研究生数值分析 第5章B.doc

5.7样条插值函数高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,数值稳定性差；分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑(导数不连续)；Hermite插值需要知道每个分点的导数值。样条函数可以同时解决这三个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。1. 样条函数在a,b上取n+1个插值结点,已知函数在这n+1个点的函数值为,则在a,b上函数的m次样条插值函数满足:(1)在（a,b）上直到m-1阶导数连续;(2),;(3)在区间上,是m次多项式。2三次样条函数在a,b上函数的三次样条插值函数满足:(1)在（a,b）上0、1、2阶导数连续;即,.(2),;(3)在区间上,是三次多项式。3. 三次样条函数的计算由二阶导数连续,设,是未知、待定的数。因是分段三次多项式,则是分段一次多项式,在每个区间内，记,则将上式在区间上积分两次,并且由,来确定两个积分常数。当时,利用一阶导数连续的性质,对上式求导,得:在上式中,令,得:将上式中的换成,得:在上的表达式,用代入，而,联立上述两式,得到关于的方程:,两边乘以,得:上式中，等式左边含未知量,等式右边,是已知的,令,，则得:,。这是含有n+1个未知量,共有n-1个方程组成的线性方程组。欲确定方程的解,尚缺2个方程。因此,求三次样条函数还要2个附加条件。常用的问题有下面两种提法:第一类问题:附加条件为,。则方程组为:其系数矩阵为这是一个三对角矩阵,由于,因而它是严格对角占优的。原方程组是个三对角方程组,可以用追赶法求解。第二类问题:给出边界端点的一阶导数值:,。利用前面已推导的公式:当时,取,得:;取,得:。移项，得：于是,我们可以建立如下方程组:其系数矩阵是严格对角占优的三对角矩阵: 从而可以解出。解出后可以得到三次样条函数的分段表达式,即当时,例:已知的函数值为,x1245y1342求函数的三次样条插值。解:,;,;,;建立方程组解得:,。从而得到函数的三次样条插值:当时,；当时，；当时，。所以5.8曲线拟合的最小二乘法一.数据拟合问题的数学提法通过观测、测量或试验得到某一函数在的函数值。我们可以用插值的方法对这一函数进行近似,而插值方法要求所得到的插值多项式经过已知的这n个插值结点；在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象:虽然在插值结点上没有误差,但在插值结点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用数据拟合的方法。所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,这儿不要求通过已知的这n个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,数据拟合就是从整体上使误差, 尽量的小一些。要求通过已知的这n个点，而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数.这时,在每个已知点上就会有误差，,数据拟合就是从整体上使误差， 尽量的小一些。j(x)y1j(x2)j(x3)j(xn-1)y2y3yn-1ynj(xn)x1x2x3xn-1xn如果要求达到最小，因误差可正可负,本来很大的误差可能会正负抵消,这样的提法不合理.为防止正负抵消,可以要求达到最小,但是由于绝对值函数不可以求导，分析起来不方便,求解也很难。为了既能防止正负抵消,又能便于我们分析、求解，提出如下问题：求一个低次多项式,使得（其中为权系数）达到最小，此问题便是一个数据拟合的最小二乘问题。设为所求的最小二乘解，我们称为均方误差。为简单起见，下面我们取讨论。二、直线拟合1.问题的提法通过观测、测量或试验得到某一函数在的函数值，即得到n组数据,，如果这些数据在直角坐标系中近似地分布在一条直线上，我们可以用直线拟合的方法。问题:已知数据,求一个一次多项式,使得达到最小。注意到中,均是已知的，而a,b是未知量,是未知量a,b的二元函数,利用求二元函数极小值(最小值)的方法，上述问题转化为求解下列方程组2.正则方程组的获得由得：得到如下的正则方程组这是个关于a,b的二元一次方程组，称其为最小二乘问题的正则方程组.解得a,b,便得到最小二乘问题的拟合函数。三、多项式拟合1. 问题的提法已知一组数据对,，求一个m次多项式:使得误差的平方和达到最小,即求待定参数使得达到最小。2. 正则方程组的形成以m=2为例，由多元函数的极值条件，可得：将未知量留在方程的左边，将已知量移到方程的右边，形成下面的正则方程组（法方程组）：这是一个三元一次方程组。如果利用三次多项式进行最小二乘拟合，则相应的法方程组为:这是一个四元一次方程组。四、指数拟合有些数据,在直角坐标系中的分布近似于指数曲线,则可以用指数函数进行拟合。指数函数,两边取对数,得:,作变换,得:,这是一个一次函数,和是待定系数。指数拟合的具体步骤:（1）我们可以将数据对转化为数据对;（2）用最小二乘法求出拟合曲线(即解出);（3）由,故,而,从而我们得到拟合的指数函数。例1:设一个发射源的发射公式为,通过实验得到如下数据:0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56利用最小二乘法确定和。解:,设,将数据对转化为数据对,然后进行直线拟合。0.23.161.150570.040.2301140.32.380.867100.090.2601300.41.750.559620.160.2238460.51.340.292670.250.1463350.61.000.00.360.00.70.74-0.301110.49-0.2107740.80.56-0.579820.64-0.4638553.51.989030.810.185796于是得到法方程组：解得:,，则,由,。于是得到拟合指数函数。其它一些非线性拟合:(1)双曲线 ,变形为,令,得到。我们可以将数据对转化为数据对,然后进行直线拟合。(2)对数函数,令,变形为。(3)S型曲线 ，先变形为,令,得到。我们可以将数据对转化为数据对,然后进行直线拟合。5.9正交多项式及其在最小二乘的应用一、内积与正交多项式定义1 设，是a,b上的权函数，则称为与在a,b上的带权内积。若，则称与在a,b上的带权正交。若函数序列在a,b上两两正交，则称为正交函数族。定义2 如果多项式序列在a,b上带权两两正交，则称为正交多项式族。给定a,b及权函数，由，可按下列方法构造出正交多项式族：性质：（1）是最高项系数为1的次多项式。（2）任意次多项式均可表成的线性组合。（3）与任一次数小于的多项式正交。（4）有递推关系：其中，这里（5）设是在a,b上带权的正交多项式序列，则的个根都是单重实根，且都在区间（a,b）内。证明：（4）因为是次多项式，所以，对比两边的系数得，两边与作内积得当时，是次多项式，这时，所以；当时，所以；当时，于是，即（5）首先，在a,b上必存在奇重根，否则在a,b上不变号，设，则，与是正交多项式矛盾。其次，假定在a,b上只有个奇重根，即，（其中为奇数，不变号）令，则不变号，于是，与性质（3）矛盾。说明在（a,b）上应有个奇重根，但至多有个实根，所以应有个单根。下面给出几个常见的正交多项式。二、Legendre多项式a,b=-1,1, 的首项系数为Legendre多项式的重要性质：（1）正交性证明：令，则且设多项式，由分部积分公式得当的次数时，于是当时，于是（2）递推公式证明：设，两边与作内积得当时，显然；当时，；当时，；，代入上式化简即得递推公式。（3）奇偶性证明：由的定义知，被求导的函数是偶次多项式，经偶次求导仍为偶次多项式，经奇次求导仍为奇次多项式。所以当为偶数时，为偶函数，当为奇数时，为奇函数。三、Chebyshev多项式a,b=-1,1, 若令，则Chebyshev多项式多项式的重要性质：（1）正交性证明：令，利用下列三角公式即得结果（2）递推公式证明：由，即得结果。（3）奇偶性证明：（4）在（-1，1）内的个零点为证明：由，所以 为在（-1，1）内的个零点。（5）的最高次幂的系数为证明：利用递推公式，及数学归纳法立即可得。四、其它正交多项式1、Laguerre多项式, （1）正交性（2）递推公