西安交通大学硕士研究生2005年入学数学分析试题.doc

硕士研究生入学考试数学分析试题六西安交通大学硕士研究生2005年入学考试数学分析试题1. 叙述下列概念或命题(20分): 函数在处可微;以为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy准则;极限不存在的Cauchy准则;函数项级数在上收敛但非一致收敛的Cauchy准则.解: 定义:设函数在的某邻域有定义.若,其中是与无关的常数,.则称函数在处可微分, 称为在处的微分,记为.定理(Cauchy准则):以为瑕点的瑕积分收敛,使得当时,有.定理(Cauchy准则):极限不存在,与,使得.定理(Cauchy准则):函数项级数在上收敛但非一致收敛, ,使得.以下四题(第25题)每题10分2. 证明.证明:因为(不妨设),有,又因,所以对上述,使得当时,有.因此当时,有,所以.或由于因为,，所以,因为,，所以.因此,.又因,所以.3. 设在开区间内可导(导数有穷),证明的导函数在内的任一点不可能发生第一类间断点.证明: 设,若,.则 ,因为在处可导,所以,因此,从而,即在处连续.故导函数在内的任一点不可能发生第一类间断点.4. 设函数在内可导,且,证明:在内非一致连续.证明:假如在内一致连续,则,使得,当时,有.特别对,使得,当时,有.取,(),则, 即. (其中).由于,所以.又因,故,但这与相矛盾.因此在内非一致连续.5. 设广义积分收敛,证明:.证明:记,则,因为收敛,所以,使得当时,有. 由于,关于在上递减且非负,所以根据积分第二中值定理知:当时,其中.因此当时, ,有.故在上一致收敛.因为在上一致收敛, 在上一致收敛,所以在上一致收敛.,因为在上一致收敛.,使得当时, ,有.特别,有成立.由于在上可积,因此在上有界,即,使得,有.又因,所以对,使得当时,有.从而当时,有,根据极限的定义知,即.以下六题(第611题)每题15分6. 设在内连续,且.证明:, 且,使得.证明:因为,所以, 且,使得.因为,所以, 且,使得.因为,所以对于, ,使得当时,有与同时成立.即当时,有.由于函数在区间或上连续,且,根据连续函数的介值性知或,使得,从而.又因为,所以.7. 设,求的定义域;证明在其定义域内处处连续;证明在其定义域内处处可导.证明:由于级数当时收敛, 当时发散,所以函数的定义域为.,取,则.因为当时,有,而级数收敛,根据判别法知级数在上一致收敛.又因在上连续(),所以在上连续,特别在处连续.由的任意性知在其定义域上连续.,取,则,.因为当时,有,又因，所以,使得当时,有,因此当时, ,有.而级数收敛,根据判别法知级数在上一致收敛.又因在上连续(),所以在上连续可导且.特别在处连可导且.由的任意性知在上连续可导且.8. 设在处连续,且对任何有.证明:在上连续.证明: 因为,即,所以.因为,又因,所以,因此在处连续,由的任意性得在上连续.证明对任何有理数有.,因为,即,由数学归纳法知,对任何自然数有.用代替,得,即.设(为自然数),则有.又因,而,故.从而对任何负有理数()有.因此对任何有理数有.证明对任意无理数有.取有理数列,使.则由在上连续性及知.由和知及,有,特别地有.9. 设函数在半平面内连续,对任意固定的,极限存在,现补充定义.证明:在半平面上连续.证明:只须证明,在处连续.,因为,所以,使得当时,有.令得.因此当时,有.所以在处连续.故在半平面上连续.10. 设(),为有界闭集,为闭集,且.证明:,其中表示点与的距离.证明:假如,则根据下确界的定义知:,使得.这样得点列与,因为为有界闭集,所以存在