立体几何2.1.2.doc

新希望教育培训学校资料平面与空间直线和空间中的平行关系一、重难点：1平面基本性质的理解与应用；文字语言、图形语言、符号语言三种语言的相互转化及两异面直线的判定与夹角。2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。二、基础知识(一)、平面的基本性质及其推论1、 平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等。2、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上。点不在直线上。点在平面内。点不在平面内。直线、交于点。直线在平面内。直线与平面无公共点。直线与平面交于点。平面、相交于直线。（平面外的直线）表示或。3、平面的基本性质公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。（二）、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：。3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。6、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：。7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作。8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。例题1、 下列推断中，错误的是（ ）。 CA BC D，且A、B、C不共线重合2、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”。（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）。（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）。（3）两条相交直线可以确定一个平面（ ）。（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）。（5）三条平行直线可以确定三个平面（ ）。（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）。（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）。（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）。 。3、如下图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（ ）。A B C D解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE= a DE=a，cosBDE= 。答案：C4、正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是_。 答案：60解析：连结、FD，则由正六棱柱相关性质可得，在EFD中，EF=ED=1，FED=120，FD=,在和中，易得= =，是等边三角形， =60。而即为与所成的角。考点一：点、线共面问题题型：判断和证明点、线共面例题、 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23。求证：EF、GH、BD交于一点。分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得EGAC，HFAC，所以EGHF, 直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P，因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线AC上即可。事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PBD。证法一：(几何法)连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC，又DFFC=23，DHHA=23，HFACGEHF。故G、E、F、H四点共面。又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P。则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BD。EF、GH、BD交于一点。证法二：（向量法）由 ，从而故G、E、F、H四点共面，又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为P。则P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCD=BD。EF、GH、BD交于一点。反思归纳证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线。考点二：异面直线题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离例题、A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角。（1）证明：用反证法。假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线。（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，求得FEG=45，即异面直线EF与BD所成的角为45。反思归纳 证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）证算”注意，异面直线所成角的范围是（0，。练习、长方体中，已知AB=a，BC=b， =c，且ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与；AB与；AB与。（2）异面直线与AC所成角的余弦值。（1）解：BC为异面直线AB与的公垂线段，故AB与的距离为b。为异面直线AB与的公垂线段，故AB与的距离为c。过B作BE，垂足为E，则BE为异面直线AB与的公垂线，BE=，即AB与的距离为。（2）解法一：连结BD交AC于点O，取的中点F，连结OF、AF，则OF，AOF就是异面直线与AC所成的角。AO=，OF= =，AF=，在AOF中，cosAOF=。（三）、直线与平面平行1直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类符号表示为: 2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：3. 直线与平面平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：（四）、平面与平面平行1平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行2图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的3平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行推理模式：，平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行推理模式：4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ，a，b，则。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a则（4）平行于同一个平面的两个平面平行。5两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：，a ，则a。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：，=a，=b，则ab。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则a。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（）、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换例题 基础巩固训练1、若两条直线m, n分别在平面、内，且/，则m, n的关系一定是（ ）。 D（A）平行 （B） 相交 （C）异面 （D）平行或异面2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( ). CA异面B相交C平行D不能确定3、a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（ ）。 （如图） DA过A有且只有一个平面平行于a、b B过A至少有一个平面平行于a、bC过A有无数个平面平行于a、b D过A且平行a、b的平面可能不存在4、在正四棱柱中，分别为棱、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件 时，有平面 点在线段上。5、a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： 其中正确的命题是_（将正确的序号都填上）。 。考点一：线面平行的判定与性质题型：证明线面平行与线面平行性质的运用例题、 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形MNPQ，PQ平面BCE 而MN平面BCE，MN平面BCE证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE 又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE 又MN平面MNGMN平面BCE。反思归纳证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行。练习、 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O为AB的中点，Q为AN的中点 a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQP为MN的中点反思归纳本题重点考查直线与平面平行的性质考点二：面面平行的判定与性质题型：证明面面平行与面面平行性质的运用例题、 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，求证：平面EFG平面MNQ分析：只要证明平面EFG内的两条相交直线EF，FG分别与平面MNQ内的两条直线QN和MQ平行即可证法一：由已知EFAB1，AB1DC1，DC1QN，EFQN，同理FGMQ所以，面EFGMNQ证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，则E（0，0，1），F（1，0，2），G（0，1，2），M（2，1，0），N（2，2，1），Q（1，2，0）=（1，0，1），=（1，0，1），=（-1，1，0），=， EFQN，FGMQ，又EFFG=F，QNMQ=Q， 所以，平面EFG平面MNQ。练习、如图，在四棱锥P ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行. 证明： O、M分别是AC、PA的中点，连接OM，则OM/PC。OM平面PCD，PC平面PCD，OM/平面PCB连结ON，则ON/AB，由AB/CD，知ON/CDON 平面PCD，CD 平面PCD，ON/平面PCD又OMON=O，OM、ON确定一个平面OMN由两个平面平行的判定定理，知平面OMN与平面PCD平行，即过D、M、N三点的平面与侧面PCD平行。反思归纳 本题考查线线、线面、面面位置关系相互转化的基本能力。若两条相交直线分别与某已知平面平行，则这两条相交直线确定的平面平行于已知平面。（二）、强化巩固训练1、如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF平面ABCD 。证法一：分别过E、F作EMAB于点M，FNBC于点N，连结MNBB1平面ABCD，BB1AB，BB1BCEMBB1，FNBB1EMFN 又B1E=C1F，EM=FN故四边形MNFE是平行四边形 EFMN又MN在平面ABCD中，EF平面ABCD证法二：过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则=B1E=C1F，B1A=C1B，= FGB1C1BC 又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD而EF在平面EFG中， EF平面ABCD【点评】证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行。2、已知正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58。（1）求证：直线MN平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值。（1）证明：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE ADBC，ENAN=BNND。 又BNND=PMMA，ENAN=PMMA。MNPE。又PE在平面PBC内，MN平面PBC。（2）解：由（1）知MNPE，MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则PEO为PE与平面ABCD所成的角 由正棱锥的性质知PO=由（1）知，BEAD=BNND=58， BE=在PEB中，PBE=60，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=。故MN与平面ABCD所成角的正弦值为。【点评】：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍。3、正方体ABCDA1B1C1D1中 (1)求证：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD。A1AB1BC1CD1DGEF证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD， 又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD【点评】 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行。 3、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）。 D （A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形4、下列说法正确的是 。 空间四边形的对角线一定不相交 四个角都是直角的四边形一定是平面图形 两两相交的三条直线一定共面 在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面5、若a，b是异面直线，则只需具备的条件是（ ）。 答案：CA.a平面，b平面，a与b不平行B.a平面，b平面，=l，a与b无公共点.C.a直线c，bc=A，b与a