数学中的归纳法及应用.doc

1 题题 目目 归纳法在数学中的应用与地位归纳法在数学中的应用与地位 学学 生生 学学 号号 指导老师指导老师 年年 级级 学学 院院 系系 别别 xx 年 xx 月 2 目录目录 目录 2 摘要 3 引 言 4 一 数学归纳法的历史由来 4 二 归纳法的特点 4 二 基本步骤 5 三 数学归纳法的常用方法举例 6 3 1 求同法 6 3 2 求异法 6 3 3 求同求异并用法 7 3 4 共变法 7 3 5 剩余法 7 四 在高等数学中的归纳法运用举例 8 五 数学归纳法解决应用问题 9 5 1 代数恒等式方面的问题 9 5 2 几何方面的应用 9 5 3 排列和组合上的应用 10 5 4 对于不等式的证明上的应用 11 六 总结 11 参考文献 12 致 谢 13 3 摘要摘要 数学归纳法是中学数学中一种常用的证题方法 是从特殊的具体的认识推 进到一般的抽象的认识的一种思维方式 它是科学发现的一种长用的有效的思维 方式 它的应用极其广泛 本文讨论了数学归纳法的步骤 它集归纳 猜想 证 明于一体 体现了数学归纳法的证题思路 本文归纳总结了数学归纳法解决代 数恒等式 几何 排列组合等方面的一些应用问题的方法 并对应用中常见的 误区加以剖析 以及一些证法技巧介绍 有利于提高对数学归纳法的应用能 力 数学归纳法的具体应用时 有许多更为灵活的形式 这一点是宜于注意的 不完全归纳法仅仅依据同一事实的几次重复作出结论 只是停留在对事物的 表面现象的观察上 没有深入地分析产生现象的原因 只有对现象产生的原因有 了了解 才会提高结论的可信程度 人们在长期的科学实践过程中 总结出了确定因果关系的几种逻辑方法 求 同法 求异法 求同求异并用法 共变法 剩余法 归纳法在数学中运用十分广泛 关键词关键词 数学归纳法 数学归纳法的特点 步骤 应用 Abstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics it is have very broad application In this paper author reaserch into the step of the Mathematical induction it includes summariz evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction Also at here we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities geometric order and portfolio and so on also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof proof of skills introduced It is help to increased the level of the Mathematical induction s application So called mathematics inductive method is from the special concrete understanding propulsion to general of abstract of a kind of mode of thinking of with understanding it is science discovers of a kind of long use of valid mode of thinking The inductive method is in mathematics make use of very extensively Key words Mathematical induction steps Application 4 引引 言言 在中学数学学习的过程中 有一种很常见且基本的数学方法 数学归纳 法 对于数学归纳法 有人问 为什么说数学归纳法是严格的证明方法 数学 归纳法的原理是什么 数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式 数 学归纳法的应用前景如何 下面将逐一进行解答 一 数学归纳法的历史由来 曾经有一个叫皮亚诺的意大利人把我们小时侯数数的过程归纳整理出来 称作正整数公理 这个公理有五条 简单归纳一下 前四条是说 1 是正整 数 且它不是任何正整数的后面的一个数 称作后继 即 1 是第一个正整数 每个正整数都有唯一的后继 而且是正整数 关键是第五条 一个正整数集 合 如果包含 1 并且假设包含 也一定包含它的后继 那这个集合包含所有x 的正整数 这一条就是数学归纳法的原理 用符号表示 即 1 如果 且满足 2 若则 那么 SN 1 1S kS 1kS SN 根据这一原理 就有了数学归纳法 设是与正整数有关的命题 如果 P n 当时正确 即正确 1 1n 1 P 若假设正确前提下 可以证明命题也正确 2 P k 1 P k 那么命题对任意正整数都是正确的 数学归纳法的正确性可以用 正整数最小数原理 加以证明 正整数最小 数原理是说 任何非空正整数集合一定含有最小数 二 归纳法的特点二 归纳法的特点 1 归纳法是根据特殊现象推断一般现象 因而 由归纳所得的结论 超越 了前提所包含的内容 2 归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象 因而结 论具有猜测的性质 3 归纳法的前提是单个事实 特殊情况 所以归纳是立足于观察 经验 或实验的基础上的 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽 象的认识功能 对于科学的发现却是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作 归纳整理 提出带有规律性的说法 乃是科学研究的最基本的方法之一 5 例如多面体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 之间有什么关系呢 应该从何处 着手来研究这个问题呢 最容易下手的莫过于拿几个多面体来看 具体地数一数 它们的面 顶点和棱 于是产生了下面的表 多 面 体 面数 F 顶点数 V 棱数 E 立 方 体 6 8 12 三 棱 柱 5 6 9 五 棱 柱 7 10 15 方 锥 5 5 8 三 棱 锥 4 4 6 五 棱 锥 6 6 10 分析这些特例的数据的基础上就可以归纳出一个结论 2FVE 尽管这时还不能认为这个结论是正确的 但是它毕竟为我们提供可一个研究的方 向 即根据这个结论再去证实它符合一般多面体的情形 又如 已知函数 求 显然无法下手直接计算得 2 1 x f x x fff x 出结果 最自然的想法乃是先求及等特殊的简单的形式 易得 f f x ff f x f f x 2 1 2 x x ff f x 2 1 3 x x 于是 可以自然地归纳出结论 fff x 2 1 x nx 有了这个猜测性的结论之后 再去严格证明它 二二 基本步骤基本步骤 数学归纳法是数学中一种重要而独特的证明方法 对与自然数有关的命n 题的证明是行之有效的 首先它的两个步骤缺一不可 其次它的应用非常广泛 可以用它解决好多方面的数学问题 数学归纳法的步骤 2 当时 这个命题是正确的 1 1n 6 假设当时 这个命题是正确的 那么当时 这个命题也是 2 nk 1nk 正确的 数学归纳法的两个步骤缺一不可 一方面不要认为 一个命题在的时候正1n 确 在时正确 在时也正确 则这个命题就正确了 老实说 不要说2n 3n 当的时候正确不算数 就是为 1000 的时候正确 或者 1 万的时候正确 3n n 对任何自然数是否正确 还得证明了再说 三三 数学归纳法的常用方法举例数学归纳法的常用方法举例 3 13 1 求同法求同法 某种被研究的对象 在几种不同的情形下都出现 而在各种情形中只有一个 条件是共同的 于是 就可以认为这个条件是被研究现象产生的原因 它的公式可以表示为 情形 各种条件 被研究的对象 I A B Ca II A D Ea III A F Ga 可以认为 A 是 a 的原因 两个边长相等的正方形 其中一个正方形某顶点重合于另一个正方形的中 心 O 并绕 O 点旋转 无论旋转到任何位置 两个正方形重叠部分的面积总是一个 定值 两个边长相等的正六边形也具有同样的性质 由此使我们猜想到 这个现象 产生的原因只在于两个多边形边长相等而且是正多边形 它与边数的多少无关 伽利略观察到 摆长相等 振幅不相等时 摆动一个周期的时间不变 于是 肯定了摆长是周期的决定因素 3 23 2 求异法求异法 某种被研究的现象 a 只有在第 I 种情形出现 在第 II 种情形不出现 而 I II 两种情形除 I 有条件 A 而 II 没有条件 A 外 其余条件都相同 于是 可以 认为 A 是现象 a 产生的原因或部分原因 求异法的公式是 情形 各种条件 被研究的对象 I A B Ca II B C 可以认为是现象 a 产生的原因或部分原因 7 在种子 土地 气温相同的条件下 如果施用有机肥 产量就低 由 此可以说明 施用有机肥时增产的原因 在相同的饲养条件下 如果给牛播送 轻音乐 则牛奶产量高 说明播送轻音乐可以使牛奶产量增加 3 33 3 求同求异并用法求同求异并用法 在一系列的情形中 凡有条件 A 的都有现象 a 出现凡没有条件 A 的则现 象 a 不出现 则可认为 A 是现象 a 的原因 求同求异并用法 情形 各种条件 被研究的对象 I A B Ca II A D Ea III A F Ga IV M N V X Y 可以认为 A 是 a 的原因 这种方法比单纯的求同法或求异法更为可靠 3 43 4 共变法共变法 在一系列的情形中 其余条件保持不变 只把条件 A 作大小强弱的变 化 如果由此也只引起现象 a 的大小强弱变化 则可认为 A 是 a 的原因 共变法的公式是 情形 各种条件 被研究的对象 I 1 A B C 1 a II 2 A B C 2 a III 3 A B C 3 a 可以认为 A 是 a 的原因 共变法多用于两种因素之间的量的依存关系 用柱面图或曲线表示两 个变量之间的关系 也是共变法的一种表现 3 53 5 剩余法剩余法 一组条件引起一组现象 如果除去条件 A 和现象 a 外 可以其余条件是 其余现象的原因 就是 A 是 a 的原因 剩余法的公式是 8 情形 各种条件 被研究的对象 I A B C a b c II Bb III Cc 可以认为 A 是 a 的原因 含铀的沥青矿可以发出放射线 居里夫人已经掌握了这种放射的强度 一 次 居里夫人从含铀的沥青矿中 发现了超乎寻常的放射线的强度 于是 他推测 应当有另一种放射性元素存在 经过艰苦的工作终于发现了镭 四 在高等数学中的归纳法运用举例四 在高等数学中的归纳法运用举例 例 1 证明若 则不等式 1x 1 1 n xn 1 n 为真 且仅当时 等号成立 0 x 证明 当时 显然式 等号成立 0 x 下面设且 1x 0 x 1n 当时 式 成立 2n 22 1 1 21 2 xxxx 假设时 式 成立 即 nk 1 1 k xkx 当时 由上式得1nk 1 1 1 1 1 1 kk xxxkxx 2 1 1 1 1 kxkxkx 可见 当时 式 也成立 1nk 故对一切的自然数 式 都成立 1n 例 2用数学归纳法的思想证明 2 对任何自然数1 2n 1 2 n n 皆成 立 n 证明 当时 则式 2 显然成立 1n 1 2n 1 2 1 2 1 2 n n 假设时 式 2 成立 即nk 1 2k 1 2 k k 当时 由上式得1nk 11 2 1 k 1 2 1k 1 2 k k 2 2 2 kk 1 2 2 kk 9 则 显然可以看出当时式 2 也成立 1nk 故对一切自然数 式 2 都成立 五 数学归纳法解决应用问题五 数学归纳法解决应用问题 数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法 在中学 数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看 1 中学数学中的许多重要结论 如等差数列 等比数列的的通项公式与前 n 项和公式 二项公式定理等都可以用 数学归纳法进行证明 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题 我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性 2 运用数学归纳法可以证明许 多数学问题 既可以开阔眼界 又可以受到推理论证的训练 对于一些用常规的分 析终合法不好证明的题 用数学归纳法往往会得到一些意想不到的好结果 3 数学归纳法在进一步学习数学时会经常用到 因此掌握这种方法可以为今后的高 等数学的学习打下一个良好的基础 通过对数学归纳法的了解 我们不难发现 它的应用是十分广泛的 用这个数学方法可解决以下几个方面的数学问题 4 5 15 1 代数恒等式方面的问题 有不少的代数恒等式 它的严格证明需要用到数学归纳法 例 1 数列的第项 可以用公式 表示 这里是它的n 1 1 n aand 1 a 首项 是公差 d 证明 当时 式成立1n 11 aa 假设当时 式成立 那么当时 有 nk 1nk 111 1 1 1 kk aadakddakd 当时 式也成立1nk 由此可知 对于所有的自然数 式均成立 n 5 25 2 几何方面的应用 例2 凸边形的内角和等于 n 2 180f nn 证明 当时 就是三角形内角和为180 而3n 10 3 2 180 32 180180fn 即时 命题成立3n 假设当时 凸边形内角和等于成立nk k 2 180f kk 因为凸边形可以添一条对角线而成一个凸边形与一个三角形 所 1 k k 以凸边形内角和为凸k边形内角与三角形内角的和 1 k 即 1 2 180180f kk 1 2 180k 也就是说 当时 命题也成立 1nk 5 3 排列和组合排列和组合上的应用上的应用 数学归纳法最简单的应用之一 是用来研究排列和组合的公式 例 3 证明 m n n C m nm 1 证明 首先 这是显然的 如果再能证明当的时候 1 n Cn 1mn 那么式子也就可用数学归纳法来证明 1 11 mmm nnn CCC 21 我们假定有个不同的元素每次取出个元素的组合里 可以分为n 12 n a aa m 两类 一类含有 一类不含有 含有的组合数 就等于从里取 1 a 1 a 1 a 2 n aa 个元素的组合数 它等于 不含有的组合数 就等于从1m 1 1 m n C 1 a 里取个的组合数 它等于 所以 2 n aa m 1 m n C 1 11 mmm nnn CCC 下面我们证明式子 1 因为当的时候 这个定理是正确的1n 假设当的时候 这个定理是正确的 那么 1nk 1 11 1 1 1 1 mmm kkk kk CCC m kmmkm 这里 k m km 1mk 所以时 这个定理也是正确的nk 11 故 公式是成立的 m n n C m nm 5 45 4 对于不等式的证明上的应用 例4 求证 1aaaa 证明 当时 左边 右边1n a1a 因为 所以成立0a 1aa 即当时 命题成立1n 假设当时这个命题成立 即nk 1aaaa k个根号 当时 1nk aaaaaa k 1个根号k个根号 2 1 21 1 1aaaaaa 这就是说 当时 命题成立1nk 由上述可知 对于命题成立nN 总之 数学归纳法是一种非常好 非常简便 应用广泛的证明命题的方法 数学归纳法是直接证明命题的一种重要方法 一般地说 与正整数有关 的恒等式 不等式 数的整除性 数列的通项及前项和等问题 都可用数n 学归纳法解决 下面对数学归纳法应用中常见误区加以剖析 以及一些证法 技巧介绍 从而提高学生对数学归纳法的应用能力 六 总结六 总结 在数学归纳法中 目标意识的作用特别重要 本文结合实例 对数学归纳法进行了介 绍和论述 控制原理及实践表明 解数学问题时 首先必须按照问题的要求确立一个解题目标 然后比较初始条件 中间状态 解题目标之间的差异 以此确定和控制解题方向 再进行 推理运算 使差异逐步缩小 最终实现解题 众所周知 数学归纳法是一种重要的证明方 法 是数学教学中的一大难点 为了解决这一难点 可以将目标意识运用在数学归纳法 中 经过多年的探索