一 内用一多 项式来拟合各关节运动 并近似认为在 公 一 艺 内机器 人作 运动 现设在 一 内 拟合关节运动 的多项式为 七 门 忿 二 产 二 五并与 式中 艺 一 为无量纲时间 二 一 一 云 丁一亡亩一 入 艺任 儿 二乙玄 二 一艺 一 为实际 时间 月 任 艺 一 由于区间 共被分成 个子 区间 年 得中间各轨迹段多项 式系数 第艺段多项式系数的确定 镇 一 叼 七 艺 才 由于叮 一 口 已知 而口 一 口 一工又可 用 前面方法递推求出 因此该多项 式系数可由条 件 一 一 及 口 一 求得如下 了 百 七 亡 云 t 一 才 因此对于一 个关节来说需要构造m个多项式 下面我们 采 用 两种方法来规 划各关节的运动 一种是3 一 3 3 一 3 一 5 轨迹 规划法 另一种是4 一 3 一 3 一3 一 4 轨迹规划法 2 13 一 3 一 3 一 3 一 5 轨迹的规划 当对各关节的运动速度无 约束时 始终点 除外 可用这种方法来规 划轨迹 这种方案 就是将最后一个轨迹段用一五次多 项式来 拟 合 其余各轨迹段 用三次 多项式来拟合 即 第 i 段 q a a t a 1 2 a 3 艺 1 3 第i段 口 a a门亡 a 云2 a 艺 1 4 第 竹段 口二 a 二 a a o 茄 s才3 a二 4艺 a t 一5 由于关节在始 点 和终点的位移 速度 加速度 010 qf一 I Q 2 q 一1 几 1 二一 采 一 q 一 In 了 乙 a 门 口 一口 一 一q 一 h 一 咬 一 g 一 九若 乙 第m段多项式系数的确定 口 二 艺 a a 云 a二 t a 3 艺3 a二 艺4 a 艺5 q o 变 f qo 值口 q o g f q f q 及各中间点的关节 q q 一 是已知 的 据此可递 由于口 二一 递推求出 叮 口 口 已知 而q 一 口 二一 可 据此可得 推求出各轨迹段多项式 系数 第1段多项式系数的确定 由 于 叮l t a a 艺 1 a t3 0 q 二一 q 0 q 一 口 二 0 q 一 1 二叼r g 1 q r 口 1 q f 爪m q口 了 1 1 1 口 亡 a Z a 艺 3a 艺2 孔 口 公 Z a 6 a 忿 h 圣 由已知条件 g 0 由这6个条件可求出6个多项式系数如下 口 o q 二一 1 q 0 q 各系数如下 口 o 三口 g 1 q a q 衅 qo 可得 阮 如 q 0 一 一 一一 i 一 2 一 几n 0 0 瓦 一 二 口 q 一 1 9 l 口 一一 一一 20 口 占 占 a口 I J少 了 l 因此 口 g 1 q 二q 1 再以 ql q l q 和q 为已知参数 迹段多项 式 q t 的各系数 便可求得第2轨 以此 递推下去可 a z q 一1 几 二 二 一三 一 石 一 点 2 1 a明3 一4 2 寸 3 a 4 7 c 2 一1 5c l 一c3 一 6 c l 一3c 2 一 一 c 3 c l q r一ao o一ao l一a oZ cZ Qr耘 一a 1 一 Z a二 2 c 召fh 二 一Za 2 求出各轨迹段多项式系数后 关节的运 动 卷 6 期 机器人运动轨迹规划分析与算法 也就规划出来了 2 2 4 一 3 一3 一 一3 一 3 一 4轨迹的规 划 当对各关节在中间点时的速度有约束时 可采用这种 轨迹规划 法 此法 就是将起始段和 结束段均用一四次 多项式来拟合 而中间各段 用三次 多项式来拟合 对机器人手端运动速度 的约束 可 由式 1 或 10 进行速度反解 计算变换为对关节速度的 约束 这样通过对各 关节速度进行 限制 就可达到控 制机器 人手端 运动速度的 目的 下面利 用已知条件导出求各 轨迹段多项式系数的递推公式 第1段多项式系数的确定 叮 t a a t a 艺 a 3才 a 艺峨 第1段多项式的边界条件是 ai q h i一 Zq Z a o a a 第m段多项式系数的确定 q 二 才 a a 云 a Zt a 二 亡3 a 艺4 该段多项式要满足 的边界条件有 q 二 0 q 二一 q 二 1 q a 0 a 一 a 1 q r 口二 1 二 q r 由这些条件可求得各系数如下 q 一 q q 1 q q 0 q 由此可得各系数如下 a n0 q 一l a 1 q 二一1 凡二 a 2 6D r 一 3D 0 S D s a s 4D 2 一S D x 一D 3 a 4 q r ZD 一D Z 0 5 D 3 D 一 q f一a 二o 一a 二l D Z 凡 q r a l D 3 嵘 q Q2 0 q o a 一 z q o 九1 1 a 该 口 瓦 2 a 3 4 c l 一c a2 4 cZ一 3c l Cz Q I 一 Q 一 一Q 1 1 一Q 1 2 九1q z 一a z l 一 2 a1 2 第i段多项 式系数的确定 2 i簇 一 1 Q i 玄 a i ai 艺 a i t ai3t 该段多项式 的边界条件为 qi 0 二q i 一 q 1 q i q 0 q 一 q i 1 口 由这四个条件可求得各系数如下 口 10 q i一1 口门 Q币么 q卜lh 3叹 一3a o 一Za ix一q 儿 求出各关节各轨迹段多项 式系数后 各关 节随 时间的运动规律q i 诊 i 二1 N O 岌T T 也就被确定 2 3 步骤 综 上所述 可得机器人 CP 运动轨迹规划 算法 C P TA 如下 1 输入连续轨迹方程 直 线 圆 圆 弧或椭圆等 x f s f s z f 3 s s s 七 2 输入始终点的各关节速度和加速度 并给定机器人沿连续轨迹运动 时手部姿势变化 规律 a a 零 尽 尽 云 中 艺 3 输入运动时间 T 根据精度要求将 0 T 分 成l n个子 区间 0 艺 t t Z t二 一 才 七 共T 4 置i 0 5 根据连续轨迹方程和手部姿势变化 规律求出时刻 t 时手部坐标系相对基座参照 坐 标系的变换矩阵T么 6 由T介进行运动学反解计算 求出 对应 的各关节 变量 值 q 1 q a 再 年2 2 机器人 1988年 由式 1 或 10 计算对应的各岁亩速度 q门 q 2 5 q i对 7 利用3 一 3 一 3 一 3 一 5 或 4 一 3 一 3 一 3 一 3 一 4 轨迹规划递推公式求出区间以 一 亡 艺二 1 m 内各关节轨迹段多项式 系数 8 置艺二艺 1 如果 云毛川 则返回到 步骤5 否则向下继 续 9 输出各关节运 动规律 2 4 CPT几的特点 本文的机器人 C P 运动轨迹规划算法具有 如下特点 1 由于求轨迹段多项式系数的公式是 以递推形式给出的 因此在规划轨迹前 不必 计算出所有中间点 而是仅算出前面几点 然 后边走边算 递推地求出后面各段 的多项式 系 数 这为实时计算提供了可能性 2 本文算法比L i n 和L uh等人提 出的 三次样条函数方法所需计算量要少 因为 L i n 和Luh的方法要求在规 划轨迹前计算出整个路 径上所有中间点 而且需要解一个 n 一 2 x n 一 2 的三对 角方程组 为中 间路径点个 数 故当 灯 较大时 所需计算量也较大 由 于本文算法所需计算量相对较小 又是以递推 形式给出 因此很易于计算机实现 3 轨迹 的优化处理 及m段 的确定 首先我们定义 在满足各关节速度 加速 度 跃动 je 1 k 和力矩约束条件下 在运动 过程中耗时最少的关节 运动轨迹为时间最优轨 迹 时间最 优轨迹的规划是一个非常 一 复杂问 题 目前国外有不少学 者仍在致力于这个问题 的 研究 为求这个问 题 本文采用一种 与 6 不同的方法 设机器人完成C P运 动所需时问为T 与前 万 i才 斗 同 将时间区间 O 了 分成 段 艺 t t t t 二一 t 价 运用前面 算法C PT A 一可规划 出 区间 艺 一 才 内各关节 的运动规律 口 i t i 二1 2 m j l 2 N 现设各关节速度 加 速度 跃 动 力矩变化的最大极限值分别 为 V 口 么 a m 二 J 5m 二 二 j 1 2 N 为使规划的轨迹有效 q i 和关节力矩 i须 满 足 叮 毛V 二 二 q a i 二 1 口 s 落Jj 二 二 i 1 2 1 s 簇 Q s二 二 夕 1 2 N 下面再设法求出在区间 一 内N个关节 中速度 加速度和跃动的最大值 对于用4 一 3 3 一3 一 3 一 4或3一3 一 3 一3 一 3 一 5 方法规划轨 迹 时 除第1段和第m段外 中间各段都是 3 次 多项式 因 此若设在第i区间 才 一 玄 内第 j关节的最大速度 最大加速度 最大跃动和 最大力矩分别为q s口 q q 二 丁 s二 则 q11口 二 m ax 口 i m ax q t 1 s 云 一 式中t任 t 一 2 N t i 0 0 q 云 q 16 t 艺 1 2 一 m 了 1 任 t 一 t 且满足 口 s t 由于在第2至第m 一 1 段区间中 关节轨 迹是 3 次多项式 所以关节加速度是时间 t的 线性函数 故 qi萝 二 m a x q 二 m ax lq t l t 一 q 17 式中 t任 t 一 t 由于跃动是加速度的变化速率 故有 二 q 一q 一 1 甘 f了m a二 一1一 一 百了 一一 一l歹 1几 f 几 t 一艺 一 18 机器人关节力矩 可 根据动力学方程求出 而机 器人 动力学方程可 表示成 卷6期机器人运动轨迹规划分析与算法 T D q q H q q G q 式中了为N 火 l广义关节力矩 力 矢量 D 动 为N 又 N 惯性矩阵 H q c 1 是N 冰 1 哥氏力 和离心力矢量 G 动是N xl 重力矢量 由于 机器人动力学方程是非线性和强藕合的 因此 关节最大力矩 二 的求解十分复杂 本文不作 具体讨论 现假设第 艺轨迹段第了 关节的最大力 矩为 i 并令 平尹 X q 二 V 口 二 m aX 口 sm a s 19 20 631 m ax q 犷户 d m ax 了 Y矛 m J m Q 争口a 盆 j口 扭 盆 21 22 i二z 2 m j 二 1 2 N 若时 间区间以 一工 亡 间隔 儿 云 一 公 一 变化成 dh 则关节速度 加速度 跃 动将分别增大或缩小工 J l d l d 名倍 因 此 令 d m a X d d 宁 d 宁 d 乞 1 2 二 2 3 得到 d 后 用新 的时 间区间 d h d Z 孔2 d 扭启取代原时 间 区 间仇 1 阮2 儿z n 得到新 的时 一间区 间后 再用前面算法 C P T A 重新规划轨迹 如此反复进行 直 至d i 之 l 2 m 近似等于1为止 d 刘 1 意 味着机器人在第 i轨迹段 内关节运动或关节力 矩已接近极限值 也即 目标函数 T 艺 h 已 接近最小值 此时的关节轨迹就是时 间最优轨 迹 本文求时 间最优轨迹 的方法 与文 献 6 中 从n和L uh 的方法不同之处在于 文献 6 中每 一区间大小的变化会导 致其它所有区间都发生 变化 而本文中每一区间大小的变化则是相对 独立的 不影响其 它区间大小的变化 譬如假 设在区间 艺 一 l 嚣 中 关节夕的最大 速度 a i 二 大于V i 则几 q i a二 V 二 二 l 1 文献 6 的处理方法是将所有子 区间都扩 大人倍 时间区间变成以执 久 h Z 久风 而实际上除 t 一 外 其它区 间不一定需 要变化 这样处理的结果往往导致规划 出的关 节轨迹并不是时间最优轨迹 而本文处理方法 则是 仅仅将区间 t 一 t 间 隔h 扩大成 从 其它区间不变化 因 此新 的 时间区间 就 是执 2 h 入瓦 儿 儿二 这样 处理易于使规划出的轨迹更 逼近于 时间最优轨 迹 时间最优轨迹规划算法可概述如下 步骤1 输入各种已知参数 并假设运动 时间区间为 h h Z h 步骤 2 利用第 2 节 c P TA 算法规划各关 节 轨迹 步骤 3 利用 公式 16 2 3 确定d 艺 1 2 m 步骤4 用区l b J d内 d 声 d声 取代原区f A l h h Z h 步骤5 如果6 侣 1 1 2 则进行步骤6 否则 返回到步骤2 步骤 6 输出时间最优关节运动规律 下面再讨论分段数邢的确定问题 为确定 m 我们可 采用如下近似方法 设机器人运动 时轨迹误差最大允许值为 先任意取既为一值 并将时 间区间 0 T 分成 段 根据连续轨迹方程和手部姿势变化 规律可相应得到n l 1 个路径点在直角坐标下 的位置和 姿势矢量 p p 氏 p 夕 z a 月 印 通过运Z 学 反解计算可得到 1 组关节变量矢量 q a q a l 玉 介 至 此可 利 用如下算法来最后 确定m 步骤 1 利用 C P TA 算法规划各关节在 各 子区间 t 一 t 一 l 的 轨迹 q i 乞 1 2 爪 夕 1 步骤 2 步骤 3 2 置艺二 N 瓦 0 置t 1 二 不 十刃 少 Z 机器人 19as年 步骤4 计算q Q t 口 2 t q 对 艺 步骤 5 用q 进行运动学计算 得到直 角坐标下相应 的路径点位置 与姿势矢量 p 步骤 6 计算 p 与实际运动路径之 间误 差6 步骤7 如果d 簇d 则进行步 骤8 否 则 在 p 一 与 p 之 间增加一中 间点p 并 笠 p X 艺 Y 才 Z 艺 a 艺 尽 t 切 t 瓦 丸 1 步骤 8 如果 艺 m 置 艺二不 1 返回到 步骤3 否 则向下继续进行 步骤9 置m 爪 k 并输出m值 4 结束语 通过前面分析可知 与Li n和 Luh等人方 法相比 本文算法不仅易于计算机实现 而且 计算量 也较少 参考文献 1 CraigJ J In计oduetion 七 or ob o t ie s m eeha n ie s a n d eontrOI M assa ehu t ts Addi s on 一 W es l e y P u bl i s hi n g C o 皿p any 1 056 2 K a h n ME Ro thB Th ene ar 一 m i n i m u mtim e eon t r o l o f o p en f o o p ar tie u la t e dkin ema ti ee h a 10 5 ASME T rans 丁 ournalo f Dy na血e Sys t e皿s M e as u r e m en t an dC on t r o l 1 了1 3 3 16 4一172 3 Paul RP M姐ipulat o rCarte城an path IE E ETransaetion s cnSys t e ms M an e o n t r o l an dC y be r ne t i e s l 了 S MC 一 2 1 7 0 2一7一1 4 T ay lo rRH Pla n ning a n d exe eu桩on of s t r砚 ghtl in e口anipulat o r trajeeto过es IB M Journ al of Re努ar c hand De讹I Opmeot x o7 2 3 4 2 一连3 6 5 KimBK Shi n KG A ne f ici e nt minim u垃 t i m erobot p a t hplan ning u nd er real is t ie eon d i 桩on s In P roeof1054 Am er iean C o ntrol Co n fer e nee S an D i e g 1054 20 一503 6 LinCS Ch an g PR an dL u hJYS F or m u l a t i onan d o p七imtzat ion o f eu bie polynomial jo i nt tra jector i es for indust al ro b o t s IEEE T ransae t i o n on A u t o m a t i e C on t r o l x日5 3 A C 2 8 12 工 0 6 6 一1073 7 Luh J Y S Li n CS A P p r ox im a t e j o i n tt r a j ee t or i es f ore on t r o l o fi n d us tr i a l r o bo t sa l o n g C ar t e溢anpaths IE E ET ran s Sy t e田 M an an dC vb e r n e t ie s 2 954 SMC 一 2 4 3 444 一450 5 Luh J Y S L i n CS o ptim u m p a th p l ann i n g f or m ee h an i ea lm an i p u l a t ors ASME T rans J ourn a l o fD y na m i e S v s t e m s M eas u r e m en t an dC on t r o f 1 051 10 2 2 42 一151 Ch a n dS D ot y KL 0 皿一 l i ne p o ly no 血al t ra j ee t o r i es f o rr o b o tm a刀ipu l毗ors T heInter乃a七 ion alJournal of Robot ies R esea reh 2 95 5 峨 2 3 8一48 10 SaharG H o ll e r b ae h JM P l ann i n g o f 也in卜 um 一 t im e t r a j ec t o r i es f o r ro b o t a rm s Th e I n t e r na t i o皿a lJo u扭al of Roboties Res e ar c h 1 056 5 3 o一100 ANAL丫5 15 A N QA LG O R IT H M F O R 下R A E C T O R Y尸LANN NG O F RO B O T
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