近世代数模拟试题4套附详细答案.pdf

近世代数模拟试题一 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 在每小题列出的四个备选项中只 有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 设 A B R 实数集 如果 A 到 B 的映射 x x 2 x R 则 是从 A 到 B 的 A 满射而非单射 B 单射而非满射 C 一一映射 D 既非单射也非满射 2 设集合 A 中含有 5 个元素 集合 B 中含有 2 个元素 那么 A 与 B 的积集合 A B 中含有 个元素 A 2 B 5 C 7 D 10 3 在群 G 中方程 ax b ya b a b G 都有解 这个解是 乘法来说 A 不是唯一 B 唯一的 C 不一定唯一的 D 相同的 两方程解一样 4 当 G 为有限群 子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数 A 不相等 B 0 C 相等 D 不一定相等 5 n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的 A 倍数 B 次数 C 约数 D 指数 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正 确答案 错填 不填均无分 1 设集合 1 0 1 A 2 1 B 则有 AB 2 若有元素 e R 使每 a A 都有 ae ea a 则 e 称为环 R 的 3 环的乘法一般不交换 如果环 R 的乘法交换 则称 R 是一个 4 偶数环是 的子环 5 一个集合 A 的若干个 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个 6 每一个有限群都有与一个置换群 7 全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群 则这个群的单位元是 元 a 的逆元是 8 设I和S是环R的理想且 RSI 如果I是R的最大理想 那么 9 一个除环的中心是一个 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 1 设置换 和 分别为 64173528 12345678 23187654 12345678 判断 和 的奇偶 性 并把 和 写成对换的乘积 2 证明 任何方阵都可唯一地表示成一个对 称矩阵与一个反对称矩阵之和 3 设 集 合 1 1 2 1 0 mmmMm 定 义 m M 中 运 算 m 为 a m b a b modm 则 m M m 是不是群 为什么 四 证明题 本大题共 2 小题 第 1 题 10 分 第 2 小题 15 分 共 25 分 1 设G是群 证明 如果对任意的 Gx 有 ex 2 则G是交换群 2 假定 R 是一个有两个以上的元的环 F 是一个包含 R 的域 那么 F 包含 R 的 一个商域 近世代数模拟试题二 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 设 G 有 6 个元素的循环群 a 是生成元 则 G 的子集 是子群 A a B ea C 3 ae D 3 aae 2 下面的代数系统 G 中 不是群 A G 为整数集合 为加法 B G 为偶数集合 为加法 C G 为有理数集合 为加法 D G 为有理数集合 为乘法 3 在自然数集 N 上 下列哪种运算是可结合的 A a b a b B a b max a b C a b a 2b D a b a b 4 设 1 2 3 是三个置换 其中 1 12 23 13 2 24 14 3 1324 则 3 A 1 2 B 1 2 C 2 2 D 2 1 5 任意一个具有 2 个或以上元的半群 它 A 不可能是群 B 不一定是群 C 一定是群 D 是交换群 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正 确答案 错填 不填均无分 1 凯莱定理说 任一个子群都同一个 同构 2 一个有单位元的无零因子 称为整环 3 已知群G中的元素a的阶等于 50 则 4 a 的阶等于 4 a 的阶若是一个有限整数 n 那么 G 与 同构 5 A 1 2 3 B 2 5 6 那么 A B 6 若映射 既是单射又是满射 则称 为 7 叫 做 域F的 一 个 代 数 元 如 果 存 在F的 n aaa 10 使 得 0 10 n n aaa 8 a是代数系统 0 A的元素 对任何Ax 均成立xax 则称a为 9 有限群的另一定义 一个有乘法的有限非空集合G作成一个群 如果满足G 对于乘法封闭 结合律成立 10 一个环 R 对于加法来作成一个循环群 则 P 是 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 1 设集合 A 1 2 3 G 是 A 上的置换群 H 是 G 的子群 H I 1 2 写出 H 的所有陪集 2 设 E 是所有偶数做成的集合 是数的乘法 则 是 E 中的运算 E 是一 个代数系统 问 E 是不是群 为什么 3 a 493 b 391 求 a b a b 和 p q 四 证明题 本大题共 2 小题 第 1 题 10 分 第 2 小题 15 分 共 25 分 1 若是群 则对于任意的 a b G 必有惟一的 x G 使得 a x b 2 设m是一个正整数 利用m定义整数集Z上的二元关系 a b当且仅当m a b 近世代数模拟试题三 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无分 1 6 阶有限群的任何子群一定不是 A 2 阶 B 3 阶 C 4 阶 D 6 阶 2 设 G 是群 G 有 个元素 则不能肯定 G 是交换群 A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 3 有限布尔代数的元素的个数一定等于 A 偶数 B 奇数 C 4 的倍数 D 2 的正整数次幂 4 下列哪个偏序集构成有界格 A N B Z C 2 3 4 6 12 整除关系 D P A 5 设 S3 1 12 13 23 123 132 那么 在 S3 中可以与 123 交换的所有元素有 A 1 123 132 B 12 13 23 C 1 123 D S3 中的所有元素 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正 确答案 错填 不填均无分 1 群的单位元是 的 每个元素的逆元素是 的 2 如果 f 是A与A间的一一映射 a是A的一个元 则 aff 1 3 区间 1 2 上的运算 minbaba 的单位元是 4 可换群 G 中 a 6 x 8 则 ax 5 环 Z8的零因子有 6 一个子群 H 的右 左陪集的个数 7 从同构的观点 每个群只能同构于他 它自己的 8 无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的 9 设群G中元素a的阶为m 如果 ean 那么m与n存在整除关系为 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 1 用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链 问可做出多少种不同的项链 2 S1 S2是 A 的子环 则 S1 S2也是子环 S1 S2也是子环吗 3 设有置换 1245 1345 6 456 234 S 1 求 和 1 2 确定置换 和 1 的奇偶性 四 证明题 本大题共 2 小题 第 1 题 10 分 第 2 小题 15 分 共 25 分 1 一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想 2 M 为含幺半群 证明b a 1的充分必要条件是 aba a和ab 2a e 近世代数模拟试题四 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的 括号内 错选 多选或未选均无分 1 设集合 A 中含有 5 个元素 集合 B 中含有 2 个元素 那么 A 与 B 的积集合 A B 中含 有 个元素 A 2 B 5 C 7 D 10 2 设 A B R 实数集 如果 A 到 B 的映射 x x 2 x R 则 是从 A 到 B 的 A 满射而非单射 B 单射而非满射 C 一一映射 D 既非单射也非满射 3 设 S3 1 12 13 23 123 132 那么 在 S3中可以与 123 交换的所有元素 有 A 1 123 132 B 12 13 23 C 1 123 D S3中的所有元素 4 设 Z15是以 15 为模的剩余类加群 那么 Z15的子群共有 个 A 2 B 4 C 6 D 8 5 下列集合关于所给的运算不作成环的是 A 整系数多项式全体 Z x 关于多项式的加法与乘法 B 有理数域 Q 上的 n 级矩阵全体 Mn Q 关于矩阵的加法与乘法 C 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法 m n Z m n 0 D 整数集 Z 关于数的加法和新给定的乘法 m n Z m n 1 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 设 是集合 A 的一个关系 如果 满足 则称 是 A 的一个等 价关系 7 设 G 是一个群 那么 对于 a b G 则 ab G 也是 G 中的可逆元 而且 ab 1 8 设 23 35 1243 235 S5 那么 表示成若干个没有公共数 字的循环置换之积 9 如果 G 是一个含有 15 个元素的群 那么 根据 Lagrange 定理知 对于 a G 则元素 a 的阶只可能是 10 在 3 次对称群 S3中 设 H 1 123 132 是 S3的一个不变子群 则商群 G H 中的 元素 12 H 11 设 Z6 0 1 2 3 4 5 是以 6 为模的剩余类环 则 Z6中的所有零因 子是 12 设 R 是一个无零因子的环 其特征 n 是一个有限数 那么 n 是 13 设 Z x 是整系数多项式环 x 是由多项式 x 生成的主理想 则 x 14 设高斯整数环 Z i a bi a b Z 其中 i2 1 则 Z i 中的所有单位是 15 有理数域 Q 上的代数元2 3在 Q 上的极小多项式是 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 16 设 Z 为整数加群 Zm为以 m为模的剩余类加群 是 Z 到 Zm的一个映射 其中 k k k Z 验证 是 Z 到 Zm的一个同态满射 并求 的同态核 Ker 17 求以 6 为模的剩余类环 Z6 0 1 2 3 4 5 的所有子环 并说明这 些子环都是 Z6的理想 18 试说明唯一分解环 主理想环 欧氏环三者之间的关系 并举例说明唯一分解环未必是 主理想环 四 证明题 本大题共 3 小题 第 19 20 小题各 10 分 第 21 小题 5 分 共 25 分 19 设 G a b c G 的代数运算 由右边的运算表给出 证明 G 作成一个群 20 设 Zc a 0c 0a I Zd c b a dc ba R 已知 R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环 证明 I 是 R 的一个子环 但不是理想 21 设 R 是一个环 如果 R 是一个循环群 证明 R 是一个交换环 近世代数模拟试题一 参考答案 一 单项选择题 a b c a a b c b b c a c c a b 1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 1 1 2 0 2 1 21 1 0 1 1 1 2 单位元 3 交换环 4 整数环 5 变 换群 6 同构 7 零 a 8 S I 或 S R 9 域 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 1 解 把 和 写成不相杂轮换的乘积 8 247 1653 6 57 48 123 可知 为奇置换 为偶置换 和 可以写成如下对换的乘积 27 24 16 15 13 57 48 12 13 2 解 设 A 是任意方阵 令 2 1 AAB 2 1 AAC 则 B 是对称矩阵 而 C 是反对称矩阵 且 CBA 若令有 11 CBA 这里 1 B 和 1 C 分别为对称 矩阵和反对称矩阵 则 CCBB 11 而等式左边是对称矩阵 右边是反对称 矩阵 于是两边必须都等于 0 即 1 BB 1 CC 所以 表示法唯一 3 答 m M m 不是群 因为 m M 中有两个不同的单位元素 0 和 m 四 证明题 本大题共 2 小题 第 1 题 10 分 第 2 小题 15 分 共 25 分 1 对于 G 中任意元 x y 由于 exy 2 所以 yxxyxyxy 111 对每 个 x 从 ex 2 可得 1 xx 2 证明在 F 里 0 11 bRba b a abab 有意义 作 F 的子集 0 bRba b a Q所有 Q 显然是 R 的一个商域 证毕 近世代数模拟试题二 参考答案 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 二 填空题 本大题共 10 小题 每空 3 分 共 30 分 1 变换群 2 交换环 3 25 4 模 n 乘余类加群 5 2 6 一一映射 7 不都等于零的元 8 右单位元 9 消去律成立 10 交换环 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 1 解 H 的 3 个右陪集为 I 1 2 1 2 3 1 3 1 3 2 2 3 H 的 3 个左陪集为 I 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 2 答 E 不是群 因为 E 中无单位元 3 解 方法一 辗转相除法 列以下算式 a b 102 b 3 102 85 102 1 85 17 由此得到 a b 17 a b a b 17 11339 然后回代 17 102 85 102 b 3 102 4 102 b 4 a b b 4a 5b 所以 p 4 q 5 四 证明题 本大题共 2 小题 第 1 题 10 分 第 2 小题 15 分 共 25 分 1 证明 设 e 是群的幺元 令 x a 1 b 则 a x a a 1 b a a 1 b e b b 所以 x a 1 b 是 a x b 的解 若x G也是a x b的解 则x e x a 1 a x a 1 a x a 1 b x 所以 x a 1 b 是 a x b 的惟一解 2 容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系 把这样定义的等价类集合Z记 为 Zm 每个整数 a 所在的等价类记为 a x Z m x a 或者也可记为a 称之为模 m 剩余类 若 m a b 也记为 a b m 当 m 2 时 Z2 仅含 2 个元 0 与 1 近世代数模拟试题三 参考答案 一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 在每小