江苏2018版高考数学复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和教师用书文苏教版.docx

第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列.(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)an是等差数列.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()1.(教材改编)设Sn为等差数列an的前n项和，若a33，S9S627，则该数列的首项a1 .答案解析由得解得a1.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，则这五个数的积为 .答案解析设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d，由已知条件得解得所求5个数分别为，1，或，1，.故它们的积为.3.(2016全国乙卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100 .答案98解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98.4.设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a7 .答案28解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5.若等差数列an满足a7a8a90，a7a103)，Sn100，则n的值为 .答案10解析由SnSn351，得an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.7.(2015安徽)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于 .答案27解析由题意知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，S99191827.8.已知数列an中，a11且(nN*)，则a10 .答案解析由已知得(101)134，故a10.9.设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为 .答案解析an，bn为等差数列，.，.10.设等差数列an的前n项和为Sn，若a13，ak1，Sk12，则正整数k .答案13解析Sk1Skak112，又Sk1，解得k13.11.(2016苏州暑假测试) 已知数列an满足a11，a2，且an(an1an1)2an1an1(n2)，则a2 016 .答案解析由an(an1an1)2an1an1(n2)得(n2)，又a11，a2，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以n，即an，所以a2 016.12.已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1,2，4，成等比数列，满足条件.故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式，当n1时，不满足此式.综上，Sn13.已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*).(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式.(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去).当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an是首项为3，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.14.(2016苏北四市摸底)已知数列an满足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求数列an的前n项和Sn；(2)若a41，求数列an的通项公式.解(1) 当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以数列an是等差数列.设数列an的公差为d，则解得所以Snna1d2n()n2n.(2)由题意得2a4a3a5k，即24k，所以k2.当n1时，2a2a1a32，当n2时，2a3a2a42，所以a42a3a223a22a161，所以a23, 由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列，所以an1an2n3.当n2时，有a