简化是数学解题的基本策略.pdf

5 2 中学数学月刊 2 0 1 2年第 1 I 期 简化是数学解题的基本策略 王金 才 苏 州大学数 学科 学 学院2 1 5 0 0 6 1 问题 的提 出 数学解题是数学教育研究的一个重要组成部 分 就 目前的数学教育评价来说 会不会解题仍然 是检测学生掌握数学知识和技能 的重要手段 所 以提高学生的数学解题能力是中学数学教育的一 个重要方面 当然受人诟病 的是有些中学和地 区 为提高解题能力大搞 题海战术 过多的重复练 习使学生不堪重负 扭 曲了学生学习心态 影 响 了学生学习数学 的兴趣 造就 了所谓 的 高分低 能 现象 这样做实际的效果是学生的数学能力 不增反退 这主要体现在学生只会做练过的陈题 不会做没练过的新题 所 以通过较少 的题 目进行 有效的解题训练以达到同样的甚至超过使用 题 海战术 所达到的数学解题能力是数学解题研究 的主要 目标 数学解题基本策略 的研究正是基于 以上 目标所进行的一种解题研究 关于数学解题的研究起源于波利亚的 怎样 解题 其进一步的著作 数学与猜想 对此做 了 进 一步 的研 究 国 内也 有 不 少学 者 对 此 进行 了研 究 譬如罗增儒的 中学数学解题的理论与实践 王林全 吴有昌的 中学数学解题研究 这些研究 侧重解题方法 而解题策 略的研究 比较少 王林 全 吴有 昌在 中学数学解题研究 中谈 到数学问 题解决的基本策略 指 出审题策略 分析策略 联 想策略 化归策略 表述策略 答题策略是数学问 题解决的基本策略 2 数学解 题策 略与 数学解 题方 法 所谓策略 s t r a t e g y 是为了实现某一 目标 预先根据可能出现的情况而制定 的方案 策略应 该属于方针 方向性的东西 数学解题策略应该是 为解决数学问题而预先制定的方案 这种 方案应 该是对解决一般数学问题都有用的大方案 策 略 和方法是不同的 方法是指达到某种 目标而采取 的具体手段和行为方式 策略和方法 的关系是战 略和战术的关系 一个是方 向性的 一个是技术层 面的可操作的 比如 按照这个定义 化归就不能 称为策略 因为化归属于操作层面 是一种解题的 基本 方法 还有 些 像 审题 表 述 应该 属 于解 题 的 基本步骤 作为解题策略似乎有点不妥 数学解题 策略研究的主要对象是在数学解题 中起方向性的 数学策略 而这些应该是在数学研究 中发挥过重 要作用的基本的研究策略 解题虽然和数学研究 有所差异 解题是解决有 已知结论的数学问题 其 最大的特点是结论 明确 其过程无非重复展示 以 前的研究历程 不包括结论本身的研究 而做数 学研究时 其结论本身也是要研究出来的 结论正 确不正确并不清楚 往往是先猜想结论 再进行证 明或解答 但其毕竟重复展示 以前研究的部分历 程 所 以研究 数学 通 常 的 策 略在 数学 解 题 中应该 仍然是有效的 3 简化 在数学中的重要性 纵观数学的发展史和古今数学思想 我们不 难发现 简化数学问题是解决数学 问题的基本策 略 欧拉解决哥尼斯堡 7桥问题就是首先把陆地 和河中的岛简化为 点 把联结陆地和 岛的桥简 化为边 从而把 问题转化为 图论问题后得到解决 的 平 面图 的欧拉 公 式 的证 明又 是 另一 个 简 化 的 典型案例 平面图的欧拉公式 的证明实际上是把 平面图简化为三角形 而平 面图可以分割成若干 个三角形 平面几何中的点 线 面就是实物简化 后所得到的数学概念 简化 作为解决 问题的一般方略 已运用到 其他各个领域 譬如大型程序的设计 首先要把大 型程序分解为相对简单 的子程序 模块 然后 到 各子程序设计完成后再合成大型程序 这里的分 解就是问题简化 的过程 再譬如物理学研究 中往 往要对实际情形进行 理想化 像把空气稀薄的 环境看成是真空环境等就是 理想化 过程 这个 过程实际做的也是简化讨论的问题 简化 是一 种策略 它在各个领域或不 同环境中的表现形式 是不同的 当它用在一个特殊领域的时候 就转化 成了该领域研究的方法 譬如上面的程序分解就 是软件工程 中的基本方法 简化 还符合人 的一般认知过程 人们对 自 然界的认识本身就是一个从简单到复杂的过程 人们 学 习知识也 是 从 简单 知 识 到 复 杂 的 抽 象 的 2 0 1 2年第 1 1 期 中学数学月刊 5 3 知识 学 习过程 简 化 问题实 际 就 是 为 了认 清 问 题 人们在碰到复杂 问题时 一开始往往对问题 的认识是模糊的 这时候想解决 问题简直就是天 方夜谭 只有对简化 的情形或其简单 的情况弄明 白后 才会 对原 来 问题 的认识 渐渐 变得 清 晰 最后 找到解 决 问题 的途 径 正如著名数学家华罗庚提到 善于退 足够 地退 退到最原始而不失重要性的地方 是学好数 学的诀 窍 这里的 退 实质就是对问题进行简 化 但简化 也要 有个 度 不能简化到无价值 的地 方 而 是 简化后 的 问题 解决 的方 法 对 原 先 的 问题 的解决有重要的帮助 譬如 我们解决高维空 间问 题 的时候 往往 简 化为二 维 的情况 进行 考虑 而 不 能简化为一维进行考虑 虽然一维 比二维更简单 但一维和高维在很多时候是有本 质差异 的 很多 情况下一维的方法不能推广到高维 的情况 而二 维和高维的情况大部分情况下是类似的 4 在数 学解 题 中 简 化 的基本途 径 1 特殊 化 特殊化是从考虑一系列给定对象构成的集合 过度到考虑此集合 的一个子集 或者仅仅一个对 象 当题 目比较 复杂 一时找不到解题思路 的时 候 先 研究 几个 特 殊 的情 况 往 往 是 打 开解 题成 功 之路的金钥匙 例如 我们有下列的数列题 例 1 设 a b 为正整数数列 a 一1 b 2 一 且 l 试用 b 中 的某一项的值表示 i 0 分析与解 对于本题来说 仅从条件上看似 乎看不 出解题的思路 那么先来研究几个特殊情 况 也 就是 说先 简化 问题 从最 简单 的情 况着 手 由 已 知 易 得 了 a l一 百 1 口 1 1 b 1 2 a 了 2一 Ol 厶02 一 百3 一 1 a 2 一 b z 一 3 寿 一 一 4 一 一 百 一 一 l z 一 一 一 一 1 s 1 b 一 7 一 一 一 a 一 b 4 43 可 以看 到 n 一1 i 1 2 3 4 由此 可 猜测 a 一 1 N 事 实 上 设n 一 1 则 等一 芋 鲁一 r 干 故 n 井 一1 6 一1 一b n 这样我 们 实际上 用数 学归 纳法 证 明 了 a 一1 N 现 考 虑 一 1 a l t 一 a2 一 詈 一 等 看 a 6 1 a 6 2 a 6 3 4 4 1 一 b看 由 此 可 猜 测 b 老 6 1 6 2 6 3 4 2 4 1 1 6 2 一 二 兰 bN b N l一 1 事 实 上 若 尝 0 0 N 则 D 1 D r矗 1 一 l D 1 I a2 I I口N b N一 2 l 1 6 一 b N 一 1 b 2 bN b N l b N 6 一 b N 鱼 二 b N 1 1 这样 我们 实 际上用数 学 归纳法 证 明了 2 分 解 所谓分解 指 的是把一个问题分析成相对简 单的子问题 然后对子问题逐个进行解决 最后得 到问题的解 我们常用的分类讨论思想方法也属 于分 解 例 2 一个 四位数 其各位数字至多有两个 不相 同 试求共有多少个这种 四位数 分析与解 四位数 中各位数字至多有两个 不相同 可以分解为各位数字都相 同和各位数字 恰有 两个 不相 同 两个 子 问题 第 一个 子 问题 比 较容易 各位数字都相同的四位数有 9个 注意到 首位数字不能为零 第二个子问题需要进一步分 解 若记首位数字为 o 不同于 的数字为 则 各位数字恰有两个不相 同可分解为 一 三 即四位数字 中 有 一个 数字 为 o 三个数 字为 二 二 三 一 三个 子 问题 一 三 只能是首位是 o 其余三位是 这样的四位数 有 9 9种 二 二 只能是首位和其他的某一 位是 o 其余两位是 这样的四位数有 c 9 9 种 这里 是后三位 中任取两个 同理 三 一 型的四位数有 c 9 9 种 所 以所求的四位数 有 9 9 C j 9 9 C 9 9 5 7 6种 3 化归为熟悉的数学模型 所 谓化 归 就 是 把 未 知 的数 学 问题 转 化 为 已 经解决的或熟悉的问题 这样的转化实际上是对 思维量的简化 譬 如你 已经学过正四棱锥的体积 公式 现让你求正 四棱台的体积 而棱台的几何结 构 棱台的定义 告诉我们 棱 台是 用一个平行 于底 面 的平 面去截 棱锥 从 一个 大棱锥 中截 去一 个小棱锥所生成 因此 正四棱台的体积就是用大 的正四棱锥的体积减去小的正四 下转第 6 4页 6 4 中学数学月刊 2 0 1 2 年第 l 1期 扣 2 卢 一 鬲 其中 t a n 一 令厂 一 1 z 一 r 一 1 1 则 厂 z 一 1一 吉 z 一 2 4 1 4 1一 z 2 1 一 z z 1 z 十 十 麝1 0 所 以 一 丢 z 一 z z 1 为 一 1 1 上的减函数 所 以 一 丢 一 z z 1 1 一 1 一 g 5 4 从 而z 2 2 1 s i n 2 p 一 鬲 即z 2 y z k 2 z r 的 最 小值 为 参考文献 F 1 3 张赞 两个 怪异 不 等式 的统 一简证E J 3 中学 数学 教学参考 2 0 1 2 7 2 张慧欣 一类二次齐 次不等式 的获得方法 J 3 数学 通报 2 0 1 0 1 1 上接 第 5 3页 棱锥的体积 这样把正 四棱 台的体积 问题化归为 正四棱锥的体积问题 4 递 归 若一 个对 象 部 分地 包 含 它 自己 或用 类 似 于 自己结构的东西给 自己定义 则称这个对象是递 归 的 数 学归 纳法实 际上 就是 一种递 归 的方法 这 种方 法 的好处 是对 于 一 个 较 复杂 的问 题 你 用 不 着从头开始考虑 而总是把所求 问题的前一步作 为基石 来考 虑该 问题 这 好像 让 你 总 是 站 在 巨人 的肩膀上来考虑问题 下 面 的例题 是浙 江大学 2 0 1 0年 自主招 生题 例 3 甲乙两人轮流掷硬币 第一局甲先掷 谁先掷 出正面谁就胜 上一局的负者下一局先掷 问 第一局 甲胜的概率 第 局 甲胜的概率 分析与解 比较简单 第一局 甲胜的概率 为 号 第 局 的情况 属于一 般 情 况 如 果分 别 去 考虑 一1 2 3 对本题的最后解决没多大帮 助 我们这里用递归法 也就是说我们先假定第 一 1局甲胜 的概率已经搞定 在此基础上来考虑 第 n局 的情 况 设第 n局甲胜的概率为 P 则考虑第 1 局时要分解两种情况 第一种是第 n局甲输 第 1 局 甲先掷 在这种情况下 由 的结论知此时 第 1局甲胜的概率是 第二种第 局甲胜 第 1 局乙先掷 由 的结论知此时第 1 局 甲胜的概率是 故第 1 局甲胜的概率 P 计 一 2 1 一 P 1 P 一 一 P 其中 P 一1 变形 得 P计 一 1 一一 1 P 一 故 P 一 1 一 号 r 1 5 标准化 或规 范化 所谓标准化 就是把非标准的问题化为标准 的类型来解决问题 譬如 非标准 的椭圆问