直线与圆的位置关系(相交.doc

二、直线与圆的位置关系（相交，相切，相离）已知圆，直线。1、位置关系的判定：判定方法1：联立方程组，得到关于x（或y）的方程（1）相交；（2）相切；（3）相离。判定方法2： 若圆心到直线L的距离为d，（1）相交；（2）相切；（3）相离。例1、判断直线与圆的位置关系。法一：直线恒过点，且P在圆O内，所以直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为 当时， 所以直线L与圆O相交。法三：联立方程，消去y得 当时，直线与圆相交； 当时，直线L:，此时直线L与圆O相交。评法二和法三是判断直线与圆位置关系的基本方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量的计算，因此体现了数形结合的优点。例2、求圆上的点到直线的距离的最大最小值法一：设为圆上一点，则点P到直线的距离为所以当时，当时，。xy0ABM3x+4y=25法二：如图，直线l过圆心，且与垂直 于点M，此时，l与圆有两个交点A、B。原点到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为。评法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。2、切线问题：例3：（1）已知点是圆C：上一点，求过点P的圆C的切线方程；（。）法一：因点是圆C：上一点，所以， 当且时，所以切线方程为，即（1）； 当P为时，切线方程为，满足方程（1）；当P为时，切线方程为，满足方程（1）；当P为时，切线方程为，满足方程（1）；当P为时，切线方程为，满足方程（1）；综上，所求切线方程为。法二：设为所求切线上除P点外的任一点，xyOPM则由图知，即，且满足上面的方程。综上，所求切线方程为。（2）已知圆O：，求过点P（4，6）的圆的切线PT的方程。解：当PT方程为时，为圆O的切线，满足题意； 设PT的方程为，即则圆心到PT的距离为，所以PT的方程为，即 综上，切线PT的方程为。评（1）判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。（2）过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例4、求过下列各点的圆C：的切线方程：（1）；（2）。解：（1）圆C:，圆心，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为 ，所以所求切线方程为。法二：，所以所求切线方程为即（2）点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为，则圆心C到切线的距离为 又直线也是圆的切线方程所以所求切线方程为和。 APBOxy例5、设点是圆上任一点，求的取值范围。（）法一：u表示过点且与圆有交点的直线l的斜率， 如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，直线PB的方程为，圆心到直线PB的距离为，所以。法二：设，则 评法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。 法二把这个几何问题转化为求三角函数值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难以解决，反过来，我们可以把求值域的问题转化为本题去解决，就显得要好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。xOyPABL例6、从直线上一点做圆的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。解：因为所以当最小时，最小，又因当时最小，此时，。xOyPABD例7、（切点弦）过圆外一点做圆的切线，切点为A、B，求：直线AB的方程。法一：如图，,由射影定理知，所以O分的比为，所以，又当时即当或时，切线方程满足上式所以所求切线的方程为。法二：设，则过A点的切线为，过点，同理有由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程，它是一条直线的方程，而过两点的直线有且仅有一条，所以直线AB的方程为。评法一先求得直线AB的斜率及其上一点的坐标，再由点斜式写出直线的方程，做起来运算量比较大。而法二巧妙的避开了求AB的坐标，设而不求A、B两点的坐标，体现了对曲线与方程概念的深刻理解。3、弦长公式：若L与C交于A、B两点，求AB方法1：利用弦心距与半径求弦长；方法2：利用弦长公式求弦长：或例8、求圆心在点，且在直线上截得的弦长为的圆的方程。法一：圆心到直线的距离为 所以所求圆的方程为。法二：设圆的方程为，则由，消去y得由韦达定理，所以所求圆的方程为。xOyPBAC例9、过点的直线l与圆交于A、B两点，若使最小，求直线l的方程。 解：圆，圆心，r=2因，当d最大时，最小，此时，直线，所以直线l的方程为即。4、弦中点问题：若L与C交于P、Q两点，P、Q的中点为M1) 若已知圆方程与M，求直线的方程。2) 若已知圆方程与直线L的斜率，求M的轨迹。3) 若已知圆方程，又知直线L过定点(m，n)，求M的轨迹。例10、（1）若点为圆的弦AB的中点，求直线AB的方程。解：圆心，因，且l过点P， 的方程为即（2）若直线与圆相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设为所求轨迹上任一点，消去y得由韦达定理， 由消去b得，又因M在圆内，所以所求轨迹为直线在圆内的部分。（3）经过原点作圆的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。法一：设为所求轨迹上任一点，直线l的方程为，由消去y得，又因代入得，因M点在圆内，所以所求轨迹为圆在圆内的部分。法二：设为所求轨迹上任一点，因， 当且时，有即 ； 当时，点M不存在；当时，点M与C重合，符合方程； 因M点在圆内所求轨迹为圆在圆内的部分。法三：设为所求轨迹上任一点，点在以OC为直径的圆上，即，因M点在圆内，所以所求轨迹为圆在圆内的部分。作业：1. 求以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程2. 在圆的切线中，求与直线平行的切线方程。3. 一个圆经过点P（2，-1）和直线相切，且圆心在上，求它的方程。4. 圆的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于16，求此切线的方程。5. 已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数m的取值范围。6. 若圆上的点到直线距离的最大值是4，求k7. 设a +b+1=0 , 试求:的最小值8. 已知实数满足：（1）求y-2x的取值范围；（2）求的取值范围。9. 自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，求光线L所在的直