2011年高考数学专题讲义1空间位置关系与证明.pdf

岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 1 1 1 1 A B C D D C B A 第二十三讲 空间位置关系与证明 第二十三讲 空间位置关系与证明 高考在考什么高考在考什么 考题回放 考题回放 1 浙江 若P是两条异面直线lm 外的任意一点 则 B A 过点P有且仅有一条直线与lm 都平行 B 过点P有且仅有一条直线与lm 都垂直 C 过点P有且仅有一条直线与lm 都相交 D 过点P有且仅有一条直线与lm 都异面 2 湖南 如图 过平行六面体 ABCD A1B1C1D1任意两条棱的中 点作直线 其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 D A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 3 湖北 平面 外有两条直线m和n 如果m和n在平面 内的射影分别是 m 和 n 给出下列四个命题 mnmn mnmn m 与 n 相交 m与n相交或重合 m 与 n 平行 m与n平行或重合 其中不正确的命题个数是 1 2 3 4 4 湖北 关于直线m n与平面 有下列四个命题 D nm且 则nm nm 且 则nm nm 且 则nm nm 且 则nm 其中真命题的序号是 A B C D 5 在正方形 DCBAABCD 中 过对角线 BD的一个平面交 AA于 E 交 CC于 F 则 四边形EBFD 一定是平行四边形 四边形EBFD 有可能是正方形 四边形EBFD 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD 有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 6 上海 在平面上 两条直线的位置关系有相交 平行 重合三种 已知 是 两个相交平面 空间两条直线 12 ll 在 上的射影是直线 12 ss 12 ll 在 上的射影是 直线 12 tt 用 1 s与 2 s 1 t与 2 t的位置关系 写出一个总能确定 1 l与 2 l是异 面直线的充分条件 21 s s 并且 1 t与 2 t相交 1 t 2 t 并且 1 s与 2 s相交 高考要考什么 高考要考什么 一 线与线的位置关系 平行 相交 异面 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 线与面的位置关系 平行 相交 线在面内 面与面的位置关系 平行 相交 二 转化思想 线线平行线面平行面面平行 线线线面面面 高考将考什么 范 例1 天 津 高考将考什么 范 例1 天 津 如 图 在 四 棱 锥PABCD 中 PA 底 面ABCD 60ABADACCDABC PAABBC E是PC的中点 证明CDAE 证明PD 平面ABE 求二面角APDC 的大小 证明 在四棱锥PABCD 中 因PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故PACD ACCDPAACA I CD 平面PAC 而AE 平面PAC CDAE 证明 由PAABBC 60ABC 可得ACPA E 是PC的中点 AEPC 由 知 AECD 且PCCDC I 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD AEPD PA 底面ABCDPD 在底面ABCD内的射影是AD ABAD ABPD 又ABAEA I 综上得PD 平面ABE 解法一 过点A作AMPD 垂足为M 连结EM 则 知 AE 平面PCD AM在平面PCD内的射影是EM 则EMPD 因此AME 是二面角APDC 的平面角 由已知 得30CAD 设ACa 可得 2 3212 332 PAaADaPDaAEa 在ADPRt 中 AMPD AM PDPA AD 则 2 3 2 7 3 721 3 aa PA AD AMa PD a 在AEMRt 中 14 sin 4 AE AME AM 解法二 由题设PA 底面ABCD PA 平面PAD 则平面PAD 平面ACD 交线 为AD 过点C作CFAD 垂足为F 故CF 平面PAD 过点F作FMPD 垂足为M 连结CM 故CMPD 因此CMP 是二面角APDC 的平面角 由已知 可得30CAD 设ACa A B C D P E A B C D P E M A B C D P E F M 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 可得 2 32113 3326 PAaADaPDaCFaFDa FMDPAD FMFD PAPD 于是 3 7 6 1421 3 a a FD PA FMa PD a 在CMFRt 中 1 2 tan7 7 14 a CF CMF FM a 所以二面角APDC 的大小是arctan7 所以二面角APDC 的大小是 14 arcsin 4 变式 如图 在五面体ABCDEF中 点O是矩形ABCD的对角线的交点 面CDE是等 边三角形 棱 1 2 EFBC 1 证明FO 平面CDE 2 设3BCCD 证明EO 平面CDF 证明 取 CD 中点 M 连结 OM 在矩形 ABCD 中 1 2 OMBC 又 1 2 EFBC 则 OMEF 连结 EM 于是四边形 EFOM 为平行四边形 FOEM 又FO Q平面 CDE EM 平面 CDE FO 平面 CDE 证明 连结 FM 由 和已知条件 在等边 CDE 中 CMDM EMCD 且 31 22 EMCDBCEF 因此平行四边形 EFOM 为菱形 从而 EO FM 而 FM CD M CD 平面 EOM 从而 CD EO 而FMCDM 所以 EO 平面 CDF 点晴 点晴 本小题考查直线与平面平行 直线与平面垂直等基础知识 注意线 面平行和线面垂直判定定理的使用 考查空间想象能力和推理论证能力 范例 2 范例 2 安徽 如图 在六面体 1111 ABCDABC D 中 四边形ABCD是 边长为 2 的正方形 四边形 1111 ABC D是边长为 1 的正方形 1 DD 平面 1111 ABC D 1 DD 平面ABCD 1 2DD 求证 11 AC与AC共面 11 B D与BD共面 求证 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD 求二面角 1 ABBC 的大小 用反三角函数值表示 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 证明 以D为原点 以 1 DADCDD 所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图 则有 1 111 2 0 0 2 2 0 0 2 0 10 2 112 012 0 0 2 ABCA BCD 证明 1111 110 2 2 0 110 2 2 0 ACACD BDB uuuu ruuu ruuuu ruuu r 1111 22ACAC DBD B uuu ruuuu r uuu ruuuur AC uuu r 与 11 AC uuuu r 平行 DB uuu r 与 11 D B uuuu r 平行 于是 11 AC与AC共面 11 B D与BD共面 证明 1 0 0 2 2 2 0 0DD AC uuuu r uuu r 2 2 0 2 2 0 0DB AC uuu r uuu r 1 DDAC uuuu ruuu r DBAC uuu ruuu r 1 DD与DB是平面 11 B BDD内的两条相交直线 AC 平面 11 B BDD 又平面 11 A ACC过AC 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD 解 111 10 2 112 012 AABBCC uuuruuuruuuu r 设 111 xyz n为平面 11 A ABB的法向量 111 20AAxz uuur n 1111 20BBxyz uuur n 于是 1 0y 取 1 1z 则 1 2x 2 01 n 设 222 xyz m为平面 11 B BCC的法向量 1222 20BBxyz uuur m 122 20CCyz uuuu r m 于是 2 0 x 取 2 1z 则 2 2y 0 21 m A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D x y z 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 1 cos 5 m n mn m n 二面角 1 ABBC 的大小为 1 arccos 5 解法 2 综合法 证明 1 D D 平面 1111 ABC D 1 D D 平面ABCD 1 D DDA 1 D DDC 平面 1111 ABC D 平面ABCD 于是 11 C DCD 11 D ADA 设EF 分别为DA DC 的中点 连结 11 EFAEC F 有 1111 11AED DC FD DDEDF 11 AEC F 于是 11 ACEF 由1DEDF 得EFAC 故 11 ACAC 11 AC与AC共面 过点 1 B作 1 BO 平面ABCD于点O 则 1111 BOAEBOC F 连结OEOF 于是 11 OEB A 11 OFBC OEOF 1111 B AAD OEAD 1111 BCC D OFCD 所以点O在BD上 故 11 D B与DB共面 证明 1 D D 平面ABCD 1 D DAC 又BDAC 正方形的对角线互相垂直 1 D D与BD是平面 11 B BDD内的两条相交直线 AC 平面 11 B BDD 又平面 11 A ACC过AC 平面 11 A ACC 平面 11 B BDD A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M O E F 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 解 直线DB是直线 1 B B在平面ABCD上的射影 ACDB 根据三垂线定理 有 1 ACB B 过点A在平面 11 ABB A内作 1 AMB B 于M 连结MCMO 则 1 B B 平面AMC 于是 11 B BMCB BMO 所以 AMC 是二面角 1 AB BC 的一个平面角 根据勾股定理 有 111 556A ACCB B 1 OMB B 有 1 1 2 3 BO OB OM B B 2 3 BM 10 3 AM 10 3 CM 222 1 cos 25 AMCMAC AMC AM CM 1 arccos 5 AMC 二面角 1 ABBC 的大小为 1 arccos 5 变式 江苏 如图 已知 1111 ABCDABC D 是棱长为3的正方体 点E在 1 AA上 点F在 1 CC上 且 1 1AEFC 1 求证 1 EBFD 四点共面 4 分 2 若点G在BC上 2 3 BG 点M在 1 BB上 GMBF 垂足为H 求证 EM 平面 11 BCC B 4 分 3 用 表示截面 1 EBFD和侧面 11 BCC B所成的锐二面角的大小 求tan 证明 1 建立如图所示的坐标系 则 3 01 BE uuu r 0 3 2 BF uuu r 1 3 33 BD uuuu r 所以 1 BDBEBF uuuu ruuu ruuu r 故 1 BD uuuu r BE uuu r BF uuu r 共面 又它们有公共点B 所以 1 EBFD 四点共面 2 如图 设 0 0 Mz 则 2 0 3 GMz uuuu r 而 0 3 2 BF uuu r 由题设得 2 320 3 GM BFz uuuu r uuu r ggg C B A G H M D E F 1 B 1 A 1 D 1 C C B A G H M D E F 1 B 1 A 1 D 1 C z y x 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 D1 C1 B1 A1 E D C B A H D1 C1 B1 A1 E DC B A 得1z 因为 0 01 M 301 E 有 3 0 0 ME uuur 又 1 0 0 3 BB uuur 0 3 0 BC uuu r 所以 1 0ME BB uuur uuur g 0ME BC uuur uuu r g 从而 1 MEBB MEBC 故ME 平面 11 BCC B 3 设向量 3 BPxy uuu r 截面 1 EBFD 于是BPBE uuu ruuu r BPBF uuu ruuu r 而 3 01 BE uuu r 0 3 2 BF uuu r 得330BP BEx uuu r uuu r g 360BP BFy uuu r uuu r g 解得 1x 2y 所以 12 3 BP uuu r 又 3 0 0 BA uuu r 平面 11 BCC B 所以BP uuu r 和BA uu u r 的夹角等于 或 为锐角 于是 1 cos 14 BP BA BP BA uuu r uu u r g uuu r uu u r g 故tan13 范例 3 范例 3 如图 在长方体 AC1中 AD AA1 1 AB 2 点 E 在棱 AB 上移动 1 证明 D1E A1D 2 当E 为AB的中点时 求点E 到面ACD1的距离 3 AE等于何值时 二面角D1 EC D的大小为 4 解析 法 1 1 AE 面 AA1DD1 A1D AD1 A1D D1E 2 设点 E 到面 ACD1的距离为h 在 ACD1中 AC CD1 5 AD1 2 故 2 1 2 1 2 3 2 1 52 2 1 1 BCAESS ACECAD 而 11 1 11131 1 33223 DAECAECAD C VSDDShhh 3 过 D 作 DH CE 于 H 连 D1H DE 则 D1H CE DHD1为二面角 D1 EC D 的平面角 设 AE x 则 BE 2 x 11 2 1 4 1 Rt D DHDHDDH Rt ADEDEx Rt DHEEHx Q Q 在中 在中 在中 在中 在中 在中 4 32 32543 54 3 1 2 2 的大小为二面角时 中在中在 DECDAE xxxx xxCECBERtCHDHCRt 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 丰胸产品排名 丰胸产品排行榜 成 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司 更多资料 威海律师事务所 D1 C1 B1 A1 E D C B A o x z y 法 2 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DD1分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 设AE x 则A1 1 0 1 D1 0 0 1 E 1 x 0 A 1 0 0 C 0 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2 因为 E 为 AB 的中点 则 E 1 1 0 从而 0 2 1 1 1 1 1 ACED 1 0 1 1 AD 设平面 ACD1的法向量为 cban 则 0 0 1 ADn ACn 也即 0 02 ca ba 得 ca ba2 从而 2 1 2 n 所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面 D1EC 的法向量 cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 令b 1 c 2 a 2 x 2 1 2 xn 依题意 2 2 5 2 2 2 2 4 cos 2 1 1 xDDn DDn 32 1 x 不合 舍去 32 2 x AE 32 时 二面角 D1 EC