高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究.pdf

高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究 摘要 圆 锥曲 线方程是 我国高中 数学的 重要内 容 集中 完整地阐 述了 解析几何的 主要问题和思想方法 圆锥曲 线本身也是一个重要的几何模型 其几何性质有广 泛和重要的应用 本研究探讨了高中数学课程改革背景下 应该关注的现代课程 理念和数学史的教育价值 提出运用数学史提升圆锥曲线的教学品质是值得探索 的新途径 本研究通过设计并实践融入数学史的教学案例 考察如下问题 针对圆锥曲 线的教学内 容 教师如何搜集 查阅相关史料 为了在圆锥曲线教学中恰当地运用数学史 教师如何把握整体教学目 标 和实际需要 为了使圆锥曲 线教学落实现代课程理念和具体教学目 标 教师设计教学 活动时可以从数学史获得什么教学支持 学生对运用数学史设计的教学活动有何体会和收获 本研究呈现了如何与时俱进地把握圆锥曲线方程的教学 分析实际的教学需 要 在此基础上如何运用数学史设计和实施圆锥曲 线的教学活动 引言教学中 由古到今 讲述圆锥曲线的起源 以及开普勒以 来圆锥曲线在天文学等领域的活 泼应用 引起学生进一步学习和探究的兴趣 数学探究 椭圆与双曲线的画 法 中 达 芬奇的椭圆画法 范 斯古登的椭圆与双曲 线画法 提供了学生进 行数学探究的情景问题 学生可以 运用所学知识和坐标法探索画法的数学原理 抛物线的几何性质 主要是探究抛物线切线的判定定理和抛物线的光学性质 命题采用古希腊数学家的几何语言 叙述 介绍古人的综合法证明 并让学生运用 坐标法探究命题的证明 学生也了解有关抛物线光学性质的历史传说和物理应 用 本研究通过数学作文 课堂观察 师生访谈 问卷调查等质的研究方法 关 注学生起初的数学学习特点和情感态度价值观 以 及在3 次教学活动之后学生的 体会和收获 研究表明不少学生体会到更有生气和人文气息的数学 对圆锥曲线 的学习兴趣更大 对圆锥曲线有关几何性质的理解更深 并且更加体会圆锥曲线 在刻画实际问题中的作用 以及坐标法的优越之处和数形结合思想的重要性 本研究为提升圆锥曲 线的教学品质探索了 一条新的途径 而且一定程度上可 以打消教师的顾虑 教学进度紧迫 在考试气氛的主导下 难以运用数学史 本 研究表明运用数学史促进圆锥曲线的教学是可行并值得提倡的 关键词 圆 锥曲 线 方程 数学史 教学案 例 ONT HEA 卫 P L I C A T I ONOFHI S T OR YOFM盆f H E MA T I CST O CONEC URVET E AC HI NGI NHI GHS C HOOL ABS TR ACT Conec u r v e isan助卯幻 旧 t co血lllof扯 n io r hi ghsc h OOl math c m aticsco u 哪 Itd ea rly 仙 d 印 p l e 妞 l ye l at 泊 r a t e s tbe m a inP l o bl ems ideasan dme山 侧 Jsofan 目 ytjc g eOIn 1 侈 助ne curve i tseifisanl m pert 叨 t g e o 口 e t r i c a model w h o 邻geo m e t ri Ca l 户 旧 伴rt i esh a v e ex傀 s i v e a n d 助卯rt an t a vPlic at ion Aga l 宜 血 b a c 处 u ndofhi gh b ool 姗阮Inat jcs伪rr i CU u ln fo rm 声 hi s 代 肚 曲inve sti gate s mode mCUmCU抽 InP b 妇 扣 p 妙 an d th e 比u Ca 6 如吐侧ueoft behi s to ryof mathem a 6 CS and Putsfo rward th atit sa ew w ay w o n h y ofe x p l o n 目 g toa p p l y b 肠 l o ryof m a th e m a t i c s ino r d e r toP ro m 吹 the q u a l i tyofcouecurve 如truc t io Thi s r 褚 a r c b d 吧 5 1 9 阴 d p r a c t i s t h r c e 妞 ac h i O g c 咖ol v ing h is 幻 ryofm a th e luati cs 胡 d i o v e s t i g at e s t b e seP o b le m s Fi s l l y howcou ldt 址妞 a h c r coll 川 叨d l OOk in toh is to ri cal 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学位论文作者完全了解北京师范大学有关保留和使用学位论文的规定 即 研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京师范大学 学校有权保留并向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和电子版 允许学位论文被查阅和借阅 学校可以公布学位论 文的全部或部分内容 可以允许采用影印 缩印或其它复制手段保存 汇编学位论文 保 密的学位论文在解密后遵守此规定 保密论文注释 本学位论文属 于保密 在 年解密后适用本授 权书 非保密论文注释 本学位论文不属于保密范围 适用本授权书 学价论亨个文电子版同意操交后 口一年口二年在校园网上发布 供校内师生浏览 本人签名 导师签名 汁 毯芬 点 沁久 日 期 日期 万 好 日 八闪1旧 鱼 丝 丝 鲤丝 全 丝 塑 燮丝 些 些 竺 色一 一 第 1 章 引论 1 1 背景 1 1 1 高中 数学课程改革 综观国际数学课程改革 上世纪 90 年代以 来各国更加重视学生个性 情感与数学观 等方面的健康发展 美国数学课程力求让学生懂得数学的价值 英国数学课程注意引导学 生形成对数学创造的鉴赏能力 法国数学课程重视数学的文化价值 通过历史材料 让学 生了解数学的继承性与统一性 俄罗斯数学课程注意介绍数学思想方法的形成 发展和它 们在认识现实世界中的作用 等等 数学课程标准研制组 2 0 04 2 7 进入21世纪 我国数学教育也积极探求与时俱进的高中数学课程 1999年 教育部基 础教育司组织召开的 国家数学课程标准研制工作研讨会 上 与会代表们普遍认为 我 国数学教育在 双基 和国际数学竞赛方面的成绩是举世公认的 但是 更应该充分认 识到 我们存在的问 题也相当突出 主要表现为学 生的 创新精神 实 践能力 较差 数学学习 方式 单一 被动 数学学习 的情感体脸消 极等 在以 往的数学课程中 存在过分形式化的 倾向 忽视对数学本质的 认识和理解 数学课程标准研制组 2 0 04 3 9 因此 我国高中数学课程改革提出如下课程理念作为数学课程设计的基本指导思想 倡导积极主动 勇于探索的学习方式 注重提高学生的数学思维能力 发展学生的 数学应用意识 强调本质 注意适度形式化 体现数学的文化价值 等 高中数学课 程强调 学生的数学学习活动不应只限于接受 记 忆 模仿和练习 还应倡导自主探索 动手实践 合作交流 阅读自 学等学习数学的方式 使学生的学习过程成为在教师引导下 的 再创造 过程 力求通过各种不同形式的自 主学习 探究活动 让学生体验数学发现 和创造的历程 发展创新意识 激发数学学习兴趣 3 2 一 4 1 1 2 圆锥曲线在中学数学中的地位和研究概况 笔者对 圆锥曲线 的教学研究感兴趣 是由于 近 10 年我国高中数学课程的内容 教学目 标发生了几度变化 而 圆锥曲 线 一直是重要内 容 在1 9 9 6 年的高中数学教学 大 纲中 圆 锥曲 线 方 程 是 必 修 课 分 配20课时 叼 6 3 7 此 后1 9 98年 至2 0 0 2 年的 高中数学教学大纲中 圆 锥曲 线方程 仍然是必修课 分配18课时 4 6 一 647 6 7 7 15 9 在即 将 推 广 的 高 中 新 课 程中 选修1 一 1 和 选 修2 一 1 都 设 置了 圆 锥曲 线 与 方 程 分别是12课时和16课时 13 1 41书 5 3 一 5 5 意味着无论往人文 社会科学还是理工方 国家 数学课 程标 准研制T 作小组 国 家数 学课程标 准研制工 作 研讨会 纪要 川 课程 教 材 教 法 1 望 拍 1 2 侣16 高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究 面发 展的 学生都需 要学习 相应的内 容 3 1 9 1 0 由 于圆 锥曲 线在中学数学中的 重要 地位 关于它的 研究也比 较多 在中国学术期刊网 上 笔者获得圆锥曲 线的教研情况如下 检索项一 全文 检索词一 圆 锥曲 线教学 从 1 9 97 到2 0 0 7 年 精确检索到 101 篇 但是 可能由 于圆 锥曲 线在历届高 考中 都是重点考察的 内容 徐忠才 2 0 04 3 绝大部分文章研究的是圆 锥曲 线有关的高考命题透析以 及轨迹 问 题 几何性质 直线与圆锥曲线关系问 题等 一些一线教师关注圆锥曲 线教学中对学生 思维品质的培养 如引导学生运用创造性思维探索与圆 锥曲线定义和性质有关的例题和高 考题 戚利祥 2 即5 1 一 又如通过深入分析课本例题 注重学生提问 概念教学中设 计变式问 题等培养学生思维的深刻性 叶正茂 2 0 C 4 2 7 一 2 9 等 或者引导学生通过来自 生活和教材的素材开展探究性学习 胡 锦标 2 002 1 4 一 17 方建成 2 X 5 1 8 一 2 0 也有 一些教师运用折纸活动创造性地设计圆 锥曲 线教学 刘智强 朱哲 2 003 今 6 任光庆 2 0 抖 8 3 1 一 3 3 这些研究主要立足于教材本身 深入 考察圆 锥曲 线的 轨迹问 题 几何性质 和高考命题等 少数运用现实的生活情境或者引入折纸这样的探究性活动 高中数学课程在现代教育理念以 及课程资源的开发利用方面都对教师提出了 挑战 新 的课程改革要求数学教师改善教与学的方式 克服多 年 应试教育 所带来的消极影响 尽管有一些教师在提升圆锥曲线教学品质方面做了 积极的探索 但不算多 2 007 年5 月 笔者查询 1 997年以来这方面的研究 有2篇硕士论文以及主要中学教研期刊上8 篇一线 教师的论文 国内有关圆锥曲线教学中运用数学史的研究则几乎没有 只有个别教师有所 关注 简单回顾了圆锥曲线的产生和发展 张洪杰 2 X 5 但未见到运用数学史的有关 教学实践 1 1 3 数学教学中运用数学史 H PM 的时代性 近 20 年来世界各国广泛开展课程改革 很多国家的课程标准对数学史提出了明确的 要求 数学史的教育价值逐步成为各国数学教育界的共识 Fas a n ell i 2 0 0 0 2 一 1 9 分析了16个国家现行的课程标准对数学史的要求 数学史在 各国数学课程中 扮演的角色不尽相同 按认知 情感态度 文化三个层面整理内容如下 1 认知 澳大利亚 巴西 法国 意大利 荷兰 新西兰 学生应该了 解数学概 念 思想发展的脉络 通过比较古今数学概念和方法 有助于学生澄清他们自己所建构的 数学概念和思路 史料有助于揭示数学问题和概念建构之间的联系 以及科学的提问方式 对数学理论发展的关键作用 表明数学是不断发展的而非教条主义 从而激励学生提出创 造性的猜想 假设和问题 2 情感态度 澳大利亚 巴 西 希腊 中国 美国 激发学习兴趣 帮助学生形 鱼 塑巡些 些丝鱼塑过叁竺竺暨坚公一一一一一 成更好的 数学学习 态度 培养批判性的 学习精 神 借助数学家的传记引发学生人格成长 3 文化 巴西 丹麦 法国 荷兰 新西兰 挪威 中国 美国 数学的文化 层面不应该因其技巧性被忽略 学生应该知道作为人类创造的数学 在不同民 族的不同时 期各具特色的数学发展 以 及数学与社会发展 科学技术和艺术之间的相互作用 我国 教育部2 0 03年制订的 普通高中数学课程标准 中也强调教师应积极地运用数 学史提升数学教学品质 教学中 应引 导学生初步了 解数学科学与 人类社会发展之间的 相 互作用 体会数学的科学价值 应用价值 人文价值 开阔视野 探寻数学发展的历史 轨 迹 提高 文 化素养 养成 求实 说理 批 利 质疑等理 性思维的习 惯 和 锲而 不 舍的 追 求 真 理精神 在教学中 应尽可能结合高中 数学 课程的内 容 介绍 一些对数学 发展起重大 作用的历史 事件和人物 反映数学在人类社会进步 人类文明建设中 的作用 同时也反映 社会发 展对数学 发展的促进作用 忿 1 2 问题的提出 综上所述 新的课程改革要求数学教师积极改善教与学的 方式 而数学史在数学教育 中的作用己 经得到各国教育界普遍的重视 我国高中数学课程也强调数学教学应该返璞归 真 努力揭示数学概念 法则 结论的发展过程和本质 追寻数学发展的历史足迹 把数 学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态 3 2 可以说数学教学中运用数学史 己 经从必要性的探讨走向实践研究 关注数学课堂中数学史的实际应用 这为提高 圆 锥曲 线 教学品质和学习成效的 研究启发了新的途径 即运用数学史改善圆锥曲 线的教与 学 目 前有关圆锥曲线教学中运用数学史的实践探索几乎没有 造成这种情况的重要原因 是教师缺乏这方面的素养和能力 正如B arb in 2 0 0 0 所说 教师们往往不知如何选择合 适的数学史材料 以及如何在教学中恰当地置入数学史 而且 大部分教师容易认为数学 史的作用只是为了激发学生的兴趣 朱国 2 0 0 5 2 3 因此 本研究计划在笔者进行的 圆锥曲线教学中 设计并实践融入数学史的教学案例 考察如下问 题 针对圆锥曲 线的教学内容 教师如何搜集 查阅相关史料 为了在圆锥曲线教学中恰当地运用数学史 教师如何把握整体教学目 标和实际需 要 为了使圆锥曲线教学落实现代课程理念和具体教学目 标 教师设计教学活动时可 以从数学史获得什么教学支持 2 中 华 人 民 共 和国 教 育 部 制 订 普 通高 中 数 学 课 程 标 准 实 验 阅 北 京 人 民 教 育 出 版 社 2 003 4 1 09 1 10 高中圆锥曲 线教学中运用数学史的案例研究 学生对运用数学史设计的教学活动有何体会和收获 除了 激发学习兴趣 对数学 概念和数学思想方法的理解 对数学人文价值和应用价值的认识等方面是否也可 以有促进作用 1 3 本题研究意义 本研究将通过在北师大附中高二 1 2 班的教学实践 探索如何运用数学史改善圆锥 曲 线的教与学 探讨如何在把握教学理念 教学目 标和实际教学需要的 基础上 恰当 有效 地运用数学史于圆锥曲 线的 教学中 并呈现可操作性的方法和具体过程 收集和分析学生 的教学反馈 笔者认为本题的研究意义至少可以体现在以下两个方面 第一 圆锥曲 线在中学数学中具有独特和重要的教育价值 探讨如何改善圆锥曲 线教 与学的方式有积极和深远的意义 高中阶段圆锥曲 线的教学内容 集中 完整地阐述了解析几何的两类问 题 由已 知条 件求曲线的方程和通过方程研究曲线的几何性质 根据椭圆 双曲 线和抛物线的定义 运 用坐标法推导其标准方程 从而示范性地给出了求满足给定几何条件的点的轨迹方程的一 般方法和步骤 另一方面 通过椭圆 双曲 线 抛物线的标准方程讨论了它们的几何性质 从而示范性地给出了 用代数方法研究曲 线的几何性质的一般方法 徐忠才 2 0 04 2 不 仅如此 圆锥曲 线在数学上是一个非常重要的几何模型 有很多非常好的几何性质 这些 重要的几何性质在日 常生活 社会尘产及其他科学中都有着重要而广泛的应用 数学课程 标准研制组 2 0 04 1 3 7 因此 圆 锥曲 线的教学有助于学生 深刻领会和掌握解析几何的 思想方法 进一步体会数形结合思想 熟悉和掌握坐标法 对于学生自 身的发展和需要来 说也是非常重要的 第二 数学史的教育价值已 经被国内外许多学者广泛 深入地探讨 但是圆锥曲 线教 学中运用数学史的实践探索在国内 还是空白 因此本研究可以为提高圆锥曲 线的教学品质 和学习成效探索新的可行途径 尽管运用数学史不是改善圆 锥曲 线教与学的唯一途径 但这是应该重视并且值得探索 的途径 从文化角度而言 原先枯燥的圆锥曲线定义 方程推导 数学问 题 通过与历史 及生活的联系 可以 理清来龙去脉 获得现实情境 有助于学生全面认识圆锥曲 线及其价 值 从数学角度而言 数学史是数学概念和思想方法发展的历史 如果学生对 圆锥曲 线 方程 有关知识的发生发展过程有所了解 得以认识和比较古今数学思想方法 那么数学 史能帮助学生更深刻地理解现代思想方法的优越性 从人文角度而言 数学史体现了作为 人类创造活动的数学 圆锥曲 线发展过程中不少做出杰出 工作的数学家 如古希腊学者阿 波罗 尼奥斯 1 6 一 17世纪的费马和笛卡儿等 他们的创造性工作 对科学发展的重大影响 登 丝丝些 些 丝 全 垫 塑 鱼全堕困塑堕一一一一一一一一一一一一 成长道路和思想品格等 能激励学生的 创新意识和人格成长 1 4文献综述 1 4 1 1 4 1 圆锥曲线教学研究综述 1 融入数学史的圆锥曲线教学材料 关于圆 锥曲 线教学中运用数学史 教师最希望的是现成的教学案例 甚或可直接作教 学参考的资料 但这是目 前最缺乏的 在笔者力所能及的查阅下 国内没有找到融入数学 史的圆锥曲线教学材料 国外有一篇 JanA v an M a a nen l 995 80一 86 介绍了17世纪用于圆 锥曲 线作图的工具 范 斯 古登 F r a n sV an s c h o o t e n 1 6 1 5 6 一 1 6 6 0 在圆锥曲 线作图工具的设计方面展开不少创 造性的工作 他的作图工具并不复杂 现在我国中学数学教材 1 4 92 巧 3 6 中 椭圆的机械画法就是范 斯古登所设计 图1椭圆的机械画法 1 Jan A van M aanen 配插图展示了范 斯古登 其他一些由 直尺和旋钮构造而成的 作图 工具 介绍了画抛物线 椭圆和双曲线的机械画法及原理 颇有教学借鉴意义的是 J an A van M aan e n自己 任教学校的数学考卷中 就运用相关史料设计了 一系列数学问 题 自 公元前5 世纪的古希腊学者发现和研究圆 锥曲 线以来 很长一段时间 里 数学家 们对圆 锥曲线有一种不确定感 因为并没有找到工具能够把它们准确地画出来 就好像利 用直 尺可以画出 一条直 线 利用圆 规可以画出 一个圆 17世纪莱 登 Leid en 大学的 数学 教授 F r a n sv a ns c h o o t e n 1 6 1 5 一 1 6 6 0 研究了这个I q 题 在他的著作 E x e r c i t a t i o n u m M a t h e m a t i a r u 口l i b r i q u i n q u e 中 描述T 椭圆 的 一些 机械 画法 其中 一种有名的方法如 图1 所示 问1 请解释为何图中手所握的铅笔能画出椭国 第二种作图 工 具如图2 所示 长 度为a 的直尺AB绕着人 点旋转 直尺BE在B 点与其 连 接 B E 上有一点n 沿 着x 轴 运动 总 有 B 卜 B A 二 a o E 长为b v a n s c h o o t e n声 称 随 着点D 沿着x 轴移动 动点E 固定着铅笔尖 能画出椭圆 高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究 尹 只 了 一一 J 一 一 尹 五d 图2椭圆的机械画法 2 问2 令人 点为原点 如果我们认为E 点的集合的确是一个椭圆 该椭圆的方程是什 么 我们最后要证明B 点的集合的确是一个椭圆 再一次令人 为原点 E x y 为简便取 x 0 y 0 如上所述 A B B D 二 a D E 二 b 任何方向的直线B E 与角度小 决定T 点E x y A 甲 D B 图3 问3 用a b 中 表示B D 的坐标 问4 由问3 推导动点E 的坐标满足的方程 问5 v a ns c h t e n 的这一工具 能不能像圆规一样适用于圆锥曲线作图 J a n A v a n M a a n e n 的问题提示学生运用参数方程探究椭圆规设计原理 我们的高二学 生也学习了 借助参数方程来研究曲线 教材76 3 圆的参数方程 1 4 7 9 一 81 介绍 了一般的 参数方程的 概念 学生通过本节以 及8 2 节 椭圆的简单几何性质 的例5 14 101 初步学习了 求曲 线的参数方程的方法 因 此 我们的教师可以 引用这份材料 并 且可以借鉴其问题的设计 1 4 1 2 国内圆锥曲线的教学研究 目前 来看 圆锥曲线教学中运用数学史的实践探索在我们国内 还是空白 而关于圆锥 高中圆 锥曲 线教学中运用数学史的案例研究 曲线的教学研究 一线教师主要从以 下三个方面作了颇有意义的探索 1 学生思维品质的培养 如戚利祥老师关注以 新颖独创的方法解决问 题的思维过 程 在圆锥曲 线的 定义 和性质教 学中 培 养学生的 创 造性思 维 戚利 祥 2 X 5 1 一 3 叶正 茂老师探讨如何发掘概念内 涵 解答学生 提问 深入分析课本例题等来培养思维的深刻性 叶正茂 2 X 4 2 7 一 9 2 注重探究性学习方式 如胡锦标老师引导学生探究了篮球在太阳光和点光源的 照射下 投影到地面上会是圆 椭圆 抛物线和双曲 线的一支 学生通过教师指导下的主 动探究 理解了 椭圆 抛物线和双曲 线为何称作圆 锥曲 线 胡 锦标 2 002 1 今 1 7 方建 成 老师以 教 材中 的习 题 1 4 1 23 习 题8 6 的 第6 题 为 素 材 组 织 指 导 学 生 开 展 探究 性学习 让学生体验到探究数学问 题的乐趣 也启发了探究数学问题的重要方法 逆 命题 探究和 类比 探究 方建成 2 X 5 18 一 20 3 运用折纸活动设计圆 锥曲线教学 如浙江师范大学的硕士朱哲与绍兴稽山中学 的刘智强老师合作 研究圆锥曲 线概念教学的 创新设计 以 学生原有知识和经验为基础 通过抛物线折纸活动创设问题情境 引导学生发现抛物线轨迹 焦点 准线 形成定义 接着从抛物线定义引出 椭圆 轨迹及其第二定义 与 抛物线类比 联想得到椭圆焦点 椭圆第 一定义 然后从椭圆第一定义中的 改成 一 引出双曲 线问题的讨论 这个教学设计 是在对教材进行 深加工 的基础上 引入折纸活动形成比 较活泼的问 题情境 打破了原 有教材的知识编排体系 椭圆一 双曲 线一 抛物线 第一定义一 第二定义 有助于学生进 行数学知识的再创造 刘智强 朱哲 2 003 今 6 此外 2 篇硕士论文分别从不同角度探讨了促进圆锥曲线有效教学的方式 几何画板 在圆锥曲 线中的应用研究 陶丹 2 0 5 比较传统教学和利用几何画板教学的优劣 寻 求几何画板在课堂实践教学的有效模式和教学方式 探讨学生借助几何画板进行研究性学 习的有效途径 高中数学课程中圆锥曲线的教学研究 徐忠刁 2 004 在建构主义学习 理论 活动教学模式和新课程有关理念的指导下 采用 实践一 探索一 学习 的教学方式进 行教学实验 为要让学生认识数学知识的产生过程 体会圆锥曲线的实践背景 掌握代数 与几何相结合的思想方法 提高学习数学兴趣 培养学生自 主学习 和合作学习的能力 发 展学生创新能力和实践能力 这些教学研究响应高中课程的现代理念 是对传统教学的再认识 从不同侧面启发了 笔者如何在深入把握圆 锥曲 线教学内 容的 基础上 积极引入和创造恰当的 教学素材 引导 学生在学习过程中主动探究 关注学生创造性思维和动手能力的培养 以及获得圆锥曲线 知识和有关数学思想方法的理解与拓展深化 高中圆锥曲 线教学中运用数学史的案例研究 1 4 2 运用数学史于数学教学的理由 从 19 世纪开始 欧美众多著名的数学家 数学史家和数学教育家都提倡在数学教学 中 直 接 或间 接 地利 用 数 学史 参B arbing E 2 M x J almke H N 2 x x Li u Po 一 H ung Z oo 3 M i c h a l owicz K o Z lx X R ad fo r d L Z lx 洲 s i u M 2 x X 2 0 0 5 年 我国 第 一届数学史与 数学教育会议的召开 1 7 表明数学史的教育意义已 经得到我国数学史和数学教育界的 普遍关注 关于运用数学史对数学教育的作用 国内外学者的论述不胜枚举 以下列出有 代表性的几个观点 曾 任国际数学教育委员会第二任主席的史密斯 D E S mith 1 8 6 0 一 1 9 4 4 一直关注数学 史的教育价值 是H PM的 先驱者 史密斯告诉我们 数学史已 被公认为师范 教育及大中学 校学生自 由 教育中 的重 要学科 长期 在大学教数学的 经历使他深信 为了 将数学 发展与 人类发展联系 起来 为了 揭示数学是一条大河而不 是一潭死水 为了 强 调数学的人文因 素 一般的历史 介绍是十分必要的 著名数学家和数学史家克莱因 M K l i n e 1 9 0 8 一 19 9 2 十分强调数学史对数学教育的 重要价值 克莱因 批评只注重逻辑严密性的数学课程 历史 却形成对比 它教导我们 一个科目的发展是由汇集不同方面的成果点滴积累而成的 我们也知道 常常需要几十年 甚至几百年的努力才能 迈出 有意义的几步 不但这些科目 尚 未锤炼成无缝的天衣 就是那 已 经 取得的成就 也常常只是一个开始 许多 缺陷 有待填补 或者真正重要的 扩展还有待 创造 二 学生一旦认识到这一点 他将不仅获得真知灼见 还将获得顽强地追究他所攻 问 题的勇气 并且不会因为他自己 的工作并非完美 无缺而感到颓丧 我国 数学史家李文林 20 0 4 1 7 8 一 1 91 从四 个方面探讨了 数学史对于数学教育的意义 1 有利于帮助学生加深对数学概念 方法和思想的理解 2 有利于帮助学生体会活的数学创造过程 培养学生的创造性思维 3 有利于帮助学生了解数学的应用价值和文化价值 明确学习数学的目 的 增强学习 数学的动力 4 有利于帮助学生树立科学品质 培养良 好的科学精神 香港数学教育家萧文强 1 992 1 2 归纳运用数学史于数学教育的理由是 1 引发学习动机 从而使学生 及教师本人 保持对数学的兴趣和热情 5 口 i t h 0 E 用 s t 改 口 厂 施叻 哪 t 了 v 1 M 助 s t o n G i n n 也有一些需要我们在教学实 践中进一步检验 1 4 3 如何在数学教学中运用数学史 1 4 3 1 数学教学中 运用数学史的不同视角 在具体教学过程中运用数学史有很多种做法 这取决于教师的教学观 课程内容 历 史资料 教学环境等诸多因素 张小明 2 0 05 9 其中 教师的观念尤其是实践的先导 因此很有必要首先澄清数学教学中运用数学史的视角 我国教师对于数学史融入数学教学有很多片面理解 这缘于课程改革前的中小学数学 教学大纲和教材中 数学史主要起两方面作用 通过介绍中国古代数学成就进行爱国主义 教育 通过提供少量 花絮 提高学生的学习兴趣 刘洁民 2005 2 2 事实上 这只 是 H 阴 实践的较低层次 如国际数学教育家弗莱登塔尔 Jan vanM aanen 2 0 01 1 9 3 所 强调 融入数学史不是说故事 也不是把数学史作为孤立的材料 而是运用数学史资源帮 助学生更活泼 更有效地学习数学知识 我们可以借鉴洪万生 1 9 9 8 的观点 他认为教 高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究 师在课堂上 运用数学史至少可以 分成三个层次 几 1 说故事 对学生的人格成长会有启发作用 2 在历史的脉络中比较数学家所提供的不同方法 拓宽学生的视野 培养全方位的 认知能力与思考弹性 3 从历史的角 度注入数学知识活动的文化意义 在数学 教育过程中实 践多元文 化关 怀的理想 那么 在我国数学教育背景下 如张奠宙 2 O 0 5 1 一 4 刘洁民 2 0 0 5 2 2 一 2 4 等学 者所提倡 数学史不应该仅仅是 用于增强民族自 尊心 应作为数学文化载体融入数学 史 教育取向的数学史运用 通过提供各种数学历史背景 来龙去脉 历史名题 使数学 表述的 冰冷的美丽 恢复为火热的原始思考 增进学生的数学理解 帮助学生形成正确 的数学观 1 4 32 数学教学中运用数学史的 方法 如果刻意地强调数学史的重要性 在课堂上 贴标签 似地讲授数学史 并不能很好 地发挥数学史的功能 那么 将数学的发展历史有计划 有目 的 和谐地与数学教育内 容 进行整合 绝非将一个数学家的故事或一项数学发展中的曲 折事例放到某一个教学内容的 后面那么简单 因此 需要在考虑每一个教学单元时 在教学内 容的引入 延伸 发展和 阶段性收尾时 在选择 讲解一个一个例题和习题时 仔细斟酌 点滴自 然地去实现 数 学课程标准研制组 2 0 04 1 8 3 萧文强 1 9 9 2 介绍了数学教学中运用数学史的8 种具体方法 1 在分 卜 果 中穿 插数学家的 铁事和言行 2 开始讲授某个数学 概念时 先介绍它的历史 发展 3 以 数学史 上的名题及其解答去讲授有关的数学概念 以数学史 上的关 健事例去说 明 有关的技巧方法 以 数学史 上的 著名错误或误解去帮助学生克 服学习困 难 4 利用原著数学文献 设计课堂习 作 5 指导学生制作富 数学史 兴味的壁 报 专题探讨 特辑 甚至戏剧 录 像 6 在课程内容渗透历史发展观点 7 以数学史 作指引去设计整 体课程 8 讲授数学史的 课 王振辉 汪晓勤 2 0 03 21 也建议 增加历史知识的介绍形式 泛泛的时间 人物 洪 万 生 柳M随 笔 一 E B 优 盯M通 讯 1 9 9 8 v o l 1 1 坦 整 迎 邺 丝 丝 鱼血 皿 业 赵 远 丝 丑 止 些 则 远 吸 越 萧文 强 数 学史 和 数学 教 育 个 人 的 经验 和 看 法 闭 数 学 传 播 1 99 2 vo L I 倪 3 2 高中圆锥曲线教学中运用数学史的案例研究 贡献往往削弱了学生的兴趣 为此 1 可选择历史名题作为例题或练习题 如 几何原本 和 九章算术 等经典数学著 作中的问题 可以原文照录 丢番图的墓志铭 汉诺威塔问 题等等 引发学生进行深入 有效的思考 2 历史知识的介绍中 还可涉及数学与其他学科之间的 关系 3 图片中应该含有一定数量的邮票 增加数学的文化气息 包括数学家 如欧拉 高 斯等 数学定理 如勾股定理 欧拉公式等 数学图案 如黄金矩形等 因此 数学史在高中数学课程中的安排可以考虑采取多种形式 可以作为课外数学活 动 也可以穿插渗透于课堂教学的各个环节 结合教学内容进行 1 5 研究方案 1 5 1研究环境和参与人员 笔者于06年10月8 日 开始在北京师范大学附属中 学为期十周的实习工作 北京师范 大学附中是有着百年历史的市级重点中学 北京市示范性高中校 该校高考成绩近些年在 北京市级重点中学里属于中上水平 学校比较关注学生的科学素养 人文素养 创新精神 和实践能力 高二年级每周二 四下午有不同学科课题的研究性学习小组 笔者的指导老师李贤军是高二年级的数学备课组长 也是高二两个理科实验班 U班 1 2 班 的数学老师 理科实验班是由中考成绩比较优秀的学生选拔组成 各科授课老师的 教学水平也比较优秀 笔者主要担任高二 1 2 的实习教学与实习 班主任工作 1 5 11 教学指导老师 1 0 周的实习期间 笔者一直听李老师的课 向 他了 解学生数学学习的情况和特点 请 教数学教学问题 相处融洽 李老师有 10 年左右的教学经验 作为理科实验班的数学老 师并不追求步调快 难度深 容量大的课堂教学 他的风格是不紧不慢 注重概念 定理 和数学方法的落实 李老师为人谦和 尊重和肯定不同的教学风格 鼓励笔者听不同数学 老师的课 而笔者运用数学史创设和实施圆锥曲线教学活动的想法一开始就得到他的支 持 笔者每次准备新课 李老师会让笔者提前一周和他沟通新课的教法 提前2 一 3 天让笔 者说课 亲切 认真地与笔者探讨教学重难点的把握与突破 语言 的准确表达 不同环节 的过渡等教学问题 李老师听笔者的每一次课 作听课记录 课后中肯地给笔者提意见 1 5 12 学生 高二 1 2 班 44 名学生来自 北京不同区县 宣 武区的 学生居多 其他区县各有若干 个 期中 期末考试一般由 各个中学自 行编制考卷 考试成绩没有对照性 而中考是全市 高中圆锥曲 线教学中运用数学史的案例研究 统一组织的考试 有一定的参照意义 为了 读者尤其是 数学教师大致了 解本班学生的数学 水平 笔者对本班学生05年入学时的中考成绩作了统计图表 本班44名学生中有3 个学生的中 考分数缺失 该 班学生中 考数学成绩频数分布如下 表1中考数学成绩频数分布 中考 r 6qu e n CV p e r C e 川V a l i dP e r C e n t C u mu j 部扮 日 P e l C 日 n t va l 目99 1 oo 1 0 2 1 05 1 06 1 07 1 0e 1 09 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 7 1 8 邵 TO 怕1 M is s i 叩6 钾 m 下 0 倒 2 2 1 1 2 3 2 1 1 6 2 5 3 1 4 1 2 2 41 3 月 月 45 45 23 2 3 45 6 B 45 2 一 3 2 3 1 36 4 5 1 14 68 2 3 91 23 4 5 4