浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题.pdf

第 1 页 共 10 页 浙江大学 微积分浙江大学 微积分 1 历年期末考试试题 历年期末考试试题 一 一 极限与连续极限与连续 1 求 2 lim 2sin 2 x xxxx 2 求 0 11 lim 1 x x xe 3 求 2 sin lim ln x xxx xx 4 求 320 ln 1 sin lim 11 x xx x 5 求 2 1 0 lim x x x ex 6 求 0 sintan lim tan 1 ln 1 x x xx x ex 7 求 3 0 12cos lim 1 3 x x x x 8 求 320 ln 1 sin lim 11 x xx x 9 求 2 2 411 lim sin x xxx xx 10 求 2 1 sin 0 lim cos x x x 11 求 2 1 0 sin lim x x x x 12 求 2 1 0 lim sincos x x xxx 13 求 2 1 2 0 lim sincos x x xx 14 求 2 1 0 2cos lim 3 x x x 第 2 页 共 10 页 15 若 2 0 111 lim 2 a x x x 求 a的值 16 设 1 12 1 1 n n n u nnn L 1 求 lim n n u 17 设当1x 时 lim 1 nx nx n xe f x e 讨论 f x的连续性 18 设 f xu xv xg xu xv x 并设 0 lim x u x 与 0 lim x v x 均不存在 则下 列结论正确的是 A 若 0 lim x f x 不存在 则 0 lim x g x 必存在 B 若 0 lim x f x 不存在 则 0 lim x g x 必不存在 C 若 0 lim x f x 存在 则 0 lim x g x 必不存在 D 若 0 lim x f x 存在 则 0 lim x g x 必存在 二 二 导数与微分导数与微分 1 设 sin3 cos arcsin2 x yxxe 求 dy 2 设 4cos 1 tan5ln 2 xx yxe x 求 dy dx 3 设 f x可导 2 cos fx yx 求 dy dx 4 求 ln 0 x yx x 的值域 5 设 ln 1 yxx 求 y对x的 10 阶导数 10 yx 6 设函数 xx y 由sin0yxx 所确定 求 2 2 dx d x dy dy 7 设 2 arcsin1 x e yxx 求 dy 8 设 yy x 由参数式 2 2 0 4 cosd sin t xss yt 所确定 求 2 2 d y dx 9 设 yy x 是由方程 23 ln sinxyx yx 所确定 求 0 x dy dx 第 3 页 共 10 页 10 设 2 arcsin1 x e yxx 求 dy 11 设 yy x 是由方程 23 ln sinxyx yx 所确定 求 0 x dy dx 12 设 sin43 arctan2 ln2 x yxx 求 dy dx 13 设 yy x 是由方程210 x y exxy 确定的x的可导函数 求 0 x dy 14 设 fa 存在 0fa 求 11 lim xa fa xaf xf a 15 设 f x在 a 内可导 且lim x fxa 证明 lim x f x a x 16 设 2 sinarctan ln 1 xtt ytt 求 2 2 dd dd yy xx 3 设 arccotln 1 x x x e y xe e 求 y x 17 设 2 1 arcsin xt yt 求 2 2 d y dx 18 设由参数式 3 arctan1 6 xtt ytt 所确定的函数 yy x 在1t 处的一阶导数 dy dx 及二阶导数 2 2 d y dx 19 设由参数式 2 2 ln 1 xtt ytt 确定了y为x的函数 yy x 求曲线 yy x 的凹 凸区间及拐点坐标 区间用x表示 点用 x y表示 20 求函数2xyx 的极小值 21 求由方程 322 2220yyxyyx 确定的函数 yy x 的极值 并问此极值是极大 值还是极小值 说明理由 22 求曲线arctanyx 在横坐标为 1 的点处的切线方程 23 求曲线ln cos yxxyx 上点0 x 处的切线方程 24 设0 x 证明 2 4 2 20 x x f xxexe 25 证明 若 2 eabe 第 4 页 共 10 页 26 已知 sin 0 0 x ex x F x x ax 为连续函数 1 求常数a 2 证明 F x的导函 数连续 27 设常数0a 讨论曲线yax 与2lnyx 在第一象限中公共点的个数 28 设 f x在 上存在二阶导数 0 0 0ffx 证明 1 f x至多有两 个零点 至少有一个零点 2 若 f x的确有两个零点 则此两个零点必反号 注 f x 的零点就是方程 0f x 的根 29 设 f x在闭区间 ab 上连续 ab 内可导 叙述并证明拉格朗日中值定理 II 如果再设 f af b 且 f x不是常数 试证明至少存在一点 ab 使 0f 30 证明函数 f x极值的第二充分条件定理 1 设 f x在 0 xx 处存在二阶导数 00 0 0 0 fxfxAA B 至少存在一点 0 xa b 使 0 f xf b C 至少存在一点 0 xa b 使 0 0fx D 至少存在一点 0 xa b 使 0 1 2 f xf af b 三 三 不定积分不定积分 1 求 2 21 22 x dx xx 2 求 2 1 1 1 dx xx 3 求 2 1 1 dx xx 4 求 35 1 dx xx 5 求 arcsin x x e dx e 6 求 2 arctan x x e dx e 7 求 2 cos sin xx dx x 8 求 2 3 ln 1 x dx x 第 6 页 共 10 页 9 求 2 2 1 ln 1 xx xdx x x 四 四 定积分定积分 1 求 3 1 22 21 1 1 x xx dx x 2 求 1 322 1 1xxx dx 3 求 1 22 1 2 1xxx dx 4 求 2 32 2 2 4dxxxx 5 求 2 0 sin2 1cos x xdx x 6 求 6 2 0 6xxx dx 7 求 22 1 dx x x 8 求 1 1 dx x x 9 求 2 3 0 x x edx 10 求 0 1 dx x x 11 已知 2 0 2 x edx 求 30 1 x e dx x 12 设 1 2 sin x f xt dt 计算 1 0 f x dx 及 1 lim 1 x f x x 13 已知 0 fa fb 且 fx 连续 求 0 sin df xfxx x 14 已知 sin x x 是 f x的一个原函数 求 3 dx fxx 15 设b为常数 且积分 2 1 1 1 2 xbx dx x x 收敛 并求b的值及该积分的值 16 设 0 sin x S xt dt 1 求 S 及 S n 2 求 lim x S x x 第 7 页 共 10 页 17 设常数0 积分 2 1 0 cos 1 x Idx x 与 2 2 0 sin 1 x Idx x 试比较 1 I与 2 I的大小是 12 II 12 II分为面 积相等的两部分 试求常数a的值 27 设0a 与曲线 2 1yx 交于点A 过坐标原点O和点A的 直线与曲线 2 yax 围成一平面形D I 求D绕x轴旋转一周所成的旋转体体积 V a II 求 a的值使 V a为最大 29 求由曲线 2 yx 与2yx 围成的图形绕直线4y 旋转一周所生成的旋转体体积V 30 过坐标原点作曲线 x ye 的切线L 1 求 L的方程 2 以曲线 x ye 切线L及x轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记为D 求 D的面积 3 将D绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V 求V的体积 31 设 3 2 62 00 arcsin 1 xx t tt dtedt 则0 x 时 A 与是同阶但不等价无穷小 B 与是等价无穷小 C 是的高价无穷小 D 是的高价无穷小 31 设 1 0 0 x xex f xF xf t dt xx 则 0F xx 在处 A 极限不存在 B 极限存在 但不连续 C 连续但不可导 D 可导 五 五 无穷级数无穷级数 1 求幂级数 2 0 21 n n n x n 的收敛区间以及在收敛区间上的和函数 并求 0 212 n n n n 的和 2 设 2 231 x f x xx 试将 f x展开成x的幂级数 并求 0 1 n fn 3 将函数 12 arctan 12 x f x x 展开成x的幂级数 并求级数 0 1 21 n n n 的和 4 试将函数 12 arctan 12 x f x x 展开成x的幂级数 并写出此展开式成立的开区间 5 求幂级数 1 n n n n x n 的收敛半径及收敛区间 并讨论收敛区间端点处级数的敛散性 第 9 页 共 10 页 6 设n为正整数 2 4 02 1 1 nx xe t F xedtdt t I 试证明 函数 F x有且仅有一个 实 零点 即 0F x 有且仅有一个实根 并且是正的 记此零点 n x II 试证明级数 2 1 n n x 收敛 7 将函数 2 1 arctanln 1 2 f xxxx 在0 x 处展开成泰勒级数 即麦克劳林级数 并指明成立范围 8 求幂级数 1 2 1 1 21 n n n x n 的收敛半径 收敛区间及收敛域 并求其和函数 9 设常数 a满足01a L 下列结论正确的是 A 若存在0N 当nN 时均有 1 1 n n a a 当nN 时均有 1 1 n n a a 则 1 n n a 必发散 C 若 1 n n a 收敛 则必存