基于土壤重金属污染评价的数学模型_蒋咏志.pdf

第 31 卷第 4 期 2012 年8 月 四川环境 SICHUAN ENVIRONMENT Vol 31 No 4 August 2012 环境模型 收稿日期 2012 04 17 作者简介 蒋咏志 1990 男 四川达县人 西南交通大学机械工 程学院车辆工程专业 2009 级本科生 通讯作者 单奇 1965 男 四川达州人 工学博士 西南交通 大学机械工程学院副教授 基于土壤重金属污染评价的数学模型 蒋咏志1 吴杨帆2 黄丽丽3 单奇1 1 西南交通大学机械工程学院 成都611756 2 林菲尔德大学物理学院 美国 麦克明维尔 97128 3 西南交通大学交通运输与物流学院 成都611756 摘要 本文采用离散插值 多元非线性回归分析 有限差分法等方法 建立了一种针对土壤中重金属污染程度评价的 数学模型 模型包含重金属污染的主要原因 重金属污染源的查证 采用指数函数和多项式拟合建立其数学空间理论 模型 结合实际物理扩散方式 得到污染物的传播特征模型 再通过离散插值得到污染物浓度峰值的仿真点位置坐 标 进而利用多元非线性回归的方法 对仿真点附近区域内的采集数据实现拟合 定位各个污染源 关键词 重金属污染 离散插值 多元非线性回归分析 有限差分法 中图分类号 TP3014文献标识码 A 文章编号 1001 3644 2012 04 0135 05 Mathematic Model for Evaluation of Soil Heavy Metal Pollution JIANG Yong zhi1 WU Yang fan2 HUANG Li li3 SHAN Qi1 1 School of Mechanical Engineering Southwest Jiaotong University Chengdu 611756 China 2 School of Physics Linfield College Mcminville 97128 USA 3 School of Transportation Logistics Southwest Jiaotong University Chengdu 611756 China Abstract In this study mathematic models for evaluation of soil heavy metal pollution were established by adopting the methods of discrete interpolation multivariate nonlinear regression and finite difference The models involved the main factors affecting the heavy metal pollution and verification of the pollution sources The mathematical space theory model was built by fitting the exponential function and polynomial and then the model of pollutants spreading was obtained by considering real physical diffusion the coordinate of the simulated pollutant concentration peak was obtained by using discrete interpolation then the data collected around the simulated points were fitted for positioning the pollution source by using multivariate nonlinear regression Keywords Heavy metal pollution discrete interpolation multivariate nonlinear regression finite difference 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增 加 人类活动对城市环境质量的影响日显突出 土 壤是人类赖以生存和发展的物质基础 一旦受到重 金属污染 将会通过一系列化学 生物作用进入农 产品中 已有的研究表明 种植在受重金属污染的 土壤中的作物 其根 茎 籽粒中的重金属均有检 出或发现超标 1 当通过食物链进入人体后 其 潜在危害极大 近年来 众多的国内外科技工作者致力于土壤 重金属污染的研究 采集样本的足迹遍布各个城市 及江河流域 2 6 污染土壤的重金属主要包括汞 Hg 镉 Cd 铅 Pb 铬 Cr 和类金属砷 As 等 生物毒性显著的元素 以及有一定毒性的锌 Zn 铜 Cu 镍 Ni 等元素 某些重金属对土壤的污染 具有隐蔽性 如镉 汞等元素在作物籽实中富集系数 较高 即使超过食品卫生标准 也不影响作物生长 发育和产量 重金属在土壤中的长期滞留性 难降 解性 不易被土壤微生物所分解等特点 致使治理 难度很大 无论是物理吸附 化学降解 还是生物 修复技术等 均存在各种各样的缺陷 7 8 因此 对土壤地质环境异常的查证 以及如何应用查证获 得的海量数据资料开展土壤地质环境质量评价 研 究人类活动影响下土壤地质环境的演变模式 日益 成为人们关注的焦点 1重金属污染物的传播特征模型建立 1 1基于纯数学理论模型的建立 由于实际过程中 重金属污染物的传播与多种 因素 如距离污染源的距离 污染源的重金属强 度以及与污染源的相对高度等 有关 考虑到影 响污染物浓度变化的情况比较复杂 作者认为某一 点处污染浓度应是各种因素分别影响的叠加 因 此 分析各种因素对污染物传播影响的机理 分别 找出每种因素所对应的子函数 将各子函数叠加 即可得到污染物综合传播模型 1 1 1仅考虑与污染源相对距离及污染物强度 设污染源坐标 x0 y0 z0 对于一种重金 属元素 污染源附近一点 x y 距该污染源的 距离为 l2 x x0 2 y y0 2 z z0 2 1 从机理分析可知 污染浓度与距离平方成负相 关关系 将大量数据经 Matlab 绘图 可发现各地区 污染物浓度与距污染源的相对距离直接呈现类似正 态分布密度函数形态 构造函数关系式如下 C1 K1e l2 d2 1 2 K1 d 均为常数 1为随机误差项 1 1 2仅考虑海拔高度变化的情况 首先运用多项式拟合法 进行重金属元素浓度 对海拔高度的 N 次拟合 各种重金属元素的浓度对 海拔高度的拟合函数均是关于海拔高度 z 的 n 次函 数 记为 C2 m1 z z0 m2 z z0 2 mn z z0 n K2 2 3 在只考虑高度的影响时 用 matlab 模拟 可知 重金属含量随高度变化是一个单调的函数 因而上 式中 z2k k N 项系数 m2k 0 对上式进行修正 得 C2 m1 z z0 m3 z z0 3 m2k 1 z z0 2k 1 mn z z0 n K2 2 4 K2 m2k 1均为常数 2为随机误差项 1 1 3综合考虑距离 海拔高度 污染强度及广义 背景值对污染物传播的影响 将上述各子函数叠加 建立多元非线性回归分 析模型 C G1C1 G2C2 K0 K1G1e l2 d2 G2 m1 z z0 m3 z z0 3 m2k 1 z z0 2k 1 mn z z0 n K0 5 式中 1 2 l 2 x x0 2 y y0 2 K 0 为常数 1 2基于物理扩散模型的建立 在实际生活中 重金属污染物的传播主要依靠 大气 土壤迁移和雨水地表径流扩散 下面分别对这 3 种主要传播方式进行分析 我们同样以 x0 y0 z0 为污染源进行分析 1 2 1重金属元素仅随大气扩散传播模型 作者认为 土壤中重金属元素随大气扩散传播 方式可由高斯烟羽公式 9 建立 高架连续点源扩散 的高斯烟羽模型公式为 c x y z H Q 2 u y z exp 1 2 y2 2y exp 1 2 z H 2 2z exp 1 2 z H 2 2z 6 式中 c x y z 为污染源下风向 x 米 横向 y 米 地面上方 z 米处的扩散的气体浓度 单位为 kg m3 Q 为源强 即源释放速率 单位为 kg s u 为平均风速 单位为 m s y为水平扩散参数 单位 为 m z为垂直扩散参数 单位为 m t 为传播开始 后的时间 单位为 s H 为污染源离地高度 m 由于高斯公式以风速方向为 x 正方向 由于风 速 u 的传播方向与实际方位坐标不一致 设 u 与实 际 x y z 轴夹角分别是 经过一系列变换 10 得到高斯公式在三维坐标系的扩散方程 c x y z t Q 2 3 2 x y z exp 1 2 y ucos t 2 2y exp 1 2 x ucos t 2 2y exp 1 2 z H ucos t 2 2z exp 1 2 z 2h H ucos t 2 2z 7 式中 h 为混合层高 土壤中重金属元素随大气扩散传播属于近地面 传播 即 H 0 代入公式 7 中 即得到重金属元素 仅随大气扩散传播的浓度函数 c1 x y z t 1 2 2重金属元素仅通过土壤溶质运移传播模型 迀移过程包括物理的平流 分子扩散 机械弥 散 水动力弥散等 将土壤溶质运移的对流 扩散和 水动力弥散 3 种机理与连续流方程相结合 可形成 土壤溶质运移的对流 弥散方程 CDE 方程 对 631四 川 环 境31 卷 于一维的均质土壤体系污染物在土壤中迀移的一个 综合表达式 11 如下 c2 cs p cg t l j Dij c 2 l j p Dij q ic2 l i k k 8 式中 为土壤容重 cs为溶质在固相中的浓 度 p 为总孔度 cg为溶质在气相中的浓度 l 为距 离 q 为 Darcy 通量 为体积含水量 k为汇源项 包括生物吸收 化学反应 衰变等其他过程 i 为 土壤中相数 j 为土壤内物种数 Dj为水动力弥散 系数 cs cg与 c2之间的关系相当复杂 为方便计算 本文将 cs cg与该点污染物浓度的关系简化为线性 关系 cs c2 cs c2 为常数 9 若将重金属元素在土壤中的传播方式看作自然 扩散 即忽略重力对溶质运移的动力作用 让重金属 元素在 x y z 轴的传播等效 得 c2 cs p cg t l j Dij f 2 l j p Dij q ic2 l i k k lj xj x0j 2 yj y0j 2 zj z0j 槡 2 10 求解上述方程 可得到重金属元素通过土壤溶 质运移方式传播的浓度关于坐标和时间的表达式 c2 x y z t 1 2 3重金属元素仅随雨水地表径流传播模型 1 水流量的函数关系式 根据圣 维南方程组 12 和曼宁公式 对于单宽 水流 得到水流量方程 q l n0 6 k0 6 n S0 3 q 0 6 t ie l x xo 2 y y0 2 z z0 槡 2 S z z0 l 11 式中 n 为曼宁粗糙系数 Kn为换算系数 国际 单位 Kn 1 英制 Kn 1 486 q 为雨水径流单宽 流量 m3 s l 为径流方向上的长度 m t 为时间 s ie为净雨强度 mm hr S 为地面坡度 由此 可以算得各个坐标点的流量函数 q x y z t 2 地表污染物冲刷模型建立 根据 Metcalf 和 Eddy Inc 等的理论 径流过程 中不透水地表表层沉积物的冲刷速率与沉积的污染 物量成正比 12 得出 c 3 t Kqc3 12 式中 K 为冲刷系数 mm 1 联立求解式 11 式 12 可得到重金属元素 通过雨水地表面径流方式传播的浓度关于坐标和时 间的表达式 c3 x y z t 1 2 4重金属污染物实际传播模型的建立 重金属实际传播过程 3 种主要传播方式并不是 单一进行的 而是 3 种传播方式的相互作用 因此认 为坐标 x y z 的重金属污染物浓度是 c1 c2 c3的 线性组合 得到重金属污染物浓度 C 关于 c1 c2 c3 的回归方程 C x y z t b1c1 x y z t b2c2 x y z t b3c3 x y z t 13 式中 为随机误差项 2重金属污染物浓度分布图的仿真 在实际采样过程中 经常将所考察的城区划分 为等间距的网格子区域 按照每个子区域 1 个采样 点对表层土进行取样 编号 并使用 GPS 记录采样 点的位置 应用仪器作测试分析 获得了每个样本所 含的多种化学元素的浓度数据 由于空间数据的不规则性 可根据采样点数据 在采样空间进行离散插值 绘制出三维曲面图 实现 重金属元素在该城区的空间分布仿真 进而计算出 元素浓度曲面峰值 计算公式如下 g x y x 0 g x y y 0 g x y K0 K0为常数 14 式中 g x y 为整个采样区域内的浓度分布函 数 由于离散插值得到的是一系列离散点阵 将整 个采样区域的浓度函数 g x y 仿真出来既浪费时 间也不现实 所以我们利用有限差分法将上述式子 简化 即 7314 期蒋咏志等 基于土壤重金属污染评价的数学模型 图 1离散点阵的局部网格示意 Fig 1Local grid of discrete points 现以 2011 年高教社杯全国大学生数学建模竞 赛A题 组 委 会 官 方 网 站 http www mcm edu cn 中某时刻 As 的浓度分布为例 应用上述模型 很容易绘制出采样区域重金属浓度 仿真图 菱形点代表其浓度峰值的仿真点 见图 2 图 2重金属浓度分布仿真图 Fig 2The simulated diagram of soil heavy metal distribution 3重金属污染源的确立 由于该图像仅仅通过离散插值得到 与实际浓 度分布存在出入 所以 污染源并不一定就是插值图 中浓度峰值的仿真点 污染物扩散的一般规律是离 污染源越近 污染物浓度越高 因而污染源必然处于 浓度峰值的仿真点附近 当离污染源的距离达到一 定大小时 该污染源对此处污染物浓度的影响就可 以近似为 0 该临界距离定义为污染源污染物的扩 散范围 扩散半径以 R 表示 污染物元素种类不 同 传播方式不同 R 的大小也不一样 由此可见 污染源必在以浓度峰值的仿真点为中心 R 为半径 的圆形区域内 为了便于网格法求解 不妨将该区域 简化为以浓度峰值的仿真点为中心的 2R 2R 的正 方形区域 此正方形区域包上述含圆形区域 正如之前提到的 重金属污染物浓度在整个采 样范围内受影响的因素很多 要得到整个采样范围 内的通用函数不易实现 文中前述 3 种传播方式中 以气体扩散传播范围较广 因此 本文以重金属污 染物随气体传播的扩散范围作为重金属的主要扩散 范围 仅对浓度峰值的仿真点扩散区域内的采样点 数进行拟合 由此可得出点 x y 处任意 1 种重金 属污染物的浓度理论值 此理论值与观测到的该点 的实际浓度 C实际之间存在一定的差值 利用已建 立的多元非线性回归分析模型公式 5 或公式 13 并结合采集的实际数据 采用最小二乘法估 计模型参数 使得拟合残差平方和 Q 最小 Q r i 1 C实际 C 2 16 确定式子中的各个参数值 即可得到污染源 x0 y0 z t0 坐标 本文仍以以 2011 年高教社杯全国大学生数学 831四 川 环 境31 卷 建模竞赛 A 题为例 验证模型的可行性 由于题目 仅给出了 1 个时刻的采样数据 则可将时间 t 看作 常数处理 通过 matlab 求解 得到污染源坐标位置 并绘制出各功能区分区图 图 3 图 3各污染源坐标位置及功能区分区图 Fig 3Partition map of space coordinates and functional zones of every pollution source 参考文献 1 孙清斌 尹春芹 邓金锋等 大冶矿区周边农田土壤和油菜重 金属污染特征研究 J 农业环境科学学报 2012 31 1 85 91 2 刘春早 黄益宗 雷鸣 等 湘江流域土壤重