一傅里叶变换的收敛问题.doc

作 业一傅里叶变换的收敛问题: 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积；2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。下面举一个简单的例子是方波信号，对称方波的傅里叶展开:如上图所示:如果合成的波形所包含的谐波分量愈多时,除间断点附近外,它愈接近于原方波信号,在间断点附近,随着所含谐波次数的增高,合成波形的尖峰愈靠近间断点,但尖峰幅度并没有明显减小.可以类推,当谐波次数趋于无穷大时,在间断点处仍有约9%的偏差,这种现象称为吉布斯现象。 二周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题:周期序列的傅里叶级数:当是周期为N的一个周期序列, ,r为任意整数,这个周期序列不是绝对可和的,不能用Z变换表示,那么它可以离散傅里叶级数表示,也就是说用周期为N的复指数序列来表示, ,其中是K 次谐波的系数,然后求出,它是对的一个周期x(n)作Z变换,然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角抽样而得到的。周期序列的傅里叶变换:实际上是对有限长序列的傅里叶变换,如果把长度为N的有长限长序列x(n)看成周期为N的序列的一个周期的话,把看成是x(n)的以N为周期的周期延拓, ,此时周期序列的傅里叶变换,事实上,对频域的周期序列可以看作是对有限长序列的周期延拓,而有限长序列可以看作是周期序列的主值序列.三频率分辨率的问题:其实频率分辨率和分辨力都来源于外文Resolution,它是表征图像细节的能力。只是由于翻译上的不同以及使用在不同的领域，才出现分辨力和分辨率两个不同的定义。在电视领域，包括现在的数字电视领域，一般都定义为分辨力，而在计算机界则把它定义为分辨率。在离散傅里叶变换中,对频率函数进行抽样,抽样间隔为,那么这个就是频率分辨率,并由它可以知道时间函数的周期是多少,即: ,有这样一种关系, ,信号的最高频率分量与频率分辨力有着矛盾关系,当增加时,时间的抽样间隔减小,抽样频率增加,信号长度N不变, 增加,频率分辨力就减小.当信号长度越长时,N越大,分辨率就越好,一般来说,频率分辨力与信号实际长度成反比,信号越长,分辨力就越高。四.用MATLAB的图示说明有效观察时间与补零后的DFT之间的关系以及与DTFT之间的关系:程序:clcclear%n=12时的DTFTN=12;n=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;w=0:0.5:100*pi/100;X2=1+2*exp(-j*w)+3*exp(-2*j*w)+4*exp(-3*j*w)+5*exp(-4*j*w)+6*exp(-5*j*w)+6*exp(-6*j*w)+5*exp(-7*j*w)+4*exp(-8*j*w)+3*exp(-9*j*w)+2*exp(10*-j*w)+1*exp(-11*j*w)magx=abs(X2);subplot(311);plot(magx,r-);title(n=12时的DTFT)%n=12时的DFTn=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;X=dft(xn,12);magx=abs(X);subplot(312);stem(magx,b-);title(n=12时的DFT)%补零后n=100时的DFTN=100;n=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;xn=xn,zeros(1,88);X=dft(xn,100);magx=abs(X);subplot(313);plot(magx,g-);title(补零后n=100时的DFT)由上图可以看出,DFT是DTFT的抽样,补零后,使一个周期内的点数增加,抽样比以前更密,这样可以减小栅栏效应,频域抽样为k*/N,N增加,必然使样点间的距离更近,单位圆上的样点更多