拉格朗日置换.ppt

一 背景 一元代数方程求解的历史可以追溯到公元前3500年 古巴比伦人就已经知道一元二次方程的求根公式 1545年Cardan的 大法 的出版使人们知道了三 四次方程的求根公式 自此众多的数学家 Tschirnaus Euler Bezout Lagrange Gauss Abel Galois 继续向五次及五次以上方程而努力 Lagrange置换思想的产生 报告人 赵增逊 西北大学数学与科学技术史中心 Lagrange置换思想的产生 一 置换产生的背景二 置换产生的原因三 置换产生的过程1 对已知解法的思考2 初次实践置换思想3 验证一4 验证二5 分析四 结论 一 置换产生的背景 1545年Cardano的 大法 的出版使人们知道了三 四次方程的求根公式 自此众多的数学家 Tschirnaus Euler Bezout Lagrange Gauss Abel Galois 继续向五次及五次以上方程而努力 第一个历史性的台阶就是Lagrange Lagrange对代数方程求解做出了巨大贡献 用置换的思想进行代数方程求解以及因此而得出的代数方程求解理论 一 彻底改变了人们的思维 使数学家们从单纯的寻找代数技巧进行方程求解转变为寻找一种一般的 通用的方法 并使他们从繁重的数学计算中解脱出来 二 改变了代数方程求解的内涵 从寻找求根公式 原方程系数的表达式 是一个结果 到寻找预解式 原方程根的函数 是一种结构 三 得出一系列重要的代数知识 比如域概念 置换群概念的雏形 这些知识被以后的数学家Ruffini Gauss Abel Galois等恰当的运用使代数方程求解问题最终得以解决 并推动了代数学本身的发展 Lagrange是代数方程求解的转折者 也是近代代数学的先驱 二 置换产生的原因 到Lagrange时期代数方程的求解已经得到发展 伟大的数学先驱们 Cardan Ferrari Tschirnaus Bezut Euler 已经过不懈的努力解决了三 四次方程的求解 采用纯代数的方法 都是代数技巧方法的运用及复杂冗长的计算 这五个人对Lagrange的影响最大 虽然他们都采用自己的方法进行求解 但Lagrange经过严密的验证得出其实他们方法的本质都是一样的 所以最终归属也必然一样 Lagrange从这些解法中得到辅助方程的思想 即 解一元三次方程需要预解二次辅助方程 解一元四次方程需要预解三次辅助方程 解一元五次方程需要预解二十四次的辅助方程 Tschirnaus Bezut Euler也得到同样的结果 代数方程求解进入了困境 寻找特殊技巧进行代数方程求解似乎是不可行的了 此时不仅是要为代数方程求解寻找一般的 通用的方法 更重要的是得为代数方程求解谋求出路 置换应时代之召唤出现了 置换的产生是必然的 置换思想的出现有其自然的过程 是Lagrange经过认真计算 缜密思考 反复实践而得出的 寻找一种区别于运用代数技巧进行代数方程求解的方法势在必行 1 思考 Lagrange明白 要解高次方程主要是解它的辅助方程 辅助方程的次数是至关重要的 因为如果辅助方程的次数小于原方程的次数则原方程就可解 若大于原方程的次数则一般不可解 Lagrange马上注意到Cardan解三次方程时的辅助方程为什么是六次的呢 可按二次方程求解 三 置换产生的过程 对于根y的表达式可以任意交换a b c的位置 即y的值有3 3 2 6个 那么关于y的结构 辅助方程一定是六次的 正如Lagrange本人所说 y的结构为什么是六次的 因为它不依赖a b c的值 也不依赖系数m n p的值 而是依赖r的结构在原方程根下置换出的不同值的个数 2 实践 置换的想法已正式的在Lagrange的脑海中形成 正像我们前面所讲的 既然辅助方程的次数是解方程的关键 而它又依赖于一个根的表达式 预解式 就像上面 在原方程根的置换出不同值的个数 那么我们只需要找到这个表达式就可以了 只要有了预解式 那么很容易得到它在原方程根下置换出不同值的个数 那么辅助方程的次数就确定了 为证明自己的想法 Lagrange做了如下的工作 Lagrange首次采用置换的方法取得三次方程求解的成功 这无疑给Lagrange增添许多的信心 使他相信这种方法是有效的 图表 解方程关键是解辅助方程 解辅助方程关键是弄清楚它的次数 弄清楚次数关键是找预解式 比如像上式中的 3 验证1 首次的胜利之后Lagrange立刻用置换的方法对四次方程进行求解 在四次方程求解成功后Lagrange更加相信用置换的方法去解代数方程是一种正确的 有效的处理方法 为证明这种方法的一般性Lagrange在解四次方程时对预解式的选取稍作改变 4 验证2 对四次方程求解的又一次成功使Lagrange坚信这种方法 用置换思想进行代数方程求解是可行的 5 分析 解三次方程时辅助方程实际为二次的 即是说我们只需要找一个预解式 为原方程根的函数 使其在原方程根的置换下只能取两个值 而解四次方程时辅助方程实际为三次的 即是说我们只需要找一个预解式 为原方程根的函数 使其在原方程根的置换下只能取三个值 Lagrange的确这样做了 正如我们知道的他的预解式分别为 和 并且用上述的方法同样取得了成功 并且他还得到了解任意次方程的预解式 内涵 解代数方程实际是要解辅助方程 因此要寻找一个预解式 此预解式在原方程根的置换下取不同值的个数即为辅助方程的次数 找到了合适的预解式就得到了辅助方程 辅助方程的系数可由原方程的系数表示 解答了辅助方程就可以顺利的得到原方程的根 我们以四次方程为例用图表表示如下 得到了三 四次方程的一般求解方法其实就得到了一般任意次方程的解法 所以用置换思想解代数方程就可以推广到任意n次 建立了如此的理论 Lagrange进行了不懈的努力 进行五次及五次以上方程的尝试 虽然由于种种原因 他最终失败了 但运用置换的思想进行代数方程求解的理念已经形成 正是像Lagrange本人所希望的 后人能通过他的思想解决更高次方程的求解 确实如此 正是由于Lagrange提出了置换的思想 Gauss才顺利解决了十七次分圆方程的求解问题 Ruffini才从反面论证高于五次的方程可能没有一般代数解 Abel才严密的给出了五次以上代数方程没有一般解的证明 Galo