高中数学选修2-2(人教A版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习及答案.pdf

描述 高中数学选修2 2 人教A版 知识点总结含同步练习题及答案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3 1 数系的扩充和复数的概念 一 学习任务 1 了解数系的扩充过程 2 理解复数的基本概念 代数表示法以及复数相等的充要条件 二 知识清单 复数的概念 复数的几何意义 三 知识讲解 1 复数的概念 复数的概念 为了把数的范围进一步扩充 人们引入了一个新的数 叫虚数单位 且规定 可与实数进行四则运算 且原有的加 乘运算律仍成立 我们把集合中的数 即形如 的数叫做复 数 complex number 其中 叫做虚数单位 imaginary unit 全体复数所成的集合叫 做复数集 set of complex numbers 复数通常用字母表示 即 这一表示形式叫做复数的代数形式 algebraic form of complex number 对于复数 都有 其中的与 分别叫做复数的实部 real part 与虚部 imaginary part 对于复数 当且仅当时 它是实数 当且仅当时 它是实数 当 时 叫做虚数 当且时 叫做纯虚数 复数相等的充要条件 在复数集中任取两个数 与 相等的充要条件是且 复数的分类 复数 可以分类如下 i 1i2 i C a bi a b R a biab R i C z z a bi ab R z a bi ab R a b z a bi b 0 a b 0 0 b 0 a 0 b 0 C a bi a b R a bic diabcd R a bi c di a c b d z a biab R 复数a bi a b R 实数 b 0 虚数 b 0 纯虚数 a 0 非纯虚数 a 0 例题 描述 2 复数的几何意义 根据复数相等的定义 任何一个复数 都可以由一个有序实数对唯一确定 因 为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应 所以复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应 点的横坐标是 纵坐标是 复数可用点表示 这个建立了直角坐标系 来表示复数的平面叫做复平面 轴叫做实轴 轴叫做虚轴 显然 实轴上的点都表示实数 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 设复平面内的点 表示复数 连结 显然向量 由点唯一确定 反过 下列命题中 正确的个数是 若 则 的充要条件是 若 则 若 则 A B C D 解 A 由于 所以 不一定是复数的代数形式 不符合复数相等的充要条件 故 不 正确 由于两个虚数不能比较大小 所以 不正确 当 时 成立 所以 不正确 x y Cx yi 1 ix y 1 a b Ra i b i 0 x2y2x 0y 0 0123 x y Cx yi x 1y i 0 x2y2 已知 若 则 解 根据复数相等的充要条件 得 整理得 所以 将其代入 得 所以 所以 3 4iz1 3m 1 m 6 i m n R z2n2n2 z1z2 nm 4 3m 1 3 n2 m 6 4 n2 2m 4m 2 3m 1 3n2 4n2n 2 2 4nm 2 实数 为何值时 复数 分别是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 解 由题复数 可整理为 1 当 时 即 或 2 当 时 是虚数 即 且 3 当 时 是纯虚数 解得 4 当 时 解得 k 1 i 3 5i k 2 2 3i k2 zz 3k 4 5k 6 ik2k2 5k 6 0k2z Rk 6k 1 5k 6 0k2zk 6k 1 3k 4 0 k2 5k 6 0 k2 zk 4 3k 4 0 k2 5k 6 0 k2 z 0k 1 z a bi a b a b Z a b z a bi Z a b x y Z z a bi OZ OZ Z 例题 来 点 相对于原点来说 也可以由向量 唯一确定 因此 复数集 与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的 实数 与零向量对应 我们常把复数说成点或 说成向量 并且规定 相等的向量表示同一个复数 设复数 对应的向量 则向量 的长度叫做复数 的模 或绝对值 记作 计算公式为 如果 则 Z OZ C 0 z a bi Z OZ a biab ROZ OZ a bi a bi a bi a2b2 b 0 a bi a 设复数 和复平面上的点 对应 求 满足什么条件才能使点 分别位于 1 实轴上 2 虚轴上 不含原点 3 上半平面 含实轴 4 左半平面 不含虚轴 解 1 当 时 则 在实轴上 2 当 且 时 则 在虚轴上 不含原点 3 当 时 位于上半平面 含实轴 4 当 时 位于左半平面 不含虚轴 z a bi a b R Z a b ab Z a b b 0z a RZ a 0b 0z bi b 0 Z b 0Z a 3 2 z1z2 设 为纯虚数 且 求复数 解 因为 为纯虚数 所以设 则 又 由 得 解得 所以 z z 1 1 i z zz aia R且a 0 z 1 ai 1 1a2 1 i 2 z 1 1 i 1a2 2 a 1z i 四 课后作业 查看更多本章节同步练习题 请到快乐学 高考不提分 赔付1万元 关注快乐学了解详情 答案 1 已知复数 若 是纯虚数 则实数 等于 A B C D B z 1 a 1 ia2za 21 1 1 答案 2 若 是虚数单位 且 则 的值为 A B C D D ab Rib a 2 i 1 ia b 1234 答案 3 当 时 复数 在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 D m 1 2 3 m 3 i 2 i 答案 解析 4 在复平面内 复数 对应的点分别为 若 为线段 的中