探究圆锥曲线中离心率的问题.doc

第第 1 页页 共共 9 页页 探究圆锥曲线中离心率的问题探究圆锥曲线中离心率的问题 离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质 在高考中频繁出现 下面给同学们介绍常用的四种 解法 一 直接求出一 直接求出 a c 求解 求解 e 已知标准方程或 a c 易求时 可利用离心率公式来求解 a c e 例例 1 过双曲线 C 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 若 与双曲线 M 的两条渐 0b 1 b y x 2 2 2 ll 近线分别相交于点 B C 且 AB BC 则双曲线 M 的离心率是 A B C D 105 3 10 2 5 分析 这里的 故关键是求出 即可利用定义求解 1b c1a 2 2 b 解 易知 A 1 0 则直线 的方程为 直线与两条渐近线和的交点分l1xy bxy bxy 别为 B C 又 AB BC 可解得 则故有 1b b 1b 1 1b b 1b 1 9b2 10c 10 a c e 从而选 A 二 变用公式 整体求出二 变用公式 整体求出 e 例例 2 已知双曲线的一条渐近线方程为 则双曲线的离心率为 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 x 3 4 y A B C D 3 5 3 4 4 5 2 3 分析 本题已知 不能直接求出 a c 可用整体代入套用公式 a b 3 4 解 由 其中 k 为渐近线的斜率 这里 2 2 2 2 2222 k1 a b 1 a ba a ba a c e 3 4 a b 则 从而选 A 3 5 3 4 1 a c e 2 三 第二定义法三 第二定义法 由圆锥曲线的统一定义 或称第二定义 知离心率 e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比 特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题 例例 3 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆2 的离心率为 A B C D 2 2 2 2 1 4 2 解 由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径 设焦点为 F 则轴 知 MF 是通径的一半 xFM 则有 由圆锥曲线统一定义 得离心率 从而选 B 2 2 MF 2 2 d MF e 四四 构造构造 a c 的齐次式 解出的齐次式 解出 e 第第 2 页页 共共 9 页页 根据题设条件 借助 a b c 之间的关系 构造出 a c 的齐次式 进而得到关于 e 的方程 通过 解方程得出离心率 e 的值 这也是常用的一种方法 例例 4 已知 是双曲线的两焦点 以线段 F1F2为边作正 若 1 F 2 F 0b 0a 1 b y a x 2 2 2 2 21F MF 边的中点在双曲线上 则双曲线的离心率是 1 MF A B C D 324 13 2 13 13 解 如图 设的中点为 P 则点 P 的横坐标为 由 由焦半 11 MF c OF 2 c c FF 2 1 PF 211 径公式 即 得 有 解得aex PF p1 a 2 c a c c 0ac2a2c 22 02e2e2 舍去 故选 D 31e 31e 练一练练一练 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆 于点 P 若为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 21PF F D A B C 2 2 2 12 22 D 12 解 由 2 22 2 2 22 21021 b PFcacac a eee 化为齐次式 高考试题分析高考试题分析 1 2009 全国卷 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲 线的离心率等于 C A 3 B 2 C 5 D 6 解 渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题 意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 的一条渐近线方程为 a bx y 代入抛物线方程整理得 0 2 abxax 因渐近线与抛物线相切 所以04 22 ab 即55 22 eac 2 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲 线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 第第 3 页页 共共 9 页页 答案 C 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因此 22 2 4 5ABBCabe 3 2009 浙江文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 点B在椭圆上 且 BFx 轴 直线AB交y轴于点P 若2APPB 则椭圆的离心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 解析 对于椭圆 因为2APPB 则 1 2 2 2 OAOFace 4 2009 山东卷理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 y x 2 1 只有一个公共点 则双曲线 的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 5 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 A 22 1 24 xy B 22 1 42 xy C 22 1 46 xy D 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 6 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 7 2009 江西卷理 过椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P 2 F为右 焦点 若 12 60FPF 则椭圆的离心率为 第第 4 页页 共共 9 页页 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 解析 因为 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 从而可得 3 3 c e a 故选 B 8 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且斜率为3的直 线交C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率 A A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 9 2008 福建理 11 双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为F1 F2 若 P 为其上一点 且 22 22 1 xy ab PF1 2 PF2 则双曲线离心率的取值范围为 B A 1 3 B C 3 D 1 3 3 利用第二定义及焦半径判断 0 xa 10 2008 湖南理 8 若双曲线 a 0 b 0 上横坐标为的点到右焦点的距离大于它 22 22 1 xy ab 3 2 a 到左准线的距离 则双曲线离心率的取值范围是 B A 1 2 B 2 C 1 5 D 5 解析 利用第二定义 22 2 33 3520 22 aaaa eee cc 整理得 11 2008 江西理 7 已知 1 F 2 F是椭圆的两个焦点 满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部 则 椭圆离心率的取值范围是 C A 0 1 B 1 0 2 C 2 0 2 D 2 1 2 解析 满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部 所以 c 17 2007 全国 2 理 设 12 FF 分别是双曲线 22 22 xy ab 的左 右焦点 若双曲线上存在点A 使 12 90F AF 且 12 3AFAF 则双曲线的离心率为 B A 5 2 B 10 2 C 15 2 D 5 解 122 222 12 22 210 2 2 10 AFAFAFa c ae AFAFc 18 07 全国 2 文 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 D A B C D 1 3 3 3 1 2 3 2 19 07 江苏理 3 在平面直角坐标系中 双曲线中心在原点 焦点在轴上 一条渐近线方程xOyy 为 则它的离心率为 A 20 xy A B C D 5 5 2 32 注意焦点在 轴上 y 20 设 12 FF 分别是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点 若在其右准线上存在 P使线段 1 PF的中垂线过点 2 F 则椭圆离心率的取值范围是 D A 2 0 2 B 3 0 3 C 2 1 2 D 3 1 3 2 2 3 23 23 a c a c cce c 21 07 湖南文 设 12 FF 分别是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点 P是其右准线上纵 坐标为3c c为半焦距 的点 且 122 FFF P 则椭圆的离心率是 D A 31 2 B 1 2 C 51 2 D 2 2 22 07 北京文 4 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的焦点为 1 F 2 F 两条准线与x轴的交点分别为 MN 若 12 MNFF 则该椭圆离心率的取值范围是 D 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 第第 6 页页 共共 9 页页 23 2009 重庆卷文 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭 圆上存在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 21 1 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 24 2009 湖南卷理 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为 60 o 则双曲线 C 的离心率为 6 2 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分别是 b c b是虚半轴长 c是焦半距 且一个内角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以 2ab 离心率 36 22 c e a 25 2008 全国一理 15 在ABC 中 ABBC 7 cos 18 B 若以AB 为焦点的椭圆经过点 C 则该椭圆的离心率e 3 8 2626 20102010 辽宁文数 辽宁文数 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲线的一 条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 22 0caac 解得 51 2 c e a 27 2010 四川理数 四川理数 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为 A 在 椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 第第 7 页页 共共 9 页页 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 28 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段BF的延长线交 C于点D 且BF2FD uu ruur 则C的离心率为 3 3 命题意图 本小题主要考查椭圆的方程与几 何性质 第二定义 平面向量知识 考查了数形结 合思想 方程思想 本题凸显解析几何的特点 数 研究形 形助数 利用几何性质可寻求到简化问题 的捷径 解析 1 如图 22 BFbca 作 1 DDy 轴于点 D1 则由BF2FD uu ruur 得 1 2 3 OFBF DDBD 所以 1 33 22 DDOFc 即 3 2 D c x 由椭圆的第二定义得 22 33 22 acc FDea ca 又由 2 BFFD 得 2 3 2 c aa a 3 3 e 解析 2 设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab 设 22 D xy F 分 BD 所成的比为 2 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 代入 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e x O y B F 1 D D 第第 8 页页 共共 9 页页 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 2010 辽宁理数 辽宁理数 20 本小题满分 12 分 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直 线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB I 求椭圆 C 的离心率 II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解 设 1122 A x yB xy 由题意知 1 y 0 2 y 0 直线 l 的方程为 3 yxc 其中 22 cab 联立 22 22 3 1 yxc xy ab 得 22224 3 2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3 2 3 2 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB 所以 12 2yy 即 22 2222 3 2 3 2 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a 6 分 因为 21 1 1 3 AByy 所以 2 22 24 315 343 ab ab 由 2 3 c a 得 5 3 ba 所以 515 44 a 得 a 3 5b 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy 12 分 2010 全国卷全国卷 2 文数 文数 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D 两点 且 BD 的中点为 M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 第第 9 页页 共共 9 页页 解析解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 1 由直线过点 由直线过点 1 1 3 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为 两点的中点为 1 1 3 3 可利用 可利用 直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A BA B 的关系式即