浙大学生建模比赛范例二.doc

SARS的传染和防疫模型混合005 张婧婧 3003001103 李 黎 3003001098 王莉娜 3003001099混合004 孙 易一 摘要 为了预测SARS传染趋势的稳定性，在不考虑人群具有迁移和人群具有出生和死亡的条件下应用房室系统理论建立模型。并利用微分方程的稳定性理论讨论解的稳定性，得出其阀值的表达式。并利用卫生部公布的北京的SARS统计数据对参数进行讨论，从而估测出隔离措施对抑制SARS传播的影响。二 问题传染性非典型肺炎是中国广东省首先发现的一种新的疾病。最早的病例出现在2002年11月中旬。目前已有17个国家报告发现了SARS病例。传染性非典型肺炎是一种传染性强的呼吸系统疾病，目前除在国内部分地区有病例发生外，在世界其他多个国家和地区也有出现。世界卫生组织将传染性非典型肺炎称为严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），简称。是指主要通过近距离空气飞沫和密切接触传播的呼吸道传染病，临床主要表现为肺炎，在家庭和医院有显著的聚集现象。作为传染病，SARS有着极强的传染力，为了有效控制SARS的蔓延，人们给予了高度的重视，采取了特殊的防疫措施，即对任何疑似病例进行隔离观察，这在一定程度上起到了切断病源的作用。根据这一点，我们建立了如下的模型。目的是通过这个模型，分析隔离防疫措施在SARS控制中所起到的作用，并且讨论随着时间的推移SARS是否会在广大地区蔓延。三 问题重述 先让我们看一组数据： 中国内地近期公布的资料4月25日 感染共2601例 死115例 4月24日 感染共2422例 死110例 4月23日 感染共2305例 死106例 4月21日 感染共2001例 死92例 4月20日 感染共1807例 死79例4月15日 感染共1435例 死64例 在这种情形下,我们建立一个SARS的传染和防疫模型,这个模型以时间为参变量,以受影响的人数为应变量,从这个模型我们可以对SARS的传播和影响的范围进行预测,对采取有效的防御措施以抑止病情的发展和形势的过大有一定的实际意义.我们主要以北京为例，根据有关数据，计算出相关的一些参数，再利用方程的求解结果，着重讨论隔离措施对减小传染系数的作用。四 问题分析 这个问题实际上是一个房室系统问题，可以把居民分为四类，第一类是正常易被感染者，设t时刻总数为S（t），第二类是传染病患者，指已经确诊的,在t时刻这类人口总数为I(t), 第三类是恢复者，以R(t)来表示t时刻这类人口总数，包括病愈而具有免疫力者，已经得病死亡的人，第四类是前期病人，总数用E（t）表示。我们认为所有的SARS染病者都经过了前期阶段,在这个阶段也是具传染能力的,但是由于采取了隔离措施,使得他们对易感人群的传染力降低,这个人群包括了疑似病人.易受感染者 S(t)染病者 I(t)前期病人 E(t)恢复者 R(t)易受感染者 S(t) 五 模型的假设为了方便讨论,做出以下假设: 1、因为我们研究的是短期内的现象，所以首先假设在这段时期内人口的总数保持不变，自然出生率和自然死亡率为零。2、被隔离的病人不再具有传染能力,经过一段时间的观察以后,会被确定为传染病患者。3、不受感染者不会感染.4、传染病患者是指具有传染能力的,包括两部分,即还未就诊可以和易感染者接触的病人,以及虽然已经就诊但是还具有传染医护人员能力的病人. 六 符号定义 前期病人E(t)的传染率;染病者I(t) 的传染率;前期类成为染病类的比率; 恢复率,即染病类成为恢复者的比率; 恢复类成为易感染类的比率 七 模型的建立与求解 设T为一定时期内的总人数,不变,即不考虑出生率和自然死亡率.这里都假设为正数,并且人口总数保持不变,满足条件S+I+E+R=1 (1) (2) 利用(1)式带入(2)式,消去S,可以得到以下式子 (3)其中=称为传染力八 模型结果的理论分析显然系统(3)的零点是其平衡点,故系统(2)有平衡点(1,0,0,0),该平衡点即为系统(2)的疾病消除平衡点.现在我们来求解系统(2)的其它平衡点,令(3)的右端都等于0,可以用I表示其它所有变量 我们现在来寻求方程的平衡点： 令方程的右端等于0，用I表示其它变量，则有： 将以上式子带入方程R（t）I（t）G（t）S（t）1中 则有I满足以下方程 （4）其中H= (5)我们把H定义为阀值, 当H=1时,系统(2)不存在正平衡点,只存在唯一疾病消除平衡点.疾病消除平衡点的稳定性由于系统(2)的疾病消除平衡点对应于系统(3)的零平衡点,所以只需要考虑系统(3)的零平衡点即可H1时:将系统(3)的右端在零点线性展开,容易得到其特征方程的三个特征根都具有负实部,可以判定零平衡点是局部渐进稳定的,且可以证明零平衡点的全局稳定性.H1,则系统(3)的零平衡点是局部渐进稳定的,当H=1,则系统(3)的零平衡点是全局渐进稳定的,即系统三的所有解都趋于原点.九 模型的应用与参数讨论1. 定性讨论 a. 对H的讨论：由以上的讨论得到:H= （7） 由国家卫生部发布的数据（如下表）可知：dS/dt ,dI/dt和dE/dt数量级均为，dR/dt 数量级为1，S的数量级为，R的数量级介于1和，E的数量级介于1和，I的数量级介于1和。根据方程组（2）可判断出参数的相对大小，其中、的数量级为，的数量级介于，可近似地认为等于0，的数量级近似为1。将以上数据应用于可知H1,所以,存在唯一疾病消除平衡点，即此疾病随着时间的推移一定会消除。2定量讨论 以下是国家卫生部发布的统计数据：北京非典型肺炎疫情统计数据 时间临床诊断病例 其中 医务人员 出院人数 死亡人数 疑似病例新增 / （其中由疑似转为临床诊断数） 累 计 新增 累 计 新 增 累 计 新增 累 计 新 增 合 计 7/5 97（57） 204912 358 7 141 3 110 97 1514 6/5 70（37）1960143481313441078015235/5 98（58）18979335312131036515104/569（26）180318326311841009015373/5114(48)174120319611559610414932/596163615300910999114514681/5 1221553202881010078296141530/4101144018270790975116140829/4152134750255583766149135828/496119920206078359149127527/4126111420000187278356162119126/4 11398871673 766 48173109325/4 103877171609 733 4216195424/48977417 1439 6443911286323/4 105 693271269 557 3513678222/4 10658821993 463 2856666前文中求得的理论解为 H 其中含有、四个参数，根据参数的意义和实际数据讨论参数的值：为前期类成为染病类的比率，可由一段时间内由疑似转为临床的总数除以这段时间内新增疑似数得到。根据数据求得0.518。为恢复率,即染病类成为恢复者的比率，用一段时间内的出院人数除以这段时间内出院和死亡的总人数得0.56175。为恢复类成为易感染类的比率，因为目前没有数据显示SARS疾病会对已经康复的人群再次感染，所以假设为0。是我们讨论的重点，通过人为控制，比如现在采取的隔离措施可以对有显著的影响，进而改变阀值H。我们用matlab画出H随着，变化的时候函数值的变化情况。如下图所示：由图形可以看出，和尽量小时，可以保证H1,从而使零平衡点全局渐进稳定，即使疾病随着时间的推移而消除。3. 进一步的稳定性分析（每一个假设的参数给它一个5%的变化量，观察函数值的改变情况）：取/10讨论H随和变化情况，即分析和对系统误差的影响图形如下：H随的变化 H随的变化3D效果图由图形我们可以看出，当和取到足够小的数量级时，和在较大范围内变化都可以保证H1。可见，、对疾病的传播有关键性的影响。十 模型的评价优点：本模型主要是针对当前形式严峻的SARS流行情况而建立的。由于政府为抑制SARS传播而采取了隔离措施，从而人为的改变了模型中的参数。本模型着重讨论了的改变对整个模型稳定性的影响，由此可以判断隔离措施的有效性，从而增强了人民对抵抗SARS的信心。缺点：因为我们掌握的数据有限，对参数的估计可能有较大的偏差。 为了简化讨论，我们没有考虑人群的流动，而在实际中全国各地（尤其是北京）的人群流动对SARS的传播有很大的影响，这使我们的