高中物理知识速查手册(万有引力定律天体运动).pdf

一 万有引力定律 1 开普勒三定律 所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦点上 对每个行星而言太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积 所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同 即常量 T R 2 3 常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小 2 万有引力定律 1 自然界的一切物体都相互吸引 两个物体间的引力的大小 跟它们 的质量乘积成正比 跟它们的距离的平方成反比 2 公式 2 21 r mm GF G 6 67 10 11 N m2 kg2 3 适用条件 适用于相距很远 可以看做质点的两物体间的相互作 用 质量分布均匀的球体也可用此公式计算 其中 r 指球心间的距离 3 三种宇宙速度 1 第一宇宙速度 V 1 7 9Km s 人造卫星的最小发射速度 2 第二宇宙速度 V 2 11 2km s 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 3 第三宇宙速 度 V 3 16 7km s 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 注意 V 1 7 9Km s 是最小的发射速度 但是是最大的运行速度 当 V 1 7 9Km s 时 卫 星近表面运行 V 运 7 9Km s 当 7 9Km s v 射 11 2km s 时 卫星在离地较远处运行 v 运 7 9km s 二 万有引力定律的应用 1 开普勒三定律应用 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等 这就是开普勒第三 定律 也叫周期定律 我们把行星的椭圆轨道近似地当作圆 若用 r 代表轨道半径 T 代表公 转周期 则开普勒第三定律的表达式为 r 3 T 2 k 因用周期 T 表示 则把 2 2 4 T an 代入基本方程 2 2 2 4 T m r Mm G 即得 k GM T r 22 3 4 显然这个量 k 只与恒星的质量 M 有关 而与行星其他任何物理量均无关 2 各物理量与轨道半径的关系 若已知人造卫星绕地心做匀速率圆周运动的轨道半径为 r 地球的质量为 M 由 n ma r Mm G 2 得卫星运行的向心加速度为 22 1 rr M Gan 由 r v m r Mm G 2 2 得卫星运行的线速度为 rr GM v 1 由rm r Mm G 2 2 得卫星运行的角速度为 2 33 1 r r GM 由r T m r Mm G 2 2 2 得卫星运行的周期为 2 3 32 4 r GM r T 由 r v m r Mm G 2 2 得卫星运行的动能 rr GM mEk 1 2 1 即随着运行的轨道半径的逐渐增大 向心加速度 a n 线速度 v 角速度 动能 E k 将逐 渐减小 周期 T 将逐渐增大 3 会讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况 4 会用万有引力定律求天体的质量 通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R 就 可以求出天体的质量 M 以地球的质量的计算为例 1 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期 T 和半径 r 根据 r T m r mGm 月 月地 2 2 2 得 2 32 4 GT r m地 2 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和半径 r 根据 r v m r mGm 月 月地 2 2 得 G v rm地 2 3 若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度 v 和周期 T 根据 T vm r mGm 月 月地 2 2 和 r v m r mGm 月 月地 2 2 得 G Tv m地 2 3 4 若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g mg r mGm地 2 得 G gR m地 2 此式通常被称为黄金代换式 5 会用万有引力定律计算天体的平均密度 通过观测天体表面运动卫星的周期 T 就可以求出天体的密度 6 会用万有引力定律求卫星的高度 通过观测卫星的周期 T 和行星表面的重力加速度 g 及行星的半径 R 可以求出卫星的高度 7 会用万有引力定律推导恒量关系式 8 会求解卫星运动与光学问题的综合题 9 二个特殊卫星 1 通讯卫星 同步卫星 通讯卫星是用来通讯的卫星 相当于在太空中的微波中继站 通过它转发和反射无线电信号 可以实现全地球的电视转播 这种卫星位于赤道的上空 相对于地面静止不动 犹如悬在空 中一样 也叫同步卫星 要使卫星相对于地面静止 卫星运动的周期与地球自转的周期必须相等 即为 24 小时 卫 星绕地球的运动方向与地球自转方向必须相同 即卫星的轨道平面与地轴垂直 又因为卫星 所需的向心力来自地球对它的引力 方向指向地心 因此同步卫星的轨道平面必须通过地心 即与赤道平面重合 因已知 T 将r T an 2 2 4 代入基本方程 2 2 2 4 T m r Mm G 得 2 2 4 GMT r 若已知地球的半径 R 地 6 4 10 6m 地球的质量 M 6 0 10 24 kg 用 h 表示卫星离地的高 度 则 R 地 h r 4 2 10 7m 即 h 3 6 10 7m 所有的同步卫星均在赤道的上空离地为 3 6 107m 的高处的同一轨道上以相同的速率运行 当然同步卫星间绝不会相撞 2 近地卫星 把在地球表面附近环绕地球做匀速率圆周运动的卫星称之为近地卫星 它运行的轨道半径可 以认为等于地球的半径 R 0 其轨道平面通过地心 若已知地球表面的重力加速度为 g 0 则 由 0 2 0 R v mmg 得 00R gv 由 0 2 0 Rmmg 得 0 0 R g 由 0 2 2 0 4 R T mmg 得 0 0 2 R g T 若将地球半径 R 0 6 4 10 6m 和 g 0 9 8m s 2 代入上式 可得 v 7 9 10 3m s 1 24 10 3 rad s T 5074s 由于 r v 1 2 3 1 r 和 2 3 1 r T 且卫星运行的轨道半径 r R 0 所以所有绕地球做匀速率圆周运动的卫星线速度 v 7 9 10 3m s 角速度 1 24 10 3 rad s 而周期 T 5074s 特别需要指出的是 静止在地球表面上的物体 尽管地球对物体的 重量也为 mg 尽管物体随地球自转也一起转 绕地轴做匀速率圆周运 动 且运行周期等于地球自转周期 与近地卫星 同步卫星有相似之处 但它的轨道平面不一定通过地心 如图 2 所示 只有当纬度 0 即物 体在赤道上时 轨道平面才能过地心 地球对物体的引力 F 的一个分力是使物体做匀速率圆 周运动所需的向心力 f m 2r 另一个分力才是物体的重量 mg 即引力 F 不等于物体的重量 mg 只有当 r 0 时 即物体在两极处 由于 f m 2r 0 F 才等于 mg 10 人造卫星失重问题 11 卫星的变轨运动问题 卫星由低轨道运动到高轨道 要加速 加速后作离心运动 势能增大 动能减少 到高轨道作圆周运动时速度小于低轨 道上的速度 当以第一宇宙速度发射人造卫星 它将围绕地球表面做匀速圆周运动 若它发射的速度介于 第一宇宙速度与第二宇宙速度之间 则它将围绕地球做椭圆运动 有时为了让卫星绕地球做 圆周运动 要在卫星发射后做椭圆运动的过程中二次点火 以达到预定的圆轨道 设第一宇 宙速度为 v 则由第一宇宙速度的推导过程有 G m 在地球表面若卫星发射的速度 v 1 v 则此时卫星受地球的万有引力应小于卫星以 v 1 绕地表做圆周运动所需的向 心力 m 故从此时开始卫星将做离心运动 在卫星离地 心越来越远的同时 其速率也要不断减小 在其椭圆轨道的 远地点处 离地心距离为 R 速率为 v 2 v 2 v 1 此 时由于 G m 卫星从此时起做向心运动 同时速率 增大 从而绕地球沿椭圆轨道做周期性的运动 如果在卫星 经过远地点处开动发动机使其速率突然增加到v 3 使G m 则卫星就可以以速率 v 3 以 R 为半径绕地球做 匀速圆周运动 同样的道理 在卫星回收时 选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速率突然 减小 卫星将会沿椭圆轨道做向心运动 让该椭圆与预定回收地点相切或相交 就能成功地 回收卫星 通过以上讨论可知 卫星在某一圆轨道上做匀速圆周运动时 其速率为一确定值 若卫 星突然加速 或减速 则卫星会做离心 或向心 运动而离开原来的轨道 有人提过这样 的问题 飞船看见前方不远处有一和它在同一轨道上同向做圆周运动的卫星 此时若仅使它 速度增大 能否追上卫星 若飞船加速 则它会离开原来的圆轨道 所以不能追上 它只有 2 R Mm R v 2 2 r GMm R v 2 1 2 R Mm R v 2 2 2 R Mm R v 2 3 图 6 5 6 图 6 5 5 在较低的轨道上加速或在较高的轨道上减速 才有可能遇上卫星 四 万有引力问题全解 1 人造地球卫星的轨道是任意的吗 在地球上空绕地球运行的人造地球卫星所受的力是地球 对它的万有引力 卫星即可绕地球做圆周运动 也可绕地 球做椭圆运动 在中学阶段我们主要研究绕地球做匀速圆 周运动的卫星 卫星绕地球做匀速圆周运动时靠地球对它的万有引力充 当向心力 地球对卫星的万有引力指向地心 而做匀速圆 周运动物体的向心力时刻指向它做圆周运动的圆心 因此 卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合 而这样 的轨道有多种 其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道 和通过两极点上空的极地轨道 当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道 只要圆心 在地心 就可能是卫星绕地球运行的圆轨道 如图 6 5 2 2 人造卫星的运行周期可以小于 80 min 吗 1 从卫星的周期讨论 设人造地球卫星的质量为 m 运转周期为 T 轨道半径为 r 地球的质量为 M 万有引力常量 为 G 根据卫星绕地球转动的向心力就是地球对它的引力 有 m G 可得 T 由周期公式可以看出 卫星轨道半径 r 越小 周期也越小 当卫星沿地球表面附近运动时 即 r R 地 6 4 10 6 m 周期最短 此时 T 5 1 10 3 s 85 min 显然 T 大于 80 min 所以想发射一周期小于 80 min 的卫星是不可能的 2 从卫星运动的轨道半径讨论 假设卫星的周期为 80 min 则轨道半径 r 3 R 3 2 3 10 20 m 3 得出 r 6 2 10 6 m R 地 显然不能发射一颗这样的卫星 3 从地球提供的向心力讨论 地球对卫星所能提供的向心力为 F G T 80 min 时卫星所需的向心力为 F 当 r R 地 6 4 10 6 m 时 2 2 4 T r 2 r Mm Gm r 32 4 2411 362 100 61067 6 1014 6 14 3 4 2 2 4 GMT 2 2 4 GMT 2 22411 14 3 4 6080 100 61067 6 2 r Mm 2 2 4 T mr 图 6 5 2 F N 9 8 mN F N 10 96mN 当 r R地时 地球对卫星所能提供的向心力最大 9 8mN 又由上分析可知 因此 要发射一颗周期为 80 min 的卫星是不可能的 4 从卫星的环绕速度讨论 设卫星绕地球运转的环绕速度为 v 则有 G 得出 v 由公式可知 r 越小环绕速度越大 当 r R地 6 4 10 6 m 时 卫星环绕地球的速度最大 vmax 7 9 10 3 m s 若地球卫星的周期为 80 min 则其绕地球的线速度为 v 8 4 10 3 m s 由此可见 v v max 显然不可能发射一颗周期为 80 min 的地球卫星 3 卫星的发射速度和运行速度是一回事吗 卫星的发射速度是指在地面 发射站 提供给它的速度 上面所说的第一宇宙速度 第二宇 宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速度 当卫星在预定轨道上绕地球做匀速圆周运动时的 速度称为运行速度 只有以第一宇宙速度发射的人造卫星绕地球表面运行时 运行速度与发 射速度相等 而对于在离地较高的轨道上运行的卫星 其运行时的速度与地面发射速度并不 相等 因而到达预定轨道后其运行速度要比地面发射速度小 实际上按照万有引力充当向心 力 则由 G m 得 v 可知 卫星绕地球的运行速率仅由其轨道半径来决 定 轨道半径越大即离地越高 其运行速度越小 但我们又知道要想将卫星发射到更高的轨 道 在地面发射时需要提供给卫星的速度越大 这与在越高轨道上运行速度越小并不矛盾 因为其中一个指运行速度 一个指发射速度 由于卫星绕地球可能的圆轨道中半径最小值为 地球半径 R 因此由 v 得到的近地卫星的环绕速度也就是第一宇宙速度 是所有绕 地球做匀速圆周运动的卫星的最大运行速度 因此 关于第一宇宙速度有三种不同说法 第 一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小发射速度 是环绕地球表面的近地卫星的环绕速度 是地球卫星的最大运行速度 4 赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星有什么区别 在有的问题中 涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较 地球赤道上的物体随地球 自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心 而且二者做匀速圆周运动的半径均可看 作地球的半径 R 因此 有些同学就把二者混为一谈 实际上二者有着非常显著的区别 26 2411 104 6 100 61067 6 m 2 2 4 T mr 2 62 6080 104 614 34 m 向 F FF 2 r Mm r mv2 r Gm 地 R GM 6 2411 104 6 100 61067 6 T R地 2 6080 104 614 32 6 2 r Mm r v 2 r GM R GM 对它们做圆周运动的向心力的分析 前面已经有过讨论 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供 但由于地球自转角速度不大 万有引力并没有全部充当向心力 向心力只占万有引力的一小 部分 万有引力的另一个分力是我们通常所说的物体所受的重力 对于赤道上的物体 万有 引力 重力 向心力在一直线上时 重力大小等于万有引力和物体随地球自转做匀速圆周运 动所需的向心力之差 它的向心力远小于地球对它的万有引力 而围绕地球表面做匀速圆周 运动的卫星 由于离开了地球 它做圆周运动时万有引力全部充当向心力 对它做圆周运动的运动学特征的分析 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时 由于与地球保持相对静止 因此它做圆周运动 的周期应与地球自转的周期相同 即 24 h 当然也可由此计算出其线速度和角速度 而绕 地球表面运行的近地卫星 其线速度即我们所说的第一宇宙速度 它的周期可以由公式求出 G mR 求得 T 2 代入地球的半径 R 与质量 可求出地球近地卫星绕 地球的运行周期 T 约为 84 min 此值远小于地球自转周期 综上所述 赤道上随地球自转而做圆周运动的物体与近地卫星的区别可以概括为 赤道上 物体受的万有引力只有一小部分充当向心力 另一部分作为重力使得物体紧压地面 而近地 卫星的引力全部充当向心力 卫星已脱离地球 赤道上 地球上 的物体与地球保持相对 静止 而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态 5 同步卫星 到目前为止 世界各国已成功发射了许多颗人造地球卫星 并在各个领域中都发挥着巨大的 作用 在这些卫星当中 有一类特殊的卫星 即人造地球同步卫星 所谓地球的同步卫星就 是相对于地球静止的卫星 该卫星始终处在地球表面某一点的正上方 其轨道通常称为地球 静止轨道 人造地球同步卫星在无线通讯中起着无可替代的重要作用 如图 6 5 4 所示 假设卫星在轨道 B 上跟着地球的自转同步地做匀速圆周运动 卫星运动 的向心力由地球对它的引力 F 引 的一个分力 F 1 提供 由于另一分力 F 2 的作用将使卫星轨 道靠向赤道 故只有在赤道上空同步卫星才可能在稳定的轨道上运行 图 6 5 4 由 G m 2 R h m 2 R h 得 h R T 为地球自转周期 M R 分别为地球 质量 半径 代入数值得 h 3 6 10 7 m 由此可知 要发射地球同步卫星 必须同时满足三个条件 卫星运动周期和地球自转周期相同 T 24 h 8 64 10 4 s 卫星的运行轨道在地球的赤道平面内 卫星距地面高度有确定值 约 3 6 10 7 m 同步卫星的发射简介 发射同步卫星有两种方法 一种是直线发射 由运载火箭把卫星发射到 36000 km 的赤道上 空 然后做 90 的转折飞行 使卫星进入轨道 另一种方法是变轨发射 即先把卫星发射 2 R Mm 2 2 4 T GM R3 2 hR Mm T 2 3 2 2 4 GMT 到高度为 200 300 km 的圆形轨道上 这条轨道叫停泊轨道 当卫星穿过赤道平面时 末级 火箭点火工作 使卫星进入一条大的椭圆轨道 其远地点恰好在赤道上空 3600 km 处 这条 轨道叫转移轨道 当卫星到达远地点时 再开动卫星上的发动机 使之进入同步轨道 也叫 静止轨道 在第一种发射方法的整个发射过程中 运载火箭在入轨前始终处于动力飞行状态 要消耗大量燃料 还必须在赤道上建立发射场 有一定的局限性 第二种发射方法 运载火 箭消耗的燃料少 发射场的位置也不受限制 目前 各国发射同步卫星都采用第二种方法 但这种方法在操作和控制上都比较复杂 由于地球的同步卫星的运转周期是一定值 因此 各国所发射的地球同步卫星都只能定点于 赤道上空约 3 6 10 4 km 处 它们的线速度 角速度也一样大 但各国的同步卫星定点于 不同径度点的上方 我国于 1984 年 4 月 8 日成功发射的一颗地球的同步卫星 8 天后定位 于东经 125 的赤道上空 我国是少数几个能独立发射同步卫星的国家之一 6 人造卫星简介 晴朗的夜空 当你抬头仰望满天星斗时 有时会看到一种移动的星星 它像天幕上的神行 太保匆匆奔忙 它们是什么星 在忙些什么 这种奇特的星星并不是宇宙间的星球 而是人类挂上天宇的明灯 人造地球卫星 它们巡 天遨游 穿梭往来 忠实地为人类服务 给冷寂的宇宙增添了