e3好题集(14)：31[1].3+锐角三角函数的应用.doc

菁优网Http:/ 第31章锐角三角函数好题集（14）：31.3 锐角三角函数的应用 2011 菁优网填空题1、（2007龙岩）当太阳光与地面成55角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为 m（精确到0.01m）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：应用题。分析：身高、影长和光线构成直角三角形，根据tan55=身高：影长即可解答解答：解：玲玲的身高=影长tan55=1.161.428=1.6561.66（m）点评：本题考查了正切的概念、计算器的使用2、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为 m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：计算题。分析：坡度比=垂直高度：水平距离因为垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成直角三角形，所以可利用勾股定理进行解答解答：解：坡度为i=0.5，可设离地面的高度为0.5x，那么水平距离为x由题意得x=4那么离地面的高度为0.54=2相邻两树间的坡面距离=22+42=25（m）点评：本题考查了坡度=垂直距离：水平距离它们与斜边构成直角三角形3、（2004上海）某山路坡面坡度i=1：399，沿此山路向上前进200米，升高了 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：根据垂直高度与水平宽度的比得到垂直高度与斜坡的比，代入相应的数值计算求解解答：解：坡面坡度i=1：399，山坡的垂直距离：山坡的水平距离=1：399山坡的坡长：山坡的垂直距离=20：1沿山路行进200米，坡长=200米山坡的垂直距离应为10米，即升高了10米点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中进行解决要注意的是坡度是坡角的正切函数4、小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45，且坡面距离是8米的坡面上则第一根与第三根木杆的水平距离是 米（如图）（精确到0.01米）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：构造直角三角形，把相应的水平距离进行合理分割求解解答：解：如图AD=6，DE=8，A=30，EDF=45，求AC的长过点D作DBAC，过点E作ECACAD=6，A=30AB=ADcos30=632=33DE=8，EDF=45，DF=DEcos45=822=42AC=AB+BC=AB+DF=33+4210.85（米）点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用5、如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需 米（精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：要求地毯的长度其实就是求AC与BC的长度和利用30的正切函数求解解答：解：如图：坡角为30，AC=BCtan30=3BC3.5因此AC+BC=5.5即地毯的长度至少是5.5米点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中进行解决要注意的是坡度是坡角的正切函数6、一辆骑车沿着一山坡行使了1300米，其铅直高度上升了500米，则山坡的坡度是 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：利用勾股定理求得水平宽度，把铅直高度除以水平宽度即可解答：解：根据题意，他水平移动的距离应该是130025002=1200那么山坡的坡度=500：1200=5：12点评：本题考查坡度的定义7、沿坡度为1：2的斜坡的坡面走100米，则高度上升 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：根据铅直高度：水平宽度=1：2，可用未知数表示出铅直高度和水平宽度的值，进而可用勾股定理求得铅直高度的值解答：解：如图AB=100，BC：AC=1：2设BC=x，则AC=2x在RtABC中，AB2=BC2+AC2，即x2+（2x）2=1002，解得x=205，即BC=205故高度上升了205米点评：本题考查了坡度的定义8、一个钢球沿着坡比为i=1：3的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：根据坡比，用未知数表示出坡面的铅直高度和水平宽度，然后运用勾股定理求解解答：解：如图；RtABC中，C=90，i=tanA=13，AB=5设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理，得：x2+（3x）2=52，解得：x=102（负值舍去）故此时钢球距地面的高度是102米点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力9、（2002湖州）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度为1：2.5，斜坡CD的坡度为1：2，则坝底宽AD等于 m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形利用相应的性质求解即可解答：解：作BEAD，CFAD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形BC=EF=5，BE=BF=20，斜坡AB的坡度为1：2.5，AE=2.5BF=50，FD=2CF=40AD=AE+EF+FD=95（米）点评：本题通过构造直角三角形和矩形，利用直角三角形和矩形的性质，坡度的概念求解10、某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10m，下底为13.6m，高1.2m，则腰面坡角的正切值为 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：坡角的正切值=垂直高度：水平距离解答：解：因为tan（坡度）=垂直高度：水平距离，则腰面坡角的正切值=1.2（13.610）2=23点评：此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题，注意公式：tan（坡度）=高程差/水平距离11、已知一山坡的坡角为30，某人沿坡走了100米，那么该人上升了 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：计算题。分析：运用三角函数定义解答解答：解：根据已知得，该人上升了100sin30=50（米）点评：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的运用能力12、某山路的路面坡度为1：45，若沿此山路向上前进90米，则升高了 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。分析：根据坡度比，可用未知数表示出坡面的铅直高度和水平宽度，然后根据勾股定理列方程求解解答：解：如图，RtABC中，tanA=145，AB=90米设BC=x米，则AC=45x米，根据勾股定理，得：x2+（45x）2=902，解得x=10（负值舍去）故沿此山路向上前进90米，则升高10米点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力13、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB= 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等腰梯形的性质。专题：计算题。分析：坡度=垂直距离：水平距离，所以可根据题中坡度比以及梯形的高求出下底解答：解：做DEAB于点E，CFAB于点F，那么EF=CD=10坡度为1：2，DE=6，AE=CF=12，AB=12+10+12=34点评：本题考查了坡度的定义及等腰梯形的性质坡度=垂直距离：水平距离14、已知公路路基横断面为一等腰梯形，腰的坡度为2：3，路基高为4米，底宽为20米，则路基顶宽为 米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。专题：计算题。分析：从等腰梯形的上底的顶点向对边引垂线，则把原梯形分成一个矩形和两个全等的直角三角形，利用坡度比以及梯形的高，解直角三角形求解解答：解：从等腰梯形的上底的顶点向对边引垂线腰的坡度为2：3，路基高4，构成直角三角形的另一直角边为6，那么路基顶宽为2026=8（m）点评：本题考查了坡度定义及等腰梯形的性质作“两高”是解梯形问题时常作的辅助线15、某人在20米高的塔顶测得地面上的一点的俯角是60，这点到塔底部的距离约为 （精确到0.1米）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。专题：计算题。分析：根据题意运用三角函数定义求解解答：解：tan60=垂直高度：水平距离，这点到塔底部的水平距离距离为203=203311.5（米）点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形解答题16、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是 千米考点：坐标确定位置；解直角三角形的应用。分析：通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解解答：解：过点B作BDAC于点D根据题意可知，AD=83+1=6，BD=2+6=8，所以AB=10即登陆点A到宝藏处B的距离为10千米点评：主要考查了用坐标确定点的位置读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，与勾股定理结合求线段的长度是解题的关键17、已知：如图，一次函数y=33x+m与反比例函数y=3x的图象在第一象限的交点为A（1，n）（1）则m= ，n= ；（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连接OA，则BAO= 考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；解直角三角形的应用。分析：（1）把A（1，n）代入反比例函数的解析式即可求出n的值即A点坐标，再把A点坐标代入一次函数的解析式便可求出m的值；（2）过点A作AMx轴于点M，根据一次函数的解析式可求出B点坐标，由A点坐标可求出AOM的度数，由勾股定理可求出OA的长，判断出OAB的形状，再根据特殊角的三角函数值即可求出OBA的度数，进而求出BAO的度数解答：解：（1）点A（1，n）在双曲线y=3x上，n=3，（1分）又A（1，3）在直线y=33x+m上，m=233（2分）（2）过点A作AMx轴于点M，直线y=33x+233与x轴交于点B，33x+233=0，解得x=2点B的坐标为（2，0），OB=2，（3分）点A的坐标为（1，3），AM=3，OM=1在RtAOM中，AMO=90，tanAOM=AMOM=3，AOM=60，（4分）由勾股定理，得OA=2，OA=OB，OBA=BAO，BAO=12AOM=30（5分）点评：本题考查的是反比例函数及一次函数图象上点的坐标特点，特殊角的三角函数值及等腰三角形的性质，涉及面较广，但难度适中18、如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC那么：（1）ADC= 度；（2）当线段AB=4，ACB=60时，ACD=30度，ABC的面积等于 （面积单位）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形。分析：利用线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点计算解答：解：（1）三角形ABC，AQB中，AC=AQ，BC=BQ，AB=AB，ABCABQ，CAB=QAB根据等腰三角形三线合一的特点我们可知：AD是等腰三角形ACQ底边的高，中线和顶角的平分线因此ADC=90（2）AC=AB，ACB=60，三角形ABC就是等边三角形CDAB因此CAD=BCD=30CD=BCsin60=23那么SABC=ABCD2=4232=43点评：本题综合考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点，虽然知识点比较多，但只要找准确所求与已知的关系，本题并不难解19、如图，已知：E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C，D是垂足，连接CD，与AOB的平分线交于点F，（1）求证：OE是CD的垂直平分线（2）若AOB=60，则OF：FE的值为 考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；解直角三角形。分析：（1）根据垂直平分线的性质定理证明（2）通过解特殊角三角函数计算解答：解：（1）E是AOB的平分线上一点，ECOB，EDOA，C，D是垂足，DE=CE在RtEDO与RtECO中，DE=CE，OE为公共边，DOE=COF，OD=OCDOC是等腰三角形，OF为角平分线，OE是CD的垂直平分线（2）设OD=a，AOB=60DOC=30，ODF=60，DF=12OD=a2OF=3a2ODE=90，ODF=60EDF=30，在RtDEF中，tan30=EFDF=EFa2=33，EF=3a6OF：FE=3a2：3a6=3：1点评：结合特殊角的三角函数，根据角平分线的性质定理解答20、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60度（1）若d=26，则该纹饰要231个菱形图案，则纹饰的长度L为 cm；（2）当d=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要 个这样的菱形图案考点：菱形的性质；解直角三角形。专题：规律型。分析：（1）首先根据菱形的性质和锐角三角函数的概念求得菱形的对角线的长，再结合图形发现L=菱形对角线的长+（2311）d；（2）设需要x个这样的图案，仍然根据L=菱形对角线的长+（x1）d进行计算解答：解：（1）菱形图案水平方向对角线长为103cos30 2=30cm按题意，L=30+26（2311）=6010cm（2）当d=20cm时，设需x个菱形图案，则有：30+20（x1）=6010解得x=300，即需300个这样的菱形图案点评：此题主要考查根据图形找规律，同时也考查了解直角三角形有关知识21、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连接EF（1）证明：EF=CF；（2）当tanADE=13时，EF= 考点：梯形；全等三角形的判定；勾股定理；解直角三角形。分析：（1）过D作DGBC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明ADEGDC，接着利用全等三角形的性质证明EDFCDF，再利用全等三角形的性质就可以证明题目的结论；（2）由tanADE=13根据已知条件可以求出AE=GC=2，设EF=x，则BF=8CF=8x，BE=4，在RtBEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF解答：解：（1）过D作DGBC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，DEDCADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC，又A=DGC且AD=GD，ADEGDC，DE=DC且AE=GC，在EDF和CDF中EDF=CDF，DE=DC，DF为公共边，EDFCDF，EF=CF；（2）tanADE=AEAD=13，AE=GC=2，设EF=x，则BF=8CF=8x，BE=4，由勾股定理x2=（8x）2+42，解得x=5，EF=5 点评：本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解22、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD，C=60，AEBD于E，AE=1则梯形ABCD的高是 考点：梯形；解直角三角形。分析：如图，过A作AFBC垂足为F，把梯形的问题转化到直角三角形中；然后再利用C=60这个条件根据直角三角形的性质解题解答：解：ADBC，2=3又AB=AD，1=3ABC=C=601=2=30（2分）在RtABE中，AE=1，1=30，AB=2（4分）作AFBC垂足为F在RtABF中，AF=ABsin60=232=3，梯形ABCD的高为3（6分）点评：此题考查了梯形的常用辅助线，也考查了直角三角形的性质：在直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半23、如图，梯形ABCD中，ADBC，B=45，D=120，CD=43cm，则AB= cm考点：梯形；解直角三角形。分析：如图，过点A、D分别作AEBC、DFBC，垂足分别为点E、F，这样把梯形分割成直角三角形和矩形然后分别在两个直角三角形中解直角三角形，求出BE，CF，最后就可以求出AB了解答：解：过点A、D分别作AEBC、DFBC，垂足分别为点E、F（1分）AEB=DFC=90 ADBC，D=120C=60在RtDFC中，DFC=90，C=60，CD=43DF=CDsin604332=6（3分）易证：四边形AEFD为矩形AE=DF=6在RtAEB中，AEB=90，B=45，AB=AEsin450=622=62点评：此题考查了梯形的一种常用辅助线即作梯形的高线，把梯形转化成两个直角三角形和一个矩形，然后利用直角三角形的知识解题24、如图，在梯形ABCD中，ABDC，D=90，ACD=30，AB=12，BC=10，则AD= 考点：梯形；解直角三角形。分析：如图，过点B作BEAC于E，把ABC分割成两个直角三角形，然后解直角三角形ABE，求出AE、BE，再利用勾股定理在RtBEC求出CE，这样就求出AC，最后在RtADC中解直角三角形就可以求出AD解答：解：过点B作BEAC于E，则AEB=BEC=90（1分）ABDC，BAE=ACD=30又AB=12，EB=12AB=6，AE=ABcos30=63（2分）在RtBEC中，BEC=90，EC=BC2BE2=10262=8（3分）AC=AE+EC=63+8（4分）在RtADC中，D=90，ACD=30，AD=12AC=33+4（5分）点评：此题把解直角三角形和勾股定理的计算和梯形的知识结合起来，利用三角形的知识解决梯形的问题25、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD若ACBD，AD+BC=103，且ABC=60，则CD= 考点：梯形；解直角三角形。分析：首先过D作DEBC于E，过D作DFAC交BC延长线于F，把梯形转换成平行四边形和直角三角形的问题求梯形的面积就变换成求三角形的面积，而求三角形的面积根据已知条件容易求出解答：解：作DEBC于E，过D作DFAC交BC延长线于F四边形ADFC是平行四边形AD=CF，DF=AC四边形ABCD是等腰梯形AC=BDDF=BD又ACBD，DFACBDDFBDF是等腰直角三角形DE=12BF=12（AD+BC）=53在RtCDE中，DCE=60，DE=CD sinDCE53=CDsin60CD=10点评：此题考查了梯形的一种常用辅助线平移梯形的对角线，把梯形的面积问题转换成三角形的面积的问题26、已知：如图所示，梯形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，A=120，BD=BC=43，则梯形的面积为 考点：梯形；解直角三角形。分析：过点B作BEDA交DA的延长线于E，则分别构成两个直角三角形，RTBDE，RTABE，利用直角三角形的性质求得ED，BE，AD，BD的长，再利用梯形的面积公式即可求得梯形的面积解答：解：方法一：过点B作BEDA交DA的延长线于E（1分）BAD=120EAB=60BD平分ABC1=2ADBC3=21=3=30（2分）在RtBDE中，BD=43，BE=12BD=23，ED=BDcos30=6（4分）在RtBEA中，AE=BEcot60=2333=2AD=EDAE=62=4（5分）S梯形=12（AD+BC）EB=12（4+43）23=43+12（6分）方法二：过点A作AEBD于E，过点D作DFBC于F（1分）BD平分ABC1=2ADBC，3=21=3AB=ADBAD=1202=3=1=30（2分）BD=43ED=12BD=23（3分）在RtAED中，AD=23cos30=4（4分）在RtBFD中，DF=12BD=23（5分）S梯形=12（AD+BC）DF=12（4+43）23=43+12（6分）点评：此题考查梯形的性质及解直角三角形的综合运用27、如图，已知半圆O，交AB于D、AC于E，BC是直径，若A=60，AB=16，AC=10，则AD= ，AE= ，DE= 考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。分析：连接CD，由圆周角定理知CDAB；RtACD中，易知ACD=30，根据直角三角形的性质即可求得AD、CD的长；进而可在RtCDB中，由勾股定理求出BC的长；然后证ADEACB，通过相似三角形得出的成比例线段求得AE、BC的长解答：证明：连接CD，则CDB=90；RtACD中，ACD=30，AC=10，则AD=5，CD=53；RtBCD中，BD=ABAD=11，CD=53，由勾股定理，得：BC=BD2+CD2=14；四边形BCED是圆的内接四边形，ADE=C，AED=B；ADEABCADAC=DEBC=AEAB；DE=ADBCAC=51410=7，AE=ADABAC=51610=8所以AD、AE、DE的长分别是5、8、7点评：此题主要考查了圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力28、已知，等腰ABC内接O，顶角为120，O的半径为1033cm，则底边BC= cm考点：三角形的外接圆与外心；解直角三角形。专题：应用题。分析：通过作辅助线，构成圆的内接三角形，再利用圆及圆内接三角形性质确定角的度数和三角函数解答：解：如图连接OA，OB，OC交BC于D，由圆及圆内接三角形性质可得OA垂直平分BC，且OA平分BACBAD=60OAB为等边三角形AB=OB=AO=1033cm在RtADB中，ADB=90，BAD=60BD=1033sinBAD=1033sin60=103332=5cm底边BC的长=2BD=25=10cm 点评：本题考查了三角形的外接圆、相交弦定理和勾股定理作辅助线，构成圆的内接三角形是常用的方法之一29、已知：如图，边长为23的等边三角形ABC内接于O，点D在AC上运动，但与A、C两点不重合，连接AD并延长交BC的延长结于P（1）则O的半径为 ；（2）设AD为x，AP为y，写出y与x的函数关系式y= ，自变量x的取值范围为 ；（3）D点在运动过程中是否存在这样的位置，使得BDP成为以DB、DP为腰的等腰三角形？若存在，请你求出此时AD的值，若不存在，请说明理由考点：三角形的外接圆与外心；一元二次方程的应用；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）过O作OOE于E，连接OA，根据等边三角形的性质和垂径定理可以E是AB的中点EAO=30这样解直角三角形就可以求出半径了；（2）连接CD，利用圆内接四边形的性质可以得到ADC=ACP=120，还有一个公共角，可以证明ADCACP，然后利用相似三角形的性质就可以求出函数的关系式；（3）此题是探究性题目，一般假设结论成立，然后利用已知条件进行推理，然后进行判断这里假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得DBP成为以DB，DP为腰的等腰三角形，然后根据假设结合已知条件可以得到DB是圆的直径，这样可以得到关于x的方程，解方程就可以判断假设是否成立，然后根据方程的解就求出此时AD的长解答：解：（1）过O作OOE于E，连接OA在RtAEO中，EAO=30AE=AB2=3AEOA=cos30OA=2（2）连接CD，则ABC+ADC=180又ACB+ACP=180，ABC=ACB=60ADC=ACP=120又CAD=PACADCACPADAC=ACAPAC2=ADAPy=（23）2x=12x（0x23）（3）假设D点在运动的过程中存在这样的位置，使得DBP成为