不等式证明的策.doc

不等式证明的策略【摘要】不等式证明是初等数学各类证明题型中较难的，本文例举了比较法、综合法、基本不等式法等方法，形成一系列不等式证明的策略，从而降低证明难度提高证明效率【关键词】比较法，综合法，基本不等式法，分析法，数学归纳法，放缩法，向量法不等式的证明，关键是认真分析，巧妙的运用各种数学方法，如：比较法，综合法，基本不等式法，分析法等，而恰当的方法要根据命题的具体形式及有关联的公式等来决定。1 比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常见的证明方法有两种：（1）作差比较法使用该方法主要是将差变形为一个常数与几个平方和的形式，常用配方法或实数特征 0 判断差的符号，变形时可用因式分解法，变形后若得到二次不等式，则常用判别式判定符号。例1 已知a0，b0，c0 ，求证：2（ ）3（ ） 分析 原式右边原式左边=c3 +2 ()因为不等式的左右两边都有a+b ，所以用作差比较法可使其简化由于含字母的根号运算我们不太熟悉，可将其用换元法转化为我们所熟悉的证明设=x,=y则()式=-3x+2=（- x）+(-2x+2)=(x+2y)0注：化简过程注意运用分组、因式分解、提取公因式、合并同类项等基本数学方法；分解因式时要分解到不能分解为止。2（ ）3（ ）（2）作商比较法使用该方法主要是当要证的式子两端是乘积或幂指数的形式时，但使用时要注意题设所给条件。例 2 已知a0，b0，求证：分析原式左边原式右边=因为不等式两端是指数式且均大于0，所以应用作商比较法证明当ab0 时，有 1， 0 1 当ba0 时，有 01, 1 当a=b0 时，有 =1 ,=0 =1综上所述：因为 a, b 关系不定，所以应分类讨论2 综合法由要证问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理（主要是基本不等式），经过逐步的逻辑推理，推导出欲证结论的方法。其特点是：“由因导果”即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”。较易的不等式证明多直接采用综合法。例3 已知a、b、c,且a+b+c=1,求证：（1）（1）（1）8分析因为不等式右边数字为8，而8是三个“2”的乘积，左边又是三个式子相乘，又有a+b+c=1 ，所以做法如下证明a、b、c, a+b+c=11=+同理1，1（1）（1）（1）=8当且仅当a=b=c= 时不等式等号成立。注：在证明过程中据本题自身的特点合理运用通分、等量代换等数学方法。3 基本不等式法注：在使用基本不等式时，要注意添项和拆项的技巧。一定保证不等式成立的条件及等号的条件：同时要注意适当的恒等变形，因为有时原不等式成立不直接具备利用基本不等式的条件。4 分析法分析法是从要证的结论入手寻求使结论成立的条件。一般当要证的不等式比较复杂无从下手时常用分析法。但由于分析法叙述较繁，所以常采用分析法分析，而用综合法书写的形式。例4 已知a、b，a+b=1。试证明：（a+）（b+）证明要证（a+）（b+）即证ab+4+4+4(+)25aba+b=1+=2ab=12ab433ab+80即（4ab1）(ab8) 0a+b2 4abab 4ab10且ab8分析这里的n可以取任意自然数，如果对每一个自然数进行逐一考察，但由于自然数的无穷性，这显然是不可能的。然而我们又发现该题与自然数密切相关，不妨考虑一下数学归纳法。证明（1）当n=1时，不等式显然成立（2）假设当n=k时，命题成立，即1+ 当n=k+1时，有1+又11+=+=当n=k+1时不等式也成立在此基础上就可以断定对于任意自然数n，结论都正确。综上所述，对于一切正整数n, 1+ 6 放缩法放缩法是对原不等式的变形，一般是放大或缩小，要注意适度且方向要一致，运用放缩法证明不等式运用了不等式的传递性。放缩法的技巧一般有：（1） 舍掉或加进一些项（2） 在分式中放大或缩小分子或分母（3） 应用基本不等式进行放缩例6 已知a，b，c，d都是正数S=+求证：1s2证明a，b，c，d都是正数+1s27 向量法向量法一般是利用向量等工具巧妙地构造出所证明的不等式的几何模型，再利用向量共线或垂直的条件，解决普通方法难以处理的问题，它对发展学生的创造性思维有很好的作用。例7 求证+分析首先我们观察所要证的不等式，我们发现不等式的左边比较奇特，它使我们易联想到空间向量模的坐标表示可将左边看成=(1y,x+y3,2x+y6) 模的平方 所以为使 为常数，所以我们要将=(1y,x+y3,2x+y6) 中的x和y消去，据待定系数法可构造 =（1，2，-1） = =（1y） 1+（x+y3） 2+（2x+y6） （-1）=1 1即+此外，不等式的证明还有许多方法，如：辅助函数法、反证法等等。总之，不等式的证明方法是多种多样的，许多题不仅仅用一种方法，我们应注意多种方法在一题之中的应用。如：分析法与综合法就常在一起运用、基本不等式法与综合法，以及辅助函数法与判别式法等也